人教B版高中数学选择性必修第三册第5章章末综合提升学案
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这是一份人教B版高中数学选择性必修第三册第5章章末综合提升学案，共7页。
类型1 求数列的通项公式阐述：求数列的通项公式是高考重点考查的内容之一，当已知数列为等差或等比数列时，只需利用条件求出基本量(首项a1及公差d或公比q)，即可写出通项公式；由数列的递推公式求通项，通常需要对数列的递推关系进行化归，转化为等差或等比数列问题求通项．常见的类型有：(1)已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an．(2)已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为eq \f(an＋1,pn＋1)＝eq \f(an,pn)＋q，利用eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,pn)))为等差数列求an．(3)已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an．(4)已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an．(5)若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2，))求解．【例1】 已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋eq \f(1,an)＝2Sn，求an．[解] 将an＋eq \f(1,an)＝2Sn变形为aeq \o\al(2,n)＋1＝2Snan．将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简，得Seq \o\al(2,n)－Seq \o\al(2,n－1)＝1．由已知可求得S1＝a1＝1．∴数列{Seq \o\al(2,n)}是等差数列，公差为1，首项为1．∴Seq \o\al(2,n)＝1＋(n－1)·1＝n．∵an>0，∴Sn>0．∴Sn＝eq \r(n)．∴n≥2时，an＝eq \r(n)－eq \r(n－1)．而n＝1时，a1＝1也适合上式．∴数列{an}的通项公式为an＝eq \r(n)－eq \r(n－1)，n∈N＋．【例2】 (1)在数列{an}中，若eq \r(an＋1)＝eq \r(an)＋eq \r(2)，a1＝8，则数列{an}的通项公式为( )A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1)C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1)A [因为eq \r(an＋1)＝eq \r(an)＋eq \r(2)，所以eq \r(an＋1)－eq \r(an)＝eq \r(2)，数列{eq \r(an)}是等差数列．又a1＝8，所以eq \r(a1)＝2eq \r(2)，所以eq \r(an)＝2eq \r(2)＋(n－1)·eq \r(2)＝eq \r(2)n＋eq \r(2)，所以an＝2(n＋1)2．故选A．](2)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为an＝__________．eq \f(3n＋1,2)－eq \f(7,2) [∵数列{an}满足an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N＋)，即an－an－1＝3n，∴a2－a1＝32，a3－a2＝33，a4－a3＝34，…，an－an－1＝3n，∴an－a1＝32＋33＋34＋…＋3n．又a1＝1，∴an＝1＋32＋33＋34＋…＋3n＝1＋eq \f(91－3n－1,1－3)＝eq \f(3n＋1,2)－eq \f(7,2)．故答案为eq \f(3n＋1,2)－eq \f(7,2)．] 类型2 数列求和阐述：数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；(6)并项求和法．一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．【例3】 (2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝eq \f(nan,3)．已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜eq \f(Sn,2)．[解] (1)设{an}的公比为q，则an＝qn－1．因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝eq \f(1,3)，故an＝eq \f(1,3n－1)，bn＝eq \f(n,3n)．(2)证明：由(1)知Sn＝eq \f(1－\f(1,3n),1－\f(1,3))＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))，Tn＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,32)＋eq \f(3,33)＋…＋eq \f(n,3n) ①，eq \f(1,3)Tn＝eq \f(1,32)＋eq \f(2,33)＋eq \f(3,34)＋…＋eq \f(n－1,3n)＋eq \f(n,3n＋1) ②，①－②得eq \f(2,3)Tn＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,33)＋…＋eq \f(1,3n)－eq \f(n,3n＋1)，即eq \f(2,3)Tn＝eq \f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))－eq \f(n,3n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))－eq \f(n,3n＋1)，整理得Tn＝eq \f(3,4)－eq \f(2n＋3,4×3n)，则2Tn－Sn＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(2n＋3,4×3n)))－eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))＝－eq \f(n,3n)＜0，故Tn＜eq \f(Sn,2)．【例4】 设a，b，c，d∈R，定义eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a b,c d))＝ad－bc，设数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an＋1－1 3an－bn, 1 4))＝0，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(bn＋1＋1 3bn－an, 1 4))＝0．(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，证明：eq \f(1,3)＜eq \f(1,S1＋a1)＋eq \f(1,S2＋a2)＋eq \f(1,S3＋a3)＋…＋eq \f(1,Sn＋an)＜2．[解] (1)根据已知得4an＋1＝3an－bn＋4， ①4bn＋1＝3bn－an－4． ②由①＋②得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，整理得eq \f(an＋1＋bn＋1,an＋bn)＝eq \f(1,2)，所以数列{an＋bn}是以a1＋b1＝1为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列．所以an＋bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)． ③由①－②得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即(an＋1－bn＋1)－(an－bn)＝2，所以数列{an－bn}是以a1－b1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以an－bn＝2n－1． ④③＋④得2an＝(2n－1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)，即an＝eq \f(2n－1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)，根据③－④得到bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)－eq \f(2n－1,2)，所以an＝eq \f(2n－1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)，bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)－eq \f(2n－1,2)．(2)证明：因为数列{an}的前n项和为Sn，所以Sn＝eq \f(1,2)(1＋3＋…＋2n－1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＝eq \f(n2,2)＋eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝eq \f(n2,2)＋1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)，则Sn＋an＝eq \f(n2,2)＋1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＋eq \f(2n－1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＝eq \f(n＋12,2)，所以eq \f(1,Sn＋an)＝eq \f(2,n＋12)＜eq \f(2,nn＋1)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，eq \f(1,Sn＋an)＝eq \f(2,n＋12)＞eq \f(2,n＋1n＋2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，所以eq \f(1,S1＋a1)＋eq \f(1,S2＋a2)＋eq \f(1,S3＋a3)＋…＋eq \f(1,Sn＋an)＜2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＜2，eq \f(1,S1＋a1)＋eq \f(1,S2＋a2)＋eq \f(1,S3＋a3)＋…＋eq \f(1,Sn＋an)＞2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n＋2)))≥eq \f(1,3)，所以eq \f(1,3)＜eq \f(1,S1＋a1)＋eq \f(1,S2＋a2)＋eq \f(1,S3＋a3)＋…＋eq \f(1,Sn＋an)＜2． 类型3 数列创新题阐述：新定义、开放型试题是近几年高考命题的热点，通过转化将问题化归为等差或等比数列是求解此类问题的关键．【例5】 已知数列{an}为“二阶等差数列”，即当an＋1－an＝bn(n∈N＋)时，数列{bn}为等差数列．若a1＝25，a3＝67，a5＝101．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的最大值．[解] (1)由定义知，b1＝a2－a1，b2＝a3－a2，b3＝a4－a3，b4＝a5－a4，得b1＋b2＝a3－a1＝42，b3＋b4＝a5－a3＝34．设数列{bn}的公差为d，b3＋b4－(b1＋b2)＝4d＝－8，即d＝－2，易得b1＝22，所以数列{bn}的通项公式为bn＝－2n＋24．(2)由题知，b1＝a2－a1，b2＝a3－a2，b3＝a4－a3，b4＝a5－a4，…，bn－1＝an－an－1，累加可得，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝bn－1＋bn－2＋…＋b1＋a1＝eq \f(n－1{22＋[－2n－1＋24]},2)＋25＝－n2＋25n－24＋25＝－n2＋25n＋1(n≥2)．又当n＝1时，a1＝25也满足上式，所以an＝－n2＋25n＋1．由于二次函数y＝－x2＋25x＋1在x＝eq \f(25,2)时取得最大值，所以数列{an}的最大值为a12＝a13＝157． 类型4 函数与方程思想在数列中的应用阐述：(1)在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．(2)数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．【例6】 (1)已知数列{an}的首项为a1＝21，前n项和为Sn＝an2＋bn，等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n＋1＋a，则Sn的最大值为________；(2)若等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2·a4·a6＝45，则通项公式an＝________．(1)66 (2)2n－3或13－2n [(1)由Tn＝2×2n＋a，可求得a＝－2，所以Sn＝－2n2＋bn，所以数列{an}为等差数列，又因为a1＝21，Sn＝－2n2＋bn，故b＝21－(－2)＝23，所以Sn＝－2n2＋23n＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(23,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(529,8)，当n＝6时，Sn取得最大值66．(2)因为a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，所以a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5，所以a2＋a6＝10且a2·a6＝9，所以a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a6＝9，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝9，,a6＝1，))若a2＝1，a6＝9，则d＝2，所以an＝2n－3；若a2＝9，a6＝1，则d＝－2，所以an＝13－2n．故an＝2n－3或an＝13－2n．]
