福建省永春第一中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省永春第一中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：A、，该选项错误；
B、，该选项正确；
C、，该选项错误；
D、，该选项错误；
故选：B．
2. 若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为( )
A. 9B. 12C. 7或9D. 9或12
答案：B
解析：根据等腰三角形有两边相等，可知三角形的三边可以为2，2，5或2，5，5，
然后根据三角形的三边关系可知2，5，5，符合条件，
因此这个三角形的周长为2+5+5=12．
故选B．
3. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：，
故选：C．
4. 如图，中，D为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（ ）

A. 中，是上高B. 中，是上的高
C. 中，是上的高D. 中，是上的高
答案：D
解析：解：A、中，是上的高，说法正确，故本选项不符合题意；
B、中，是上的高，说法正确，故本选项不符合题意；
C、中，是上的高，说法正确，故本选项不符合题意；
D、中，是上的高，说法错误，应为上的高，故本选项符合题意；
故选：D．
5. 如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （ ）
A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处
C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处
答案：A
解析：解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为三条角平分线的交点．
故选：A．
6. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
如图，
根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短．
故选D．
7. 下列各式，，，，，中，分式有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
答案：A
解析：解：分式有：，，，共3个．
故选：A
8. 已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（ ）
A. ﹣6B. 6C. ﹣5D. ﹣1
答案：A
解析：解: xy＝﹣3，x+y＝2,
x2y+xy2= xy (x+y)=-32=-6.
故答案：A.
9. 下列函数中，自变量x的取值范围为x＞1的是（ ）
A. B. C. D. y＝（x﹣1）0
答案：B
解析：A．中，此选项不符合题意；
B．中，此选项符合题意；
C．中，此选项不符合题意；
D．中，此选项不符合题意；
故选B．
10. 如图，在中，，平分，于点，有下列结论，①；②；③平分；④；其中结论正确的个数为（ ）
A. 1B. 4C. 3D. 2
答案：B
解析：解：在中，，
平分，，
∴，故①符合题意；
在与中，
，
∴，
∴，，
∴平分，故③符合题意；
∵，
∴，故②符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意，
∴结论正确的个数为4，
故选：．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 化简______．
答案：
解析：解：．
故答案为：．
12. 如图，，则的长是________．
答案：5
解析：解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：5
13. 中国古代数学家祖冲之算出圆周率约为，在这个数中数字1出现的频数是______．
答案：2
解析：解：在这个数中数字1出现的频数是2；
故答案为2．
14. 将直线y＝-2x＋3向下平移5个单位，得到直线________________
答案：y=-2x-2
解析：根据平移时k值不变及上移加，下移减即可得出答案．
将直线y＝-2x＋3向下平移5个单位，得到直线y=-2x-2．
15. 如图，在中，，分别以为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则的长为____．
答案：4
解析：解：∵以为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，
∴
∵，
∴
故答案为：4．
16. 点，是反比例函数的图象上的两点，如果，那么__________（填“>”，“=”，“<”）
答案：．
解析：∵反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵
∴．
故答案：．
三、解答题（9小题，共86分）
17. 计算：．
答案：
解析：解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，
答案：，
解析：解：


当，时，
原式
19. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，．
证明：．
答案：证明见解析
解析：证明：∵，
∴
∵，
∴.
在与中，
∵，
∴，
∴
20. 如图，是的外角，．
（1）请你用尺规作图的方法作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
答案：（1）作图见解析；
（2），说明见解析．
小问1解析：
解：如图，为所作；
小问2解析：
解：．
理由如下：∵平分，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴．
21. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
答案：（1）第一批饮料进货单价为8元． （2）销售单价至少为11元．
解析：（1）设第一批饮料进货单价为元，则：
解得：
经检验：是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为元，则：
，
化简得：，
解得：，
答：销售单价至少为11元．
22. 如图表示某学校秋游活动时，学生乘坐旅游车所行走路程与时间的关系的示意图，请根据示意图回答下列问题：
（1）学生何时下车参观第一风景区？参观时间有多长？
（2）11∶00时该车离开学校有多远？
（3）学生何时返回学校，返回学校时车的平均速度是多少？
答案：（1）9点第一次停下参观，共小时
（2）千米
（3）14时，千米/小时
小问1解析：
由图形可得学生9点第一次停下参观，参观的时间为9点至10点30分，共小时．
小问2解析：
设一次函数的解析式为，根据题意，在图象上，
，
解得，
解析式为
当时，
（千米），
答：11:00时，离学校65千米．
小问3解析：
学生14时开始返回，返回的速度为千米/小时．
23. 某学校开展“感受劳动之美，共享劳动快乐”为主题的劳动教育周活动，小明随机调查了参与此次活动的若干名同学，统计了他们在本次活动中参加家务劳动的时间（单位：小时），并将获得的数据分成A，B，C，D四组，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求小明随机调查的参与此次活动的学生共有多少人；
（2）求组所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图．
（3）在此次劳动教育周活动中，求参加家务劳动时间不超过8小时的人数所占的百分比．
答案：（1）50 （2），画图见解析
（3）
小问1解析：
解：根据题意得：（人）；
小问2解析：
解：根据题意得：，
C组人数：（人），补全图如下：
；
小问3解析：
解：根据题意知：参加家务劳动时间不超过8小时的人数为：（人），
∴参加家务劳动时间不超过8小时的人数所占的百分比为：．
24. 若数可以表示成（，为自然数）的形式，则称为“希尔伯特”数．例如：，，…所以3，39，147是“希尔伯特”数．
（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明：所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．
（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．
答案：（1）7=32+22-3×2；1=12+02-1×0
（2）见解析 （3）这两个“希尔伯特”数分别为903与679或327与103
小问1解析：
解:7=32+22-3×2；1=12+02-1×0，
小问2解析：
解：设第一个奇数为2n-1，第二个奇数为2n+1，
∴连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数为：
=
=，
∵n为整数，∴n2为正整数，4n2能被4整除，
∴被4除余3，
∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．
小问3解析：
第一个“希尔伯特”数为，第二个“希尔伯特”数为，
∴-
=-
=4，
∵它们的差是224，
∴4=224，
∴，
∴或，
解得或，
当时，
∴，
，
当时，
∴，
，
∴这两个“希尔伯特”数分别为903与679或327与103．
25. 已知△ABC中，AB=AC，
（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；
（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．
答案：（1）见解析 （2）5
（3）CD2= BD2 + 4AH2，理由见解析
小问1解析：
如图1
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+ ∠CAE，
即∠DAC=∠BAE，
在△ACD与∆ABE中，

∴△ACD≌△ABE (SAS)，
∴CD= BE；
小问2解析：
连接BE，
∵CD垂直平分AE
∴AD= DE，
∵∠DAE=60°
∴△ADE是等边三角形．
∴DE= AD= 3
∴∠CDA=∠ADE=°=30°，
由(1) 得△ACD≌△ABE，
∴BE= CD=4，
∵∠BEA =∠CDA = 30°，
∵∠BED=∠AED+∠BEA = 60°+ 30°= 90°
∴ BE⊥DE．
在Rt△BED中，BD=
∴BD= 5；
小问3解析：
(3) CD2= BD2 + 4AH2，理由如下：
如图，过B作BF = AE，且BF⊥BD连接DF，EF

则四边形ABFE是平行四边形，
∴ AB= AC= EF，
∴BD垂直平分AE，
∴AD=DE
设∠AEF= x，∠AED= y，
则∠FED= x+ y，
∠BAE= 180°- x，
∠EAD=∠AED= y，
∠BAC = 2∠ADB= 180° - 2y，
∠CAD= 360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD
= 360° - (180° - 2y)-(180° -x)-y
= x+y
∴∠FED=∠CAD，
在△ACD和△EFD中，

∴△ACD≌△EFD(SAS)，
∴CD= FD，
在Rt△BDF中，根据勾股定理：
BD2+ BF2= DF2
∵BF= AE= 2AH，
∴CD2= BD2 + 4AH2