陕西省榆林市2023-2024学年高三第四次模拟检测文科数学试题

这是一份陕西省榆林市2023-2024学年高三第四次模拟检测文科数学试题，共13页。试卷主要包含了已知直线过抛物线C，已知a为实数，则“”是“”的，方程在内实数根的个数为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足，则
A． B． C．
2．已知，，则
A． B． C． D．
3．设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则
A．2 B．4 C．8 D．16
4．设全集为Z，集合，，则
A． B． C． D．
5．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20％，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：，）
A．10天 B．11天 C．12天 D．13天试卷源自 每日更新，汇集全来这里 全站资源一元不到！国各地小初高最新试卷。6．已知直线过抛物线C：的焦点，且与C交于A，B两点，则
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知a为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为
A． B． C． D．
9．方程在内实数根的个数为
A．11 B．10 C．9 D．8
10．在正方体中，E，F分别是，的中点，则
A． B． C． D．
11．如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥A-BCD．当二面角B-AD-C为直二面角时，三棱锥A-BCD外接球的表面积为
A． B． C． D．
12．已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，满足，，，则________．
14．在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为________．
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则________．
16．已知过点（0，a）可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点E到平面PBD的距离．
19．（本小题满分12分）
为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据如下．
x（千克）
2
4
5
6
8
（Ⅰ）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？
附：对于一组数据，，⋯，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，．
参考数据：．
20．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若，，求a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．
（Ⅰ）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；y（千克）
300
400
400
400
500
（Ⅱ）在曲线和曲线上分别取点P，Q，求|PQ|的最小值．
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若正数a，b，c满足，证明：．
榆林市2023～2024年度高三第四次模拟检测
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 【解析】由，得，即．
2．A 【解析】由诱导公式得，又由，可得．
3．B 【解析】根据双曲线定义有，
又，，故．
4．D 【解析】由，可得A选项错误；由且，可得B选项错误；由且，可得C选项错误；由，可得D选项正确．
5．C 【解析】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍，则，即，．
6．D 【解析】由直线过抛物线C：的焦点，可知，即抛物线C：，将直线代入，得，设，，则．从而．
7．B 【解析】取时成立，故充分性不成立；
当时，，故必要性得证．8．A 【解析】设小正方形边长为1，可得黑色平行四边形底为，高为；
黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为，即大正方形边长为，
故所求概率为．
9．A 【解析】分别画出和的图象，交点个数即为所求．
10．B 【解析】易知EF与BD互为异面直线，故选项A错误．
设与的中点分别为G，H，则，，又，故平面，又，故平面BCE，选项B正确．
在中，，，故EF与不可能垂直，C选项错误．
易知，又，故D选项错误．
11．B 【解析】由于二面角B-AD-C为直二面角，且和都是直角三角形，故可将三棱锥A-BCD补形成长方体来求其外接球的半径R，即，解得，从而三棱锥A-BCD外接球的表面积为．
12．D 【解析】由，得是奇函数，由，得为偶函数，故A，B选项均错误．
由题易知函数在R上单调递减，函数在上单调递增，
由，得，从而，即C选项错误．
由，得，从而，即D选项正确．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 【解析】，即，故．
14． 【解析】若两局决出冠军，则乙获得冠军的概率；若三局决出冠军，则乙获得冠军的概率；故所求概率为．15． 【解析】，，
两式相减，得，即，
由正弦定理可得，
又，．
16． 【解析】，设点为曲线的切点，
则切线方程为，整理得，
将点（0，a）代入可得．
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减．
又，，当时，方程有3个不同的实数根，
即当时，有3个不同的满足方程，
即过点（0，a）可作三条直线与曲线相切．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d（），
则解得，．
．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，
．
18．解：（Ⅰ）证明：平面ABCD，，
，
又底面ABCD为正方形，
，
又，且，
平面PAC，
，．
（Ⅱ）E为线段AB的中点，
若点A到平面PBD的距离为d，则点E到平面PBD的距离为．
由题易知，
．
，
，解得．
点E到平面PBD的距离为．
19．解：（Ⅰ）由已知数据可得，，
，，，
相关系数．
，可用线性回归模型拟合y与x的关系．（Π），
，
线性回归方程为．
当时，．
即当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为850千克．
20．解：（Ⅰ）当时，，
则，
令，解得或．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
函数的极小值为，极大值为．
（Π），
①若，即时，，函数单调递减，
，不符合题意．
②若，令函数，则的图象开口向下，且与x轴有两个交点，令，则，，
注意到且，，
不可能是函数的极大值．，即．
当，即时，
若，则，函数单调递减；若，则，函数单调递增．
，符合题意．
当，即时，
若，则，函数单调递减；
若，则，函数单调递增；
若，则，函数单调递减；
又，故只需即可，解得，∴，
综上，a的取值范围为．
21．解：（Ⅰ）的周长为8，的最大面积为，
解得，或，．
椭圆C的方程为或．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及易知，
不妨设直线MN的方程为：，P（t，0），，，
联立得．则，，
若的内心在x轴上，则，
，即，
即，
可得．
则，得，即．
当直线MN垂直于x轴，即时，显然点P（4，0）也是符合题意的点．
故在x轴上存在定点P（4，0），使得的内心在x轴上．.
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．解：（Ⅰ）曲线的参数方程为：（为参数，），
．
曲线的普通方程为．
曲线的极坐标方程为：，即，
根据可得，
曲线的直角坐标方程为：．
（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为：，
曲线的参数方程为：（为参数）．
故可设曲线上的点，点Q到直线的距离，
当，即时，，
|PQ|的最小值为．
23．解：（I）
不等式，等价于或或
解得，或，
∴不等式的解集为．
（Ⅱ）证明：，
不等式等价于．
又，
只需证即可．
又正数a，b，c满足，
．
，当且仅当，时，等号成立．
．