甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

这是一份甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题，共20页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数值的定义算出，由导数的几何意义，即为在点处的切线的斜率.
【详解】，则根据导数值的定义：，
由导数的几何意义可知，在点处的切线的斜率为.
故选：B
2. 设点，点C关于面对称的点为D，则线段的中点P到点D的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新来这里 全站资源一元不到！试卷。【答案】C
【解析】
【分析】求出对称点和中点坐标，由两点间距离公式计算．
【详解】点C ，D关于面对称,则有，
由中点坐标公式得的中点的坐标为，
所以．
故选：C．
3. 在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可.
【详解】连接，如图，
因为是的中点，所以
.
故选：B4. 已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导得到函数的单调区间得到函数最大值为，再比较端点值的大小得到最小值.
【详解】，
由得或，故函数在上单调递增；
由得，故函数在上单调递减，
故函数的最大值为．
故．
又，，
故当时，函数取得最小值为-37．
故选：D.
5. 设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对函数求导，根据函数在区间有极值点，转化为导函数有零点，再由零点存在定理列出不等式求解即可.
【详解】，为单调函数，所以函数在区间有极值点，即，代入解得，解得取值范围为，
故选：B．
6. 如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，交于点，连接，利用线面平行的性质定理得，从而得是的中点，即可求解点的坐标.
【详解】设，交于点，连接，
因为正方形与矩形所在平面互相垂直，
点在上，且平面，又平面平面，平面，
所以，又，所以平行四边形，
故，所以是的中点，
因为，所以，所以.
故选：C
7. 已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可.
【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，设平面的一个法向量为，
则令，可得，所以，
即，又平面，所以平面，
故点到平面的距离即为直线到平面的距离，
又，所以点到平面的距离为，
即直线与平面之间的距离为.
故选：B
8. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简，采用换元法，将问题转化为有两个不同的零点问题，分离参数，从而将问题转化为直线与的图象有两个不同交点，数形结合，可得答案.
【详解】由题意得 ,
令 ，，该函数在R上为单调增函数，且 ，
故函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，令即直线与的图象有两个不同交点，
又，当时，递增，当时，递减，
则，当时，，
作出其图象如图：
由图象可知直线与的图象有两个不同交点，需有，
故选：A.
【点睛】方法点睛：解决函数有两个不同的零点的问题，要将函数式变形为，实质是采用换元法，令，将问题转化为有两个不同的零点，然后分离参数，利用导数判断函数单调性，数形结合，解决问题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项}符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的定义判断．
【详解】两直线的方向向量平行，而两直线不重合，则它们平行，A错；
两直线的方向向量垂直，则它们也垂直，B正确；
两个平面法向量平行，则这两个不重合的平面平行，C错．
两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直，D正确．故选：BD．
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 是平面的一个法向量
D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可.
【详解】对于A，由于，分别是的中点，
所以平面平面，
所以平面，故A正确；
对于B，，
故，，
故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误；
对于C，由，所以，
设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，故C正确；
对于D，，点到平面的距离为，故D正确.
故选：ACD．
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为
D. 方程有两个不同的解
【答案】AB
【解析】
【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.
【详解】的定义域为，.
A选项，，
所以曲线在处的切线方程为，A选项正确.
B选项，令解得，
所以在区间，单调递减，B选项正确.
C选项，在区间，单调递增，所以有极小值，无极大值，C选项错误.
D选项，的极小值为，
当时，；当时，，
方程有一个解，D选项错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间中三点，设，若，且，则向量______
【答案】或
【解析】
【分析】根据向量共线、模等知识求得.
【详解】，，
由于，所以存在实数使，
所以，
所以或.
故答案为：或
13. 如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
【答案】【解析】
【分析】分析可知，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为平面，平面，则，同理可知，
所以，
.
故答案为：.
14. 某商户销售、两种小商品，当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，如果该商户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投入______千元
【答案】1
【解析】
【分析】由题意列收益函数，然后利用导数法求得最大值，即可得解.
【详解】设投入经销商品的资金为千元，
则投入经销商品的资金为千元，所获得的收益千元，
则，
可得，当时，可得，函数单调递增；
当时，可得，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以当投入商品的资金为4千元，投入商品的资金为1千元时，
此时总收益最大为千元.
故答案为：1
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若，求MN的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
【小问1详解】
解：
，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
， 即MN的长为.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，EPC上一点，且．
（1）求证：平面PBC；
（2）求证：平面BDE．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证；
（2）设平面BDE的法向量为，证明即得证.
【小问1详解】
证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，
因为，所以，所以，
所以，，
所以，，即，，
又因为，平面PBC．
所以平面PBC．
【小问2详解】
证明：由（1）可得，，．
设平面BDE的法向量为，
则，即令，得，，
则是平面BDE的一个法向量，
因为，所以，
因为平面BDE，所以平面BDE．
17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点．
（1）求点到平面的距离.
（2）求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）.
（2）．
【解析】
【分析】(1)证明后，建立空间直角坐标系，然后利用点到面的距离公式；
(2)通过法向量，算出二面角的余弦值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得:
，，
．
又平面，
以为原点，为、、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．
，
．
设平面的法向量为，
不妨取，
点到平面的距离．
【小问2详解】设平面的法向量为，
.
且
取，则，则平面的法向量为．
设平面的法向量为，
，
且，
取，则．
则，，
平面与平面所成角的余弦值为．
18. 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的单调区间，
（2）若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；
（2）由题意得到，结合条件列出不等式组，即得.
【小问1详解】由题可得，
由题意得，
解得，
所以，
由得或，
由得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
【小问2详解】
因为，
由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
依题意，要使有三个零点，则，
即，
解得，经检验，，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，
所以m的取值范围为．
19. 已知函数，（，为自然对数的底数）.
（1）求函数的极值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，无极小值
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；
（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.
【小问1详解】
定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
【小问2详解】
由得：，在上恒成立；
令，则；
令，则，
在上单调递增，又，，
，使得，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，，，，
则实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.