四川省绵阳中学2024届高三下学期高考模拟（一）理科数学试题

这是一份四川省绵阳中学2024届高三下学期高考模拟（一）理科数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.
【详解】全集，集合，
所以.
故选：D
2. 若复数满足，则的共轭复数是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数即可求解结果．
【详解】解：复数满足，所以．
所以的共轭复数是．
故选：B．
3. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式求出和的关系，代入计算可得m的值.
【详解】由已知，得，
又，又，试卷源自 每来这里 全站资源一元不到！日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。所以，解得或（舍去）
故选：B.
4. 在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，结合向量减法可得，再利用投影向量的意义求出.
【详解】由，得，而是菱形，则是正三角形，
于是，，
因此在上的投影向量为，所以.
故选：B
5. 若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果.
【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又，
所以，得到，所以双曲线方程为，
故选：D.
6. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】
【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.
【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，
如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.

7. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
【详解】由题意可得、，，
对A：当时，，则，，
此时，故A错误；
对B：当时，，故B错误；
对C、D：，由，
故，则，即，
故C正确，D错误.
故选：C.
8. 函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.
【详解】由，且为偶函数，故，
由导数性质结合图象可得当时，，
当时，，当时，即，
则由，有，解得，
亦可得，或，或，或，
由可得或，即，
由可得，即，
由，可得，即或（舍去，不在定义域内），
由，可得，
综上所述，关于x的不等式的解集为.
故选：D.
9. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.
【详解】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：，
则，
黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，
即，
综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.
10. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助分段函数性质计算可得，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得.
【详解】令，即时，，解得，
时，，无解，故，
设过点与曲线相切的直线的切点为，
当时，，则有，
有，整理可得，即，
即当时，有一条切线，
当时，，则有，
有，整理可得，
令，
则，
令，可得，
故当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
由，
，故在上没有零点，又，
故在上必有唯一零点，
即当时，亦可有一条切线符合要求，
故.
故选：B.
11. 已知双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. (2，+∞)B. (1，2)C. (1，)D. (2，)
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理的边角互化以及双曲线的定义可得，再由，代入上式，解不等式即可.
【详解】，
，
，，
，
解得，
.
故选：D12. 已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 函数是偶函数D. 函数是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD.
【详解】对于A，令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
对于C，令，则有，
则，故函数是奇函数，故C错误；
对于D，有，即，
则函数是减函数，故D正确；对于B，由，令，有，故B正确.
故选：C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】借助赋值法，分别令、，计算即可得解.
【详解】令，则有，
令，则有，
则，
，
故.
故答案为：.
14. 已知，，则____________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，再利用倍角公式以及齐次化问题分析求解.
【详解】因为，则，
显然，可得，整理得，解得或，
又因为，则，可得，
所以.
故答案为：.
15. 已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是____________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为r，球O的半径为R，由题意可得，结合体积公式运算求解.
【详解】设圆锥的底面半径为r，球O的半径为R，
因为圆锥的轴截面为正三角形，可知圆锥的高，
则，即，
可得圆锥的体积，
球O的体积，
所以.
故答案为：．
16. 已知函数，给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根；③已知P是曲线上任意一点，，则；
其中所有正确结论的序号是____________.
【答案】②③
【解析】
【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对与分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得.
【详解】对①：令，即，解得，
可知函数的定义域为，不关于原点对称，
所以函数不是奇函数，故①错误；
对②：由可得，
当时，则，即是该方程一个根；
当，时，由可知，结合定义域可得，
则，可得，
且，解得或（负值舍去），
可得，
所以必有一个大于的正根，即必有一个大于的正根；
当，时，由可知，结合定义域有，
则，可得，
则， 解得或（正值舍去），
令，即，
则，所以必有一个根在内，即必有一个根在内；
综上所述，，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根，故②正确；
对③：令，则有，，
令，，，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
又，，
故恒成立，即，故，故③正确；
故答案为：②③.
【点睛】方法点睛：判断函数零点（方程的根）个数的方法
（1）直接求零点：令，则方程解的个数即为零点的个数；
（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点；
（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在中，角的对边分别是，且．
（1）求；
（2）若面积为，求边上中线的长．
【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角；
（2）根据，得，结合三角形面积公式即可得到，再由正弦定理得边c，以及，即可得到答案．
【小问1详解】
，由正弦定理边化角得，
，，
或（舍），
又，；
【小问2详解】
，，，，
，即，解得，
由正弦定理，
得，
设边的中点为，连接，如下图：
，即，
即，
解得．
18. 如图，在四棱锥中，为的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定.
（i）求证：平面；
（ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；
（2）（i）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，所以四点共面，
因为平面，平面平面，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以；【小问2详解】
（i）取的中点，连接，
由（1）知，所以，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为，所以，
所以，即，
选条件①：，
因为，所以与全等，
所以，因为，所以，
所以，即，又因为，
、平面，所以平面；
（ⅱ）由（i）知平面，而平面，
所以，因为，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，设平面的法向量为, 则，即，
令，则，于是，
因为为平面的法向量, 且,
所以二面角的余弦值为.
选条件③：，
(i) 因为，所以，
因为，所以与全等，
所以，即，
因为，又因为，、平面，
所以平面；
(ii) 同选条件①.
不可选条件②，理由如下：
由（i）可得，又，
，、平面，
所以平面，又因为平面，
所以，即是由已知条件可推出的条件，
故不可选条件②
19. 高三学生参加高考体检，一班共有50人，分成A，B，C三个小组，分别有15，15，20人.
（1）若三组同学在一起排序进行，求最后一位同学来自A组且B组比C组结束的早的概率；（2）若每位同学体检时间都是两分钟，三组同学在一起排序进行，求A组同学全部结束所需时间的期望.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 “最后是组同学，且比先完成”，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）设所需时间为，得到，结合组合数的性质运算即可得的值.
【小问1详解】
设“最后是组同学，且比先完成”，
则.
【小问2详解】
设所需时间为，则可取，
则，
，
因为
，
所以.
20. 已知函数.
（1）求曲线点处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；
（2）由题意可知在内恒成立，构建，分类讨论，根据导数与单调性的关系判断的单调性，结合恒成立问题分析求解.
【小问1详解】
由题意可知：，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为，即.
小问2详解】
因为，即，
整理得在内恒成立，
构建，则，
构建，则，
①当，即时，则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，
即在内恒成立，可知在内单调递增，
所以，不合题意；
②当，即时，则在内恒成立，可知在内单调递减，则，
即在内恒成立，可知在内单调递减，
所以，符合题意；
③当，即时，因为在内单调递减，
且，
所以，使得，
当时，，可知在内单调递增，则，
即在内恒成立，可知在单调递增，
则，不符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
21. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）【解析】
【分析】（1）设出直线与直线的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关的韦达定理，结合题意，表示出直线后即可得定点坐标；
（2）利用面积得到，再结合基本不等式可求最小值.
【小问1详解】
设，，由抛物线的对称性，不妨设，则，
设，由，得，，
故，，，，
所以，同理可得，
若，则直线，MN过点，
若，则直线，MN过点，
综上，直线过定点；
【小问2详解】
设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点．
由M，H分别为AB，AD的中点知，所以，故，
设T为直线GN与AD的交点，同理可得，
所以，
由（1）可得，同理可得，
所以，
当且仅当时等号成立，
因此的面积的最小值为8．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（t为参数），曲线N的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线N的普通方程.
（2）已知点，若曲线M与曲线C相交于A，B两点，求和的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）将用、表示后，代入消去即可得；
（2）求出曲线M的普通方程与曲线C的直角坐标方程，联立后结合韦达定理计算即可得.
【小问1详解】
由（t为参数），则，即，则，整理得，
即曲线N的普通方程为；
【小问2详解】
由（t为参数），则，故M为直线，
由，有，即，
联立，消去，可得，，
令，，则有，，
则，
，
即，.
[选修4—5；不等式选讲]（10分）
23. 已知关于x的不等式有解.
（1）求实数t的取值范围；
（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且.求证:.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)令，求出的最大值，由不等式有解可知，从而得到关于t的不等式，即可解出t的取值范围；
(2)由柯西不等式得即可证明结论.【小问1详解】
令，
所以当时，取得最大值为3，
关于x的不等式有解等价于，
即
当时，上述不等式转化为，解得，
当时，上述不等式转化为，解得，
综上所述t的取值范围为，
故实数t的取值范.
【小问2详解】
根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足，
所以由柯西不等式可得
，
当且仅当，，时取等号，
所以.