北京市第一七一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份北京市第一七一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了 复平面内表示复数的点位于， 的值是， 在中，，则等于， 已知为锐角，，则， 对函数的图像分别作以下变换， “”是“”的等内容，欢迎下载使用。
（时长：120分钟 总分值：150分）
一､选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复平面内表示复数的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由复数运算可得对应的点的坐标，由此可得结果.
【详解】，对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦两角和公式计算即可.
【详解】因为，
所以原式.
故选：A.
3. 在中，，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果．
【详解】解：在中，若，又试卷源自 来这里 全站资源一元不到！ 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。所以，，．
由正弦定理可知：．
故选：．
【点睛】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理以及特殊角的三角函数，属于基础题.
4. 已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A. A，C，D三点B. A，B，C三点
C. A，B，D三点D. B，C，D三点
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以,所以A，C，D三点不共线，故A错误；
对于B，因为，
所以,所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为
所以，
所以，又是与的公共点，
所以A，B，D三点共线，故C正确；
对于D，因为，
所以,所以B，C，D三点不共线，故D错误.
故选：C.
5. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. 3D. 【答案】A
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式求出后可得正确的选项.
【详解】由题设可得，
故选：A.
6. 对函数的图像分别作以下变换：
①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)；
②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)
③将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位
④将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位
其中能得到函数的图像的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据由函数的图象变为函数的图象有两种路径,逐一核对四个命题得答案.
【详解】由函数y=sinx的图象变为函数的图象有两种路径：
(1)先平移后改变周期:把的图象向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，即为①；
(2)先改变周期后平移:把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移个单位即为④.
故选：C7. 已知函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图象分析函数的周期，求得的值.
【详解】因为，，由图象可知，函数的半周期是，
所以，得.
故选：C
8. 如图所示，在四边形中，,为的中点，且，则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 为 的中点， 而则
且 ，，则 故选C．
9. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】用诱导公式结合正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，所以或，，
即或，
因此题中应是必要不充分条件．
故选：B．
10. 若奇函数在上为单调递减函数，又为锐角三角形两内角，则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由“奇函数y＝f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数”可知f（x）在[0，1]上为单调递减函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β，转化为β＞0，两边再取正弦，可得1＞sinα＞sin（β）＝csβ＞0，由函数的单调性可得结论．
【详解】∵奇函数y＝f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数
∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，
∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，
又α、β为锐角三角形的两内角，
∴α+β，
∴β＞0，
∴1＞sinα＞sin（β）＝csβ＞0，
∴f（sinα）＜f（csβ），
故选：C．
【点睛】本题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性，属中档题．二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
11. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】利用复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可得解.
【详解】因为，
所以共轭复数.
故答案为：.
12. 已知向量，，若与垂直，则的值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】首先根据与垂直求得，最后求出的值即可.
【详解】解：根据题意，向量，，
则，
若与垂直，则，
解可得：，
则.
故答案为：2.
13. 在中，，，，则__________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用正弦定理直接求解即可.
【详解】由正弦定理得：，，，，又，或.
故答案为：或.
14. 已知函数在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则φ=___________
【答案】
【解析】
【分析】由不等式恒成立得函数的最大值和最小值，结合单调性得函数周期，从而可得，则最大值（或最小值）点可求得．
【详解】因为对任意实数x均有成立，所以是最小值，是最大值，
又函数在区间上单调，所以，，
所以，又，所以．
故答案为：．
15. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时， 与夹角的余弦值为___________.
【答案】【解析】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，分类讨论点的位置，根据平面向量数量积的坐标表示可求出结果.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：
则，， ，，
设，， ，
当时，， ，当且仅当时等号成立，
当时，， ，当且仅当时等号成立，
当时，， ，当且仅当时等号成立，
当时，， ，当且仅当时等号成立，
由以上可知，当时，取得最大值，此时，，
设与的夹角为，则.
故答案为：
三､解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16. 已知函数
（1）求的定义域；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）2.
【解析】
【分析】（1）由，即可求解；
（2）先化简，由求得，再用同角三角函数基本关系结合诱导公式求解即可
【详解】（1）依题意，.
所以有 .
所以函数的定义域为.
（2）.
由，得.
又因为，
所以.
所以.
所以.
17. 已知点，，，M是线段的中点.
（1）求点M和的坐标：
（2）若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标.
【答案】（1），
（2）【解析】
【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标，并根据求出的坐标；
（2）设出，求出，根据平行得到方程，求出答案.
【小问1详解】
是线段的中点，
点的坐标为，
故；
【小问2详解】
设，则，
因为与平行，所以
解得，
点的坐标是.
18. 如图所示，中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）点为边上的一点，记，若，，求与的值.
【答案】（1）30°；（2）
【解析】
【详解】试题分析：
(1)由题意求得，则；(2)由题意可得， 在中， ， 在中，由余弦定理
试题解析：
解：（1）由正弦定理可得,所以,故
（2）在中，,所以
在中，由,,所以
在中，由余弦定理的
即=5
所以
19. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）设，，分别为内角，，的对边，已知，，且，求的值.
【答案】（1）()；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式将函数化为，再利用整体法结合正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间；
（2）由求出角，再由，求出，最后根据结合余弦定理即可求出答案.
详解】解：（1），
令得()，∴的单调递增区间为().
（2）由得，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
由余弦定理得，∴.
20. 已知，分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？说明理由
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【答案】（1）①③④和②③④，理由见解析
（2）选①③④，；选②③④，
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式可求得，则，知①②不能同时成立；利用余弦定理验证其余组合可求得，知三角形有解；
（2）利用三角形面积公式直接求解即可.
【小问1详解】
由①知：，又，；
由②得：，
或，又，，则；
可知①②不能同时成立；
若序号组合为①③④，由余弦定理得：，
即，解得：（舍）或，则三角形有解；
若序号组合为②③④，由余弦定理得：，即，解得：，则三角形有解；
满足有解三角形的序号组合有：①③④和②③④.
【小问2详解】
若序号组合为①③④，由（1）知：，
由得：，
；
若序号组合②③④，由（1）知：，
.
21. 若定义城R的函数满足：
①，②.则称函数满足性质.
（1）判断函数与是否满足性质，若满足，求出T值；
（2）若函数满足性质判断是否存在实数a，使得对任意，都有，并说明理由；
（3）若函数满足性质，且.对任意的，都有，求函数的值域.
【答案】（1）不满足；（2）存在，理由见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）分别验证两个函数是否满足条件①和②；
（2）由②计算可得，令，求得的值；
（3）根据已知可得任意的，，有，由，可得，分和两种情况分别求出的值域，即可求解.
【详解】解：（Ⅰ）函数满足性质.
显然函数满足①，
对于②，由有，，所以，即.
函数显然不满足①，所以不满足性质.
（Ⅱ）存在.
理由如下：
由，
可得.
即.
令，得.
（Ⅲ）依题意，对任意的有，所以. 因为函数满足性质，
由①可得， 在区间上有，又因为，所以. 可得
. 又因为对任意的有，所以.
递推可得
函数，
因为所以
由②及可得，
所以当.
易知当时，，所以
即时，.
所以当时，.
当时， （但时， ，需要排除）
显然， 此时随的增大而减小， 所以. 所以求值域时， 只需取， 得.
当时，
显然， 此时随的增大而减小， .
只需取， 得.
综上， 函数值域为
【点睛】本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理能力，属于难题.