高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质精品课时训练

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1．二项式展开式的常数项为（ ）
A．B．60C．120D．240
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.
【详解】展开式的通项为：，
令得，
所以展开式的常数项为，
故选：B．
2．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．20C．D．15
【答案】A
【分析】首先根据题意得到的第项为，再令求解即可.
【详解】的第项为，
令，则，
所以的展开式中，含项为，系数为.
故选：A
3．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．256
【答案】B
【分析】先根据只有第项的二项式系数最大确定的值，再令求解即可．
【详解】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，则．
即，令，得到．
故选：B.
4．展开式中的系数是（ ）
A．B．C．24D．9
【答案】A
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】依题意，展开式中含的项为：
，
所以的系数是.
故选：A
5．若，则（ ）
A．1B．513C．512D．511
【答案】D
【分析】利用赋值法，先令，求出，再令，求出，从而可求得结果.
【详解】令，得，令，得，
所以，
故选：D
6．的展开式中各项系数之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，即可求得各项系数之和.
【详解】令，得的展开式中各项系数之和为．
故选：C
7．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用“杨辉三角”中的数的特点求解即可.
【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点：
1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1，
2.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，
所以.
故选：D.
8．的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【分析】根据二项式系数的定义求解即可.
【详解】因为的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，
所以，解得.
故选：B.
9．（多选）展开式中二项式系数最大的是，则可以是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】BCD
【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.
【详解】根据二项式系数的对称关系，
当时，所有二项式系数中，，且均为最大；
当时，所有二项式系数中， 最大；
当时，所有二项式系数中，，且均为最大；
故选:BCD.
10．下列关于的说法，正确的是（ ）
A．展开式的各二项式系数之和是1024B．展开式各项系数之和是1024
C．展开式的第5项的二项式系数最大D．展开式的第3项为45x
【答案】AD
【分析】利用二项式定理，结合二项式系数的性质逐项判断作答.
【详解】对于A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确；
对于B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误；
对于C，的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误；
对于D，的展开式的第3项为，D正确.
故选：AD
11．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】240
【分析】利用二项展开式的通项公式即可.
【详解】在的展开式中，的系数为；
在的展开式中，的系数为；
所以在的展开式中，的系数为；
故答案为：240
12．已知关于的展开式中的常数项为，则
【答案】1
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】的常数项为，
因此，
故答案为：1
13．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．
(1)求的值；
(2)求展开式中的系数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由二项式定理求解．
【详解】（1）由题意可得，，解得；
（2），
二项展开式的通项为
由，得．
展开式中的系数为．
14．已知对任意给定的实数，都有.求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用赋值法求解，令可得结果；
（2）利用赋值法求解，令可得结果；
【详解】（1）因为，
令，则；
（2）令，则，
由（1）知，
两式相减可得.
1．的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【答案】C
【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解.
【详解】依题意，的展开通项公式为，其系数为，
当为奇数时，才能取得最小值，
又由二项式系数的性质可知，是的最大项，
所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.
故选：C．
2．的展开式中的系数为 （用数字作答）.
【答案】112
【分析】由二项式定理展开即可求出的系数.
【详解】因为的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为112.
故答案为：112.
3．若，则 .
【答案】15
【分析】由函数观点结合赋值法即可求解.
【详解】不妨设，
令得，
令得，
所以.
故答案为：15.
4．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，可得，故的系数为.
故答案为：
5．已知的展开式中的系数为，则实数 ．
【答案】
【分析】写出展开式通项，进而确定特定项系数.
【详解】二项式展开式的通项为，
所以的展开式通项为或，
所以令，解得，
所以展开式中的系数为，
解得，
故答案为：.
6．已知的展开式中共有项，则有理项共 项．（用数字表示）
【答案】
【分析】先求n，然后化简通项，由指数为整数可得.
【详解】因为的展开式中共有项，所以，
则通项，
当时，，相应项为有理项，故有理项共有4项.
故答案为：4
7．设，则 ， .（均用数字作答）
【答案】 1 364
【分析】通过赋值的思路计算即可.
【详解】令得，；
令得，，
令得，，
两式相减得，，解得.
故答案为：1；364.
8．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)－2
(2)1093
(3)2187
【分析】运用赋值法结合二项式定理求二项展开式中部分项的系数之和．
【详解】（1）当时，；
当时，；
故；
（2）当时，；
由（1）知，
所以；
（3）由展开式可知均为负值，均为正值，
结合（1）（2）可知，
故
.
1．若，则的展开式中的系数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二项展开式求指定项的系数即可.
【详解】的展开式中的系数为，
因为，所以．
故选：D.
2．把二项式的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为，有理项两两不相邻的概率为，则（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据二项式的展开公式可得有5项有理项，4项无理项，从而可得、的值，再代入求解即可得答案.
【详解】解：，其中，，
当时为有理项，故有5项有理项，4项无理项，
故，，故.
故选:A．
3．在 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
(1)求n的值.
(2)求 的展开式中的常数项.
(3)求展开式中所有系数的和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二项式系数的关系求得.
（2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项.
（3）令求得所有系数的和.
【详解】（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，
即，解得.
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为.
（3）由令得，
即展开式中所有系数的和为.
4．（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项？
【答案】（1）；（2）①；②第6项和第7项
【分析】（1）对x进行赋值，与时即可求得.
（2）利用二项式定理写出通项公式，二项式系数最大项即为展式中的中间项，设第项系数最大，则有不等式组可求得k值.
【详解】（1）∵，
令，可得，令，可得，
∴．
（2）①．
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．
②设第项系数的绝对值最大，
则所以解得
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．