【冲刺2024数学】中考真题（2023山东烟台）及变式题（山东烟台中考专用）解答题部分

【冲刺2024数学】中考真题（2023山东烟台）及变式题（山东烟台专用）解答题部分【2023烟台真题及变式题第17】1．先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．2．先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．3．先化简，再求值，从－2，﹣1，0，1中选取一个适合的数代入求值．4．（1）先化简：，再从中选取合适的整数代入求值．（2）解分式方程：．5．（1）先化简，再求值：，其中．（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．6．先化简，再求代数式的值，其中．【2023烟台真题及变式题第18】7．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．  (1)请将条形统计图补充完整；(2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；(3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．8．为了对学生进行多元化的评价，某中学决定对学生进行综合素质评价设该校中学生综合素质评价成绩为x分，满分为100分评价等级与评价成绩x分之间的关系如下表：现随机抽取该校部分学生的综合素质评价成绩，整理绘制成图、图两幅不完整的统计图请根据相关信息，解答下列问题：(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，图中等级为D级的扇形的圆心角等于______；(2)补全图中的条形统计图；(3)若该校共有1200名学生，请你估计该校等级为C级的学生约有多少名．9．为了解九年级学生体育水平，学校对九年级全体学生进行了体育测试，并从甲、乙两班中各随机抽取名学生成绩(满分分)进行整理分析(成绩得分用表示，共分成四组:；，)下面给出了部分信息:甲班名学生体育成绩: 乙班名学生体育成绩在组中的数据是: 甲、乙两班被抽取学生体育成绩统计表根据以上信息，解答下列问题: ， ， ；根据以上数据，你认为 班(填“甲”或“乙”)体育水平更高，说明理由(两条理由): ； .学校九年级学生共人，估计全年级体育成绩优秀的学生人数是多少？10．为庆祝党的二十大的胜利召开，某校开展了“永远跟党走，奋进新征程”为主题的教育活动，活动方式有书法展示、手抄报设计、唱响经典红歌、爱国主义主题演讲（分别用字母，，，依次表示这四种活动方式），为了解全体学生最喜欢哪种活动方式（要求必须选择一种且只能选择一种），抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了以下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：(1)这次被调查的学生有多少人？(2)请补全条形统计图；(3)全校共有2400人，请估计该校最喜欢“书法展示”的学生有多少人？(4)某班准备从最喜欢爱国主义主题演讲的甲、乙两名女生和丙、丁两名男生中任选两人参加学校组织的爱国主义演讲比赛，请用列表法或画树状图法求所选两人恰好为1名女生和1名男生的概率．11．某校为了解九年级学生的学习状况，对本校九年级学生在本学期的学习是否有详细的学习 计划进行了调研，并将调研结果分为：A．已制定详细的学习计划；B．已制定部分学习计划； C．有学习计划但尚未制定；D．无任何学习计划四种类型．现选取部分的调查结果，并绘制了如下不完整的统计图．请根据统计图中的相关信息，解答下列问题．(1)共选取了 名学生；在扇形统计图中，C 类所对应的扇形的圆心角的度数为 ；(2)若本校九年级的学生人数是700，请估计无任何学习计划的学生人数．(3)若在选取的已制定详细的学习计划的4名同学中，有1名男同学和3名女同学，现从这4 名同学中随机选择2人来给其他同学做分享，求恰好选择的都是女同学的概率．12．某校把一分钟跳绳列为学生大课间的运动项目，为了解跳绳运动效果，学校分别在学期初和学期末对九年级共名学生进行了一分钟跳绳测试，学生成绩均为整数，满分分，大于分为优秀，现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析，成绩得分用表示，共分成五组：．，．，．，．，．．学期初抽取学生的成绩在D组中的数据是：，，，，，，，学期末抽取学生的成绩满分分有人．学期末抽取学生成绩统计表分析数据：根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出图表中，，的值，并补全条形统计图；(2)假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了多少人？(3)已知学期末测试成绩组中得满分分的共有名男同学，名女同学，从这个组中任意抽取名同学，请用画树状图法或列表法，求含有一名女同学的概率．【2023烟台真题及变式题第19】13．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）  14．南城门楼是位于武威南门的一座古建筑，是武威老城区的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量鼓楼的高，他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为，再往城门的方向前进12米至C处，测得点A的仰角为（点D，C，B在一直线上），求城门楼AB的高．（结果保留根号）15．如图，某同学站在土坡A处观测教学楼的顶部B的仰角为58°，土坡坡角∠ACD＝22°，AC＝CE＝8m，求教学楼的高度BE．（精确到0.1m，参考数据：，，，，，）16．小刚和小强要测量建筑物的高度，小刚站在建筑物对面的教学楼前地面上一点处，测得建筑物顶端的仰角为，小强站在建筑物对面的教学楼二楼上的点处测得建筑物顶端的仰角为，此时两人的水平距离为，已知点，，，，在同一平面内，点，，在同一条水平直线上，教学楼二楼上的点所在的高度为，根据测得的数据，计算建筑物的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）17．小聪和小明一起放风筝，小聪在距小明米处测得风筝的仰角为，如图，小明的手处距地面为米．此时小聪的眼睛与地面距离米，风筝线与水平方向夹角为．若上述所有点都在同一平面内，求此时风筝到地面的距离．（结果精确到米，参考数据：，，）18．如图是新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的横梁，，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，）(1)求屋顶到横梁的距离AG；(2)求房屋的高AB．（结果精确到）【2023烟台真题及变式题第20】19．【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．  【问题提出】在矩形中，，求线段的长．【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．请你任选其中一种方案求线段的长．20．实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：．操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H．我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______．应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______．21．综合与实践问题情境：如图①，在矩形中，，沿对角线折叠矩形并展开，再沿对角线折叠矩形并展开，两次的折痕交于点O，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接．问题探究：（1）请判断四边形的形状并说明理由；问题解决：（2）在图①基础上将矩形沿折叠得到图②，点A、C对应点分别为点、．①请判断与的位置关系，并加以证明；②连接，当线段的长最小时，请直接写出的长．22．【探究与证明】数学课上，老师让同学们以小组为单位，翻折矩形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作探究，发展空间观念，积累数学活动经验．【问题情境】如图，在矩形中，，将矩形纸片进行折叠．【动手操作】（）如图，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则与的关系为： （）在（）的条件下，求的值．【类比操作】（）如图，希望小组将矩形沿着（点分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求证：四边形是菱形．23．如图①~⑧是课本上的折纸活动．【重温旧知】上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥．（1）图③中的的形状是______；图④的活动发现了定理“____________”（注：填写定理完整的表述）；图⑤中的的长是_______；【继续探索】（2）如图，将一个边长为4的正方形纸片折叠，使点A落在边上的点E处，点E不与B、C重合，为折痕．折叠后的梯形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．24．综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．根据以上操作：四边形的形状是　　　　　；操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．根据以上操作：的度数为　　　　，线段的数量关系是　　　　．(2)迁移探究如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．【2023烟台真题及变式题第21】25．中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．(1)求两种图书的单价分别为多少元？(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？26．某书店准备购进甲和乙两种书，已知每本甲比每本乙的进价少10元，用900元购进甲的数量是用600元购进乙数量的2倍．(1)求甲和乙这两种书每本的进价分别是多少元？(2)若书店购进乙的数量比甲的数量的2倍还要多5本，且甲的数量不少于648本，购进甲和乙两种书的总费用不超过71700元，则书店有哪几种购买方案？27．为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同．(1)研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？(2)该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？28．“安阳是一生必去的城市，有文化，必安阳！”越来越多的游客慕名来到安阳旅游，与甲骨文有关的文旅产品受到游客的普遍欢迎.某商店销售以甲骨文为主题的A，B两款文化衫，每件A款文化衫的利润比每件B款文化衫的利润多8元，销售A款文化衫获利元和销售B款文化衫获利元时的销售数量相同．(1)求每件A款文化衫和B款文化衫的利润．(2)若该商店计划购进A、B两款文化衫共件进行销售，且A款文化衫数量不超过B款文化衫数量的倍，商店购进A、B两款文化衫各多少件，才能使销售完这件文化衫获得最大利润?最大利润是多少?29．2024年成都世界园艺博览会吉祥物为“桐妹儿”，核心创意来自中国特有的孑遗植物珙桐（又称鸽子花）和三星堆“青铜神鸟”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．某中学决定购买A，B两种型号的“桐妹儿”毛绒玩具奖励给表现优异的学生．已知一个B型“桐妹儿”毛绒玩具比一个A型“桐妹儿”毛绒玩具贵30元，且用900元购买A型“桐妹儿”毛绒玩具的数量和用1800元购买B型“桐妹儿”毛绒玩具的数量相等．(1)求A型、B型“桐妹儿”毛绒玩具的单价；(2)学校计划采购A型和B型“桐妹儿”毛绒玩具共100个，且A型“桐妹儿”毛绒玩具的数量不超过B型“桐妹儿”毛绒玩具数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买A型“桐妹儿”毛绒玩具多少个？资金总额最少为多少元？30．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价不变，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？【2023烟台真题及变式题第22】31．如图，在菱形中，对角线相交于点经过两点，交对角线于点，连接交于点，且．  (1)求证：是的切线；(2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值．32．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．  (1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．33．如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点．  (1)判定与的位置关系，为什么？(2)若，．①求的半径的长；②求的长．34．如图，点A，C均在上，，外一点P在直线上，连接交于点B，作点B关于的对称点D，以点D为顶点作，点E在上．(1)求证：是的切线；(2)若平分，，求的长．35．如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，，(1)求证：是的切线；(2)若点是上的一点，连接、，，．①求的值；②若为的角平分线，求的长．36．如图所示，在中，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接．(1)若，求的值；(2)过点作的切线，交于点，求证：是的中点．【2023烟台真题及变式题第23】37．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．  (1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．38．在中，，点O为边的中点，连接，将绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到，连接，．(1)如图1，当时，请直接写出与的数量关系__________(2)如图2，延长到点D，使，连接，若．①求的值；②求的长．39．已知和是有公共顶点的等腰直角三角形；且，.  (1)，在线段上，连接并延长交于F，如图1．①求证：；②求的长．(2)若，点B、D、E在一条直线上，F是中点，G是中点，连接、，如图2，求的值．40．如图1，在等边中，D，E分别是边上点，且，与相交于点P，连接．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图2，连接，若，求的值．41．如图，在和中，，点D正好是边上一动点（不与B、C重合）(1)如图1所示，若，，则与的数量关系为______．直线与相交所成的夹角为______度．【解决问题】(2)如图2，若，请判断：①与的数量关系；②直线与相交所成夹角的度数．请写出你的结论，并说明理由．【拓展探究】(3)如图3，在（2）的条件下，取F为的中点，连接，取N为的中点，连接．若，则在D点运动的过程中，直接写出的最小值．42．折纸是我国传统的民间艺术，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关纸片的折叠问题．(1)折纸1：如图①，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段AB折叠（如图②）．如果长方形纸片，，求重叠部分的面积；(2)折纸2：如图③，已知矩形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上．小明想要在边上找出点E，他的作法如下：i）以点B为圆心，以长为半径画弧，交于点F；ii）作的平分线与交于点E．请问若按上述作法，所得的点E是否符合要求？请证明你的结论；(3)折线3：如图④，在等腰中，，．动点M，N分别在两腰上（M不与A，B重合，N不与A，C重合），且．将沿所在的直线折叠，使点A的对应点为P．设的长为x，与等腰重叠部分的面积为y．①求y与x之间的函数关系式；②试求与等腰重叠部分的面积的最大值，并求出此时的长．【2023烟台真题及变式题第24】43．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．  (1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．44．如图，抛物线交y轴于点，且过点点B是抛物线M上一个动点，过B作，以B为圆心，2为半径的圆交直线于D、E两点（点E位于点D下方）(1)求抛物线M的解析式；(2)连接交于点F，连接．若是以为直角边的直角三角形，求的度数；(3)取的中点Q，连接，求线段的最小值．（直接写出答案）45．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．46．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．  (1)求抛物线的解析式；(2)若是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．（ⅰ）如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标；（ⅱ）如图3，连接，与交于点，连接，，，求的最大值．47．综合与实践问题提出  如图1，在中，，，点D在上，，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边作正方形．设点P运动的线路长为x，正方形的面积为y．初步感悟（1）当点P在上运动时，若，则①______，y关于x的函数关系式为______；②连接，则长为______．（2）当点P在上运动时，求y关于x的函数解析式．延伸探究（3）如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：①当点P的运动到使时，图像上对应点的坐标为______；②当将正方形分成面积相等的两部分时，与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时的长，以及自变量和函数的值．48．如图，四边形内接于，对角线、相交于点M，．(1)求证：．(2)当时，记，记．①当时，求t的值；②求t的最大值．(3)当为直径时，连接交于点E，满足以下条件：①；②；③（m，n均为正整数）；求的半径r的值．中学生综合素质评价成绩中学生综合素质评价等级A级B级C级D级平均数中位数众数方差甲班乙班学生成绩组组组组组人数平均数中位数众数学期初抽取学生成绩学期末抽取学生成绩