2023-2024学年四川省德阳市中江县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年四川省德阳市中江县八年级下学期期中数学试题及答案，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）二次根式有意义的条件是（ ）
A．x＞3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥3
2．（4分）下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对角相等B．对角线互相平分
C．一组对边相等D．对角线互相垂直
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）已知三角形的三边长之比为1：1：，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
6．（4分）有理数a，b，c在数轴上的位置如图：化简：＝（ ）
A．a﹣b﹣2cB．﹣a﹣bC．a+cD．a﹣b
7．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（ ）
A．8B．6C．9D．10
8．（4分）如图，一架梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1米，则梯子顶端A下落了（ ）
A．1米B．2米C．3米D．5米
9．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝12，则边AD的长度x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜6B．3＜x＜9C．1＜x＜9D．2＜x＜8
10．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．25°D．17.5°
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3B．C．5D．
12．（4分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.将答案填在答题卡对应的位置上）
13．（4分）计算：＝ ．
14．（4分）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣y2的值为 ．
15．（4分）有一只鸟在一棵高4米的小树梢 上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢，那么这只鸟至少 秒才能到达大树和伙伴在一起．
16．（4分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为BC上一动点，过P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则P在运动过程中EF的最小值为 ．
18．（4分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝1，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
19．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
20．（10分）计算：．
21．（10分）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝46°，求∠CBE的度数．
22．（12分）如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即AD＝60km）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向，并说明理由．
23．（13分）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝，BC＝，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
（2）若原点为O，且CO＝，求P的值．
24．（14分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
25．（15分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以2cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，满分48分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的。
1．【解答】解：∵要使有意义，必须x+3≥0，
∴x≥﹣3，
故选：C．
2．【解答】解：
A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、∵OA＝OC、OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
3．【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C、3﹣＝3﹣2＝，故本选项正确；
D、3和不能合并，故本选项错误．
故选：C．
4．【解答】解：＝2，
A、与是同类二次根式，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、＝3，与不是同类二次根式，不符合题意；
D，＝2，与不是同类二次根式，不符合题意，
故选：A．
5．【解答】解：由题意设三边长分别为：x，x， x
∵x2+x2＝（x）2，∴三角形一定为直角三角形，并且是等腰三角形．
故选：D．
6．【解答】解：由有理数a，b，c在数轴上的位置可知，c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|，
所以a+c＜0，b﹣c＞0，
所以原式＝﹣a﹣c﹣b+c＝﹣a﹣b．
故选：B．
7．【解答】解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8．
故选：A．
8．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝5m，BC＝3m，根据勾股定理得AC＝＝4米，
Rt△CDE中，ED＝AB＝5m，CD＝BC+DB＝3+1＝4米，
根据勾股定理得CE＝＝3，
所以AE＝AC﹣CE＝1米，
即梯子顶端下滑了1m．
故选：A．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝×6＝3，OD＝BD＝×12＝6，
∴边AD的长度x的取值范围是：6﹣3＜x＜6+3，
即3＜x＜9．
故选：B．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，
∵BP＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：B．
11．【解答】解：设ED＝x，则AE＝6﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC；
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x；
由勾股定理得：
BE2＝AB2+AE2，
即x2＝9+（6﹣x）2，
解得：x＝3.75，
∴ED＝3.75．
故选：B．
12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAE＝∠DCF，
AB＝CD（故③不正确），
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF（故①正确），
同理：DE＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BE∥DF（故②正确），
∵AB＝CD，AD＝BC，AC＝AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴两三角形AC边上的高的相等，
∵△ABE，△ADE分别是△ABC与△CDA中的小三角形，且AE＝AE，
∴S△ADE＝S△ABE（故⑤正确），
∵AE＝CF，
∴AF＝CE（故⑥正确），
∴正确的有：①②④⑤⑥共5项．
故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.将答案填在答题卡对应的位置上）
13．【解答】解：原式＝4×5＝20．
故填20．
14．【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，x﹣y＝2，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×2
＝4；
故答案为4．
15．【解答】解：如图所示，根据题意，得
AC＝20﹣4＝16，BC＝12．
根据勾股定理，得
AB＝20．
则小鸟所用的时间是20÷4＝5（s）．
故答案为：5．
16．【解答】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，
故答案为：15．
17．【解答】解：如图，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝AC•AB＝BC•AP，
即×4×3＝5×AP，
∴AP＝，
即P在运动过程中EF的最小值为，
故答案为：．
18．【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝1，BC＝4，
∴AB2+CD2＝12+42＝17．
故答案为：17．
19．【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S4
＝（S1+S3）﹣S2+S4
＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC
＝6﹣6+6
＝6，
故答案为：6．
三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
20．【解答】解：原式＝2+1+5﹣2﹣4
＝2．
21．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝46°，
∴∠ADC＝∠ABC＝134°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF＝ADC＝67°，
∴∠AFD＝∠CDF＝67°，
∵DF∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝67°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝134°﹣67°＝67°．
22．【解答】解：（1）由题意AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝＝＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
∴C岛在A港的北偏西40°．
23．【解答】解：（1）点A，C对应的数为﹣2，，
P＝﹣2+0+＝﹣；
（2）当点O在点C右边时，
点A所对应数为0﹣5﹣﹣2＝﹣8，
点B所对应数为0﹣5﹣＝﹣6，
点C所对应数为0﹣5＝﹣5，
P＝﹣8﹣6﹣5＝﹣19；
当点O在点C左边时，
点A所对应数为2，
点B所对应数为4，
点C所对应数为5，
P＝2+4+5＝11；
综上所述，P的值为﹣19或11．
24．【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝＝13，
∴OC＝EF＝；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
25．【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝30°．
∵CD＝2t，AE＝t，
又∵在Rt△CDF中，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝t，
∴DF＝AE；
解：（2）∵DF∥AB，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，
即30﹣2t＝t，
解得：t＝10，
即当t＝10时，▱AEFD是菱形；
（3）当t＝时，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；
当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．理由如下：
当∠EDF＝90°时，DE∥BC．
∴∠ADE＝∠C＝30°
∴AD＝2AE
∵CD＝2t，
∴DF＝t＝AE，
∴AD＝2t，
∴2t+2t＝30，
∴t＝时，∠EDF＝90°．
当∠DEF＝90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，
∵∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DEA＝30°，
∴AD＝AE，
AD＝AC﹣CD＝30﹣2t，AE＝DF＝CD＝t，
∴30﹣2t＝t，
解得t＝12．
当∠DFE＝90°时，点E和点F都和点B重合，不能构成三角形，所以，此种情况不存在；
综上所述，当t＝时，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．