【冲刺2024】中考数学真题（2021年广州）及变式题训练-解答题部分（广州中考数学专用）

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【2021广州真题分析】
本卷难度适中，考试范围包括数与式、方程与不等式、图形的性质、统计与概率、函数、图形的变化。前面5道题相对比较基础，主要考查基础计算能力和常规几何分析以及应用题，学生需要有夯实的基础和细心才能拿到满分。具体如下：
【2024中考考情建议】
针对2021广东真题，再结合近三年的考情，2024考生需多加注重基础，夯实基础壁垒，选择填空题尽量不丢分。在此基础上，提高数学分析能力，活跃数学思维，多加重视四边形类的几何性质复习，提高四边形的综合分析能力。
【2021广州真题第17】
1．解方程组
【变式题17】
2．解方程组
3．解二元一次方程组：.
4．（1）解方程组；
（2）
（3）解三元一次方程组．
5．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
6．（1）解不等式组：
（2）解方程组：
【2021广州真题第18】
7．如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．
【变式题18】
8．如图，AD与BC相交于点O，．求证：垂直平分．

9．如图， ．求证：．
10．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，.求证：.
11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．

12．[问题发现]如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是线段AB上一点，过点A作AE⊥CP交CP延长线于点E，过点B作BF⊥CP于点F．
(1)若BF=8，AE=3，则EF=______；
(2)在图1中，线段AE、BF、EF有怎样的数量关系？请说明理由．
(3)[拓展应用]如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是△ABC内部一点，且BP⊥CP，连接AP，若CP=5，求△ACP的面积．
【2021广州真题第19】
13．已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【变式题19】
14．先化简，再求值：，其中m满足：.
15．先化简，再求值：（﹣1），其中a＝（π﹣）0+（）﹣1．
16．已知分式 A 
（1）化简这个分式；
（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
17．先化简，再求值：，其中．
18．先化简，再求值：，其中，．
【2021广州真题第20】
19．某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
（1）表格中的________，________；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为________，中位数为________；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
【变式题20】
20．某校为了增强学生的疫情防控意识．组织全校2000名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分），分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图：
（1）填空：n=______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）抽取的这n名学生成绩的中位数落在 组；
（4）若规定学生成绩为优秀．估算全校成绩达到优秀的人数．
21．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，某学校举行了一次“垃圾分类”知识的小测试，现随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，学生成绩均为整数）进行整理，并绘制成如下统计图.根据以上信息，解答下列问题：
（1）这20名学生的测试成绩的中位数为____________分，众数为____________分.
（2）计算这20名学生的测试成绩的平均数.
（3）该校共2400名学生参加了本次测试，试估计参加此次测试成绩不低于“平均水平”的学生人数.
22．为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的__________；
（2）统计图中组对应扇形的圆心角为__________度；
（3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．
23．某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费．为了了解该市某区用水状况，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括在右端点但不包括左端点）．请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是_______；
（2）补全频数分布直方图，扇形图中“15吨~20吨”部分的圆心角的度数为_______；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户每月25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
24．为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）填空：______，______，______，______；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【2021广州真题第21】
25．民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【变式题21】
26．临近春节，将进入年货物流高峰期，某物流公司计划购买A、B两种型号的智能快递车搬运年货，已知A型快递车比B型快递车每小时多搬运20kg年货，且4台A型快递车每小时搬运的年货与5台B型快递车每小时搬运的年货数量相同．
(1)求A、B两种型号的快递车每小时分别搬运多少年货？
(2)该物流公司计划采购A、B两种型号的快递车共10台，其中A型快递车a台，要求每小时搬运的年货不少于920kg，则至少购进A型快递车多少台？
27．某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有，两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，焚烧炉比焚烧炉多发电50度，，焚烧炉每天共发电55000度．
（1）求焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉的发电量分别增加%和%，则，焚烧炉每天共发电至少增加%，求的最小值．
28．今年受新冠病毒疫情的影响，王大伯家的两种水果“沃柑”和“夏橙”存在销售困难，这一情况被住村干部得知后，决定帮助王大伯提供线上（网上销售）和线下（批发给店铺）两种形式销售．通过一个星期的销售，其中通过线上销售1600斤，且通过线上销售的斤数比线下销售的斤数多60%．
（1）求王大伯的一星期线上线下销售“沃柑”和“夏橙”一共多少斤？
（2）如果销售的这些水果中“沃柑”比“夏橙”的2倍少700斤，而通过线上销售的“夏橙”的斤数不小于线下销售“夏橙”的2倍，则通过线下销售的“沃柑”至少多少斤？
29．某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．
（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？
30．有一批产品需要生产装箱，3台A型机器一天刚好可以生产6箱产品，而4台B型机器一天可以生产5箱还多20件产品．已知每台A型机器比每台B型机器一天多生产40件．
（1）求每箱装多少件产品？
（2）现需生产28箱产品，若用1台A型机器和2台B型机器生产，需几天完成？
（3）若每台A型机器一天的租赁费用是240元，每台B型机器一天的租赁费用是170元，可供租赁的A型机器共3台，B型机器共4台．现要在3天内（含3天）完成28箱产品的生产，请直接写出租赁费用最省的方案（机器租赁不足一天按一天费用结算）．
【2021广州真题第22】
31．如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
【变式题22】
32．在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°．
(1)作△ABC的角平分线AD（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)若DEAC交AB于点E，且DB=6，求AE的长度．
33．如图，在菱形中，点，别是，上点，．
（1）尺规作图：作的角平分线交边于点；（不写作法，用2B铅笔作图并保留痕迹）
（2）在（1）作图中，若，求证：．
34．如图，在中，是边上一点，且．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），作的角平分线交于点；
(2)F为CD中点，连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
35．如图，//，AC平分，且交BE于点C．
(1)作的角平分线交AD于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
(2)根据（1）中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．
36．已知△．
（1）在图中用直尺和圆规作出的平分线和边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点、分别是边和上的点，且，连接求证：；
（3）如图，在（1）的条件下，点、分别是、边上的点，且△的周长等于边的长，试探究与的数量关系，并说明理由．
【2021广州真题第23】
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．
【变式题23】
38．如图，在中，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，．
(1)当时，求证：；
(2)当，时．
①是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长；若不存在，请说明理由；
②连接，点在的延长线上，若点关于的对称点恰好落在内，求的取值范围．
39．放风筝是人们非常喜欢的一种传统游戏活动，至今已有两千多年的历史，它最早是用来祈福和观测气象变化的，后来逐渐演变为娱乐和竞技的工具．数学中有一种四边形，酷似风筝形状，故名“筝形”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个“筝形”，已知垂直平分于点H，，，．直线与反比例函数的图象交于点A，，点C在反比例函数第三象限的图象上，点H在y轴上．
(1)求反比例函数的解析式及点A的坐标．
(2)求点H的坐标．
(3)以A为圆心，的长为半径作，直接写出图中阴影部分的面积．
40．如图1，在坐标平面内的与y轴相切于点C，与x轴相交于点A，B，点P的坐标为．
(1)的半径为________；
(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
(3)若点Q是x轴上一点，且，求点Q的坐标；
(4)如图2，G是点A右侧抛物线上一点，直线交y轴于点E，直线交抛物线于另一点H，直线交y轴于点F，点G的横坐标为m．直接写出的值（用含m 的式子表示）．
41．在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”．
(1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点___________重合；
②点A的横坐标的最小值为___________；
(2)的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m；
(3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
42．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．过原点，点和点三点作，再过点作的切线，为上一动点，过作轴的垂线．交轴于点，连接，交于点．

(1)求证：；
(2)连接，，当时，恰好为等腰三角形，求此时的值；
(3)连接，，交于点，时，记的面积为．的面积为，求．
【2021广州真题第24】
43．已知抛物线
（1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
【变式题24】
44．抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴相交于点H，连接AC，BC．△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后落在第一象限，当点C的对应点C1落在抛物线的对称轴上时，求此时点A的对应点A1的坐标；
（3）如图2，过点C作轴交抛物线于点E，已知点D在抛物线上且横坐标为，在y轴左侧的抛物线上有一点P，满足∠PDC＝∠EDC，求点P的坐标．
45．已知一次函数与轴，轴分别交于点两点，抛物线；
(1)若抛物线经过点，求出抛物线的解析式；
(2)抛物线是否经过一定点，若经过定点，求出定点坐标，若不经过，请说明理由；
(3)在（1）的条件下，第一象限一点是抛物线上一动点，连接，设点的横坐标为，四边形的面积为，求出与的函数关系式，当取何值时，有最大值是多少？
46．平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当时，的最大值为3，求的值；
（3）已知点，．若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
47．已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求的值（用含的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．
48．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3a）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若a＝，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求点N的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM与CN的数量关系，并说明理由．
【2021广州真题第25】
49．如图，在菱形ABCD中，，，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使，且CF、DE相交于点G
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
【变式题25】
50．在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折，点的对应点为点．
（1）如图，设，，在点从点运动到点的过程中．
①最小值是______，此时x=______；
②点的运动路径长为______．
（2）如图，设，当点的对应点落在矩形的边上时，求的值．
51．已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
52．如图1和图2，在矩形中，，，将线段绕点B顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，作点关于直线的对称点，连接，设点F在折线上运动的路径长为．
(1)若点F在上，求证：；
(2)当点D与点E距离最小时，求x的值；
(3)当点G恰好落在矩形的边所在的直线上时，求的值；
(4)当时，语直接写出四边形的面积．
53．综合探究
如图1，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形 的内部，，连结，．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)当点是的中点时，．
①求的长；
②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结，当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
54．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，，．
(1)直接写出点A、B的坐标；A 、B ；
(2)若点C从O点出发，沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，连接．求的面积S与时间t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
(3)加图3，在（2）的条件下，点C在线段上且时，点E在的延长线上，点D在的延长线上，，连接，．点F在上，点G在x轴负半轴上，点C是的中点．过点F作轴，点P在第一象限，连接，当，时，第一象限内存在一点Q，使四边形成为平行四边形，求出点Q的坐标．
题号
难度系数
详细知识点
17
0.94
代入消元法；
18
0.94
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；
19
0.65
运用平方差公式分解因式；分式加减乘除混合运算；二次根式的乘法；
20
0.65
由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数；求众数；
21
0.85
其他问题(一元一次方程的应用)；用一元一次不等式解决实际问题；
22
0.65
根据三线合一证明；等边三角形的判定；与三角形中位线有关的证明；斜边的中线等于斜边的一半；
23
0.65
几何问题(一次函数的实际应用)；90度的圆周角所对的弦是直径；已知正切值求边长；
24
0.40
其他问题(二次函数综合)；
25
0.40
（特殊）平行四边形的动点问题；相似三角形的判定与性质综合；
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
组别
使用数量（双）
频数
14
10
合
50
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98