新高考数学三轮冲刺专题09 立体几何（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺专题09 立体几何（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（含解析），共86页。
易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）
水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.
例．如图矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，
(1)判断平面四边形OABC的形状并求周长；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.
【解析】（1）将直观图还原得 SKIPIF 1 < 0 ，如下图，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，其周长为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）四边形 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为旋转轴，旋转一周，得到一个圆柱和两个一样的圆锥， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
变形1．如图，梯形 SKIPIF 1 < 0 是一水平放置的平面图形 SKIPIF 1 < 0 在斜二测画法下的直观图.若 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，求梯形 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【解析】如图，根据直观图画法的规则，
直观图中 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，⇒原图中 SKIPIF 1 < 0 ，
从而得出AD⊥DC，且 SKIPIF 1 < 0 ，
直观图中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，⇒原图中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．
故其面积 SKIPIF 1 < 0 .
变形2．如图所示，正方形 SKIPIF 1 < 0 是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC与正方形 SKIPIF 1 < 0 的各点分别一对应，如OB对应直观图中的 SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】（1）原图形OABC是个平行四边形，如下图所示
底为OA＝2，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥，
∴几何体体积 SKIPIF 1 < 0
∴几何体表面积 SKIPIF 1 < 0
变形3．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
（2）在(1)中若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴且 SKIPIF 1 < 0 ，求原平面图形△ABC的面积．
【解析】（1）画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
②在题图中，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交x′轴于 SKIPIF 1 < 0 ，在x轴上取 SKIPIF 1 < 0 ，过D作 SKIPIF 1 < 0 轴，并使 SKIPIF 1 < 0 .
③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴BD⊥AC.
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .∴ SKIPIF 1 < 0 .
1．如图， SKIPIF 1 < 0 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，

(1)画出它的原图形，
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，求原图形中 SKIPIF 1 < 0 边上的高和原图形的面积.
【解析】（1）画出平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴上取 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在图①中，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴上取 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，并使 SKIPIF 1 < 0 ,
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 原来的图形，如图②所示：

（2）由（1）知，原图形中， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为原图形中 SKIPIF 1 < 0 边上的高，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在直观图中作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，

则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故原图形中 SKIPIF 1 < 0 边上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，原图形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
2．画出图中水平放置的四边形 SKIPIF 1 < 0 的直观图 SKIPIF 1 < 0 ，并求出直观图中三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积.

【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形 SKIPIF 1 < 0 的直观图 SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .

3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求原平面图形ABCD的面积；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
【解析】（1）还原平面图形ABCD，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
原平面图形ABCD为直角梯形，故 SKIPIF 1 < 0 ；

（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图，

其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，
所以几何体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
几何体的体积为 SKIPIF 1 < 0
4．如图所示，正方形 SKIPIF 1 < 0 是一个水平放置的平面图形 SKIPIF 1 < 0 的直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 .

(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形 SKIPIF 1 < 0 与正方形 SKIPIF 1 < 0 的各点分别对应，如 SKIPIF 1 < 0 对应直观图中的 SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】（1）原图形 SKIPIF 1 < 0 是个平行四边形，如下图所示，底为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 .

SKIPIF 1 < 0 .
（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，
另一侧有多出一个相同的圆锥.
SKIPIF 1 < 0 几何体表面积 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 几何体体积 SKIPIF 1 < 0 .
5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .

(1)求原平面图形 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)将原平面图形 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 旋转一周，求所形成的几何体的体积.
【解析】（1）将直观图复原为原图，如图，作 SKIPIF 1 < 0 ，

则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即原图形 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，
故原平面图形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）将原平面图形 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 旋转一周，
所形成的几何体是一个以 SKIPIF 1 < 0 为底面半径的圆锥和一个以 SKIPIF 1 < 0 为底面半径的圆柱组成的组合体，
其体积为 SKIPIF 1 < 0 .
6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ．

(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCD并求面积；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
【解析】（1）如图所示：梯形ABCD为还原的平面图形，作 SKIPIF 1 < 0 交AD于点，

因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个以AB为底面半径的圆柱挖去一个以EC为底面半径的圆锥，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以所形成的几何体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所形成的几何体的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
7．如图，梯形 SKIPIF 1 < 0 是水平放置的四边形 SKIPIF 1 < 0 的斜二测画法的直观图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)在下面给定的表格中画出四边形 SKIPIF 1 < 0 （不需写作图过程）；

(2)若四边形 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，且 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，且 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，且 SKIPIF 1 < 0 ；
连接 SKIPIF 1 < 0 ，即可得四边形 SKIPIF 1 < 0 .

（2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥，
故体积为 SKIPIF 1 < 0 .

8．如图，一个水平放置的平面图形的直观图 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ，求原平面图形的周长．

【解析】由题可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
还原直观图可得原平面图形，如图所示：

则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴原平面图形的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．如图所示， SKIPIF 1 < 0 为四边形OABC的斜二测直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【解析】（1）解：在直观图中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以在平面图形中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面四边形 SKIPIF 1 < 0 的平面图形如下图所示：

由上图可知，平面四边形 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，
所以面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱母线长和高都为1，即 SKIPIF 1 < 0 ；
圆锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，母线长为 SKIPIF 1 < 0
所以体积 SKIPIF 1 < 0 ；
所以表面积 SKIPIF 1 < 0 ．
10．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 SKIPIF 1 < 0 的直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)画出平面四边形 SKIPIF 1 < 0 的平面图，并计算其面积；
(2)若该四边形 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.
【解析】（1）
如图1，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的平面图如图2所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可得，在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
如图3，分别过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 及其延长线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 .
矩形 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 及其延长线，旋转一周得到一个底面半径 SKIPIF 1 < 0 ，母线 SKIPIF 1 < 0 的圆柱；
SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 ，旋转一周得到一个底面半径 SKIPIF 1 < 0 ，母线 SKIPIF 1 < 0 ，高 SKIPIF 1 < 0 的圆锥；
SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 及其延长线，旋转一周得到一个底面半径 SKIPIF 1 < 0 ，母线 SKIPIF 1 < 0 ，高 SKIPIF 1 < 0 的圆锥.
所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.
则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，
所以，旋转形成的几何体的体积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
11．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为等边三角形；
(2)若（1）中的等边 SKIPIF 1 < 0 边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积.
注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤.
【解析】（1）由题及余弦定理知， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形.
（2）画法：①如图(1)，在等边 SKIPIF 1 < 0 中，取 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 轴，两轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
在图(2)中，画相应的 SKIPIF 1 < 0 轴与 SKIPIF 1 < 0 轴，两轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
②在图(2)中，以 SKIPIF 1 < 0 为中点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上取，在轴上取；
③连接，擦去辅助线轴和轴，得等边的直观图(图(3)).
因为是边长为2的正三角形，所以，边上的高为，
在中，，所以，
边上的高，
故，
故直观图面积.
易错点二：空间点、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）
结论：①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线面》
②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》
③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》
④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（）》
⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《》
易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
例 ．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是
A．若，则B．若，则
C．若相交，则相交D．若相交，则相交
【解析】解：由、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且，，
若，我们可得且，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得，故A正确；
若，则或，此时，故B正确；
若、相交，则表示，不平行，则，也不平行，则、相交，故C正确；
若、相交，则、既可以是相交直线，也可以是异面直线．故D错误
故选：D．
变式1．在空间中，已知，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，则B．若且，则
C．若，，，，则D．若，，则
【解析】若，，则或，故错误； 若且，则，故正确；若，，，，则与相交或，故错误；若，，则不一定平行，故错误.
故选：
变式2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ）
①若，，且∥，则∥；
②若，∥，且∥，则；
③若∥，，且，则∥；
④若，，且，则.
其中真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由且，可得，
而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；
由于，，所以，则，故②正确；
若与平面的交线平行，则，
故不一定有，故③错误；
设，在平面内作直线，
，则，又，所以，
，所以，从而有，故④正确.因此，真命题的个数是.故选：B
变式3．若，为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“” （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由且，能推出，充分性成立；
若且，则或或与相交，必要性不成立，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
1．已知不同直线a，b，不同平面α，β，γ，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A，若，此时可能相交，如下图所示：

当都与平行时，相交，故A错误；
对于B，由，利用线面平行的性质可知存在直线满足，且，
又，所以，又，所以可得，即B正确；
对于C，若，不妨设，
如下图所示：

假设不成立，
过直线上一点A作于点，作于点；
由可知，，
这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾，
所以应重合为交线，所以，可得C正确；
对于D，如图所示：

若，，，此时可能斜交，不一定垂直，所以D错误；
故选：BC
2．已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A：若，则或相交，
例如在正方体中，平面平面，
且平面，可知平面，平面，故A不一定成立；
对于选项B：若，由线面垂直的性质可知，故B成立；
对于选项C：若，且，则不一定垂直，
例如在正方体中，平面∥平面，
且平面，平面，，故C不一定成立；
对于选项D：若，且，则不一定成立，
例如在正方体中，平面平面，
且平面，平面，可知，故D不一定成立；
故选：ACD.
3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的为（ ）
A．若，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，则.
【答案】BC
【解析】对A，，但位置关系不能确定，故A错误；
对B，由面面垂直的判定可得，因为，，则，故B正确；
对C，由面面平行的性质可得若，，则，同理，故C正确；
对D，若，且交于，但不一定垂直于，则不成立，故D错误.
故选：BC
4．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，分别与，所成的角相等，则
D．若，，，且，则，，交于点
【答案】BD
【解析】对于A，当，时，或，所以A错误，
对于B，如图，设，在平面内作，在平面内作，且与不重合，因为，，，，所以，同理可得，所以∥，因为，，所以∥，因为，，所以∥，因为，所以，所以B正确，
对于C，当，，分别与，所成的角相等时，则，与所成的角相等，所以可将，看成正三棱锥的两条侧棱所在的直线，平面为该正三棱锥的底面所在的平面，则，与所成的角相等，但直线，相交，所以C错误，
对于D，因为，，，所以，因为，所以由公理3可得，所以D正确，
故选：BD
5．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】CD
【解析】l是直线，，是两个不同的平面，知：
在A中，若，，则与相交或平行，故A错误，
在B中，若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故B错误，
在C中，若，，由直线与平面垂直的性质，可得，故C正确，
在D中，，，由直线与平面垂直的性质，可得，故D正确，
故选：CD
6．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），那么下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），
或，故A、D错误；
，B正确；
，C正确；
故选：BC
7．已知平面平面，则下列结论一定正确的是（ ）
A．存在直线平面，使得直线平面
B．存在直线平面，使得直线平面
C．存在直线平面，直线平面，使得直线直线
D．存在直线平面，直线平面，使得直线直线
【答案】BCD
【解析】A. 若存在直线平面，使得直线平面，则，故错误；
B.当时，又 ，所以 ，故正确；
C.当时，，故正确；
D. 当时，，故正确；
故选：BCD
8．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】CD
【解析】A.缺少这个条件，故A错误；
B. 若，，，则或相交，故B错误；
C. 若，，则，又，则，故C正确；
D.若，，则，又，则，故D正确.
故选：CD
9．若，为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】BC
【解析】对于A，若，，则可能，故A错误；
对于B，因为，则能在内找一条直线，使得，
因为，则，因为，由面面垂直的判定定理可得，故B正确；
对于C，若，则能在内找一条直线，使得，
，，则，又因为，所以，故C正确；
对于D，若，，，则可能异面，故D错误.
故选：BC.
10．、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A．、是异面直线，若，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】AD
【解析】对于A选项，在直线上取一点，过点作直线，使得，
过直线作平面，使得，如下图所示：
因为，，，则，又因为，则，
因为，，则，设直线、确定平面，
因为，，、，所以，，同理可证，故，A对；
对于B选项，若，，则或，B错；
对于C选项，若，，，则、相交（不一定垂直）或平行，C错；
对于D选项，因为，，则，
过直线作平面，使得，如下图所示：

因为，，，则，
因为，则，又因为，所以，，D对.
故选：AD.
11．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A，若，则，或与异面，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，如下图，在长方体中，，则，，或与相交，故D错误.
故选：BC.

易错点三： 忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同（异面直线成角问题）
常规方法：
第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形
第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长
第三步：利用余弦定理求出待求角
第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求
秒杀：
四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位置，利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题
结论：在四面体中，若与所成的角为
四面体对棱夹角公式：
证明如下：
因为
所以
易错提醒：两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系.
例 ．已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，设正四面体的棱长为，取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则且，
因此或其补角为直线与直线所成的角，
因为为等边三角形，为的中点，则，且，
同理，在等腰中，，
所以直线CM与直线BD所成角的余弦值为.
故选：B
变式1．如图，正方形的边长均为2，动点在线段上移动，分别为线段中点，且平面，则当取最大值时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【解析】因为平面，平面，所以，
所以为直角三角形，所以当最短时，取最大值，
可知，即为的中点时，取最大值，
因为分别固定在线段的中点处，
所以，所以，
因为为锐角，所以，所以，

取的中点，连接，
因为分别为线段的中点，则∥，且，且∥，
可知异面直线与所成角为（或其补角）
且分别为线段的中点，则∥，且，
且∥，且，可得∥，且，
可知为平行四边形，则∥，且，
又因为平面，则平面，
由平面，可得，
可得，
在中，由余弦定理可得，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
变式2．已知三棱锥中，平面，，，，，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，

则，或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．
由，，，则有，所以，
E为BC的中点，则，
平面ABC，中，，∴
中，，∴，
在中，根据余弦定理可得．
所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为.
故选：D
变式3．在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】解：如图所示：

连接交于点，连接，
因为,
所以（补角）是异面直线与所成角．
因为平面，平面，
所以，
又因为四边形为菱形，
所以，又，所以平面PBD，
又平面PBD，所以，则为直角三角形，
设，在中，，
所以，故选：B．
1．在正方体中，若点是棱上的动点，点是线段（不含线段的端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在直线，使B．异面直线与所成的角可能为
C．直线与平面所成的角为D．平面平面
【答案】B
【解析】对于A，平面，平面，
当与重合时，与相交；当与不重合时，与异面；
即不存在直线与直线平行，A错误；
对于B，过点作，交于点，连接，
，或其补角即为异面直线所成角；
平面，平面，又平面，；
设正方体的棱长为，，则，
，，，
若，则，解得：，
异面直线所成的角可以为，B正确；
对于C，连接，交于点，连接，
平面，平面，，
四边形为正方形，，又，平面，
平面，即为直线与平面所成角，
设正方体棱长为，，则，，
，
若，则，方程无解，
直线与平面所成的角不能为，C错误；
对于D，作，交于点，连接，
，四点共面，
平面，与不平行，与相交，
即平面与平面总是相交，D错误.
故选：B.
2．棱长为1的正方体 中，若点P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是（ ）

A．平面平面B．四面体的体积是定值
C．可能是钝角三角形D．直线与所成的角可能为
【答案】D
【解析】在正方体中，为线段上的动点（不含端点），
，，，，平面，平面，
平面，平面平面，故A正确；
连接，

因为，平面，平面，所以平面，
因此四面体的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，
所以四面体的体积是定值，故B正确；
因为正方体的棱长为1，所以，
若是上靠近的一个四等分点，则，
所以，
此时，
因为，此时为钝角，是钝角三角形，故C正确；
过点作，交于，
正方体中平面，则平面，
平面，，直线与所成的角为，
设，则，有，，
中，，
而，故D错误.
故选：D.
3．如图在长方体中，，， H是下底面矩形的中心，设异面直线与所成的角为，则=（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接，则H是与的交点，也是和的中点，
长方体中，，，四边形为平行四边形，
有，异面直线与所成的角即与所成的角，

，，，
，，
，
中，由余弦定理得，
，则，即.
故选：A
4．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接,

易得,故或其补角为异面直线与夹角，
又正四面体棱长为2，故,
,
故异面直线与夹角的余弦值为.
故选：
5．已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（ ）
A．该正方体外接球的体积为
B．若是棱中点，则异面直线AM与夹角的余弦值为
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
【答案】D
【解析】对于A：正方体外接球的直径为体对角线，即，所以，
所以，A正确；
对于B：如图所示，异面直线和所成角即为，
所以，所以B正确；

对于C：如图所示，连接，则，又平面，
而平面，所以，
因为，且平面，平面，
所以平面，
而平面，所以，C正确；
对于D：因为，平面，所以平面，所以直线上的点到平面距离相等，
所以，所以D错误，
故选：D
6．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，所以，，
所以，
故选：A.
7．把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取中点，连接，，以，分别为，轴，垂直面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为是边长为的正方形，所以,
则，，，
又易知，,，所以为二面角的平面角，
由题知，，所以，则
所以，，，
故，
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
故选：D.
8．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（ ）

A．异面直线AC与所成的角为60°
B．直线与平面所成角为45°
C．二面角的正切值为
D．四面体的外接球的体积为
【答案】B
【解析】选项A，由正方体性质易得，因此异面直线AC与所成的角为或其补角，
是等边三角形，，A正确；
选项B，由平面，平面，得，又，，平面，
所以平面，设，则是直线与平面所成角，
由平面，平面，可得，
在直角中，，，B错；

选项C，由上分析得是二面角的平面角，由得，C正确；
选项D，四面体的外接球即为正方体的外接球，由正方体性质知其外接球半径为，因此体积为，D正确；
故选：B．
9．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，E为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：取中点为，连接，，
在中，分别为中点，故，
即为异面直线与所成的角（或补角），
在中，，，，
即为等边三角形，，.
故选：B.
10．如图，在正三棱柱中，若,则与所成角的大小为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，分别取的中点，连接，
可得且，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，
因为三棱柱为正三棱柱，
因为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
再取的中点，连接，可得，
因为底面，所以底面，
在直角中，
可得，
所以，所以，
所以异面直线与所成的角为.
故选：C.
11．棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法一：连接，取的中点，连接，如图所示，

分别是的中点，，则是异面直线与所成角或其补角.
正方体棱长为2，面对角线长为，由正方体的结构可知，
中，，，则，
同理，在中，，，
由余弦定理可知.
所以异面直线与所成角的余弦值是.
解法二：以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
有，，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：A.
易错点四： 线面角与向量夹角转化不清等问题（求线面角）
线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
向量法：线面角
提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角
易错提醒：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cs|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
例．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，分别是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若与平面所成角为，，求二面角的正弦值.
【解析】（1）取PB的中点G，连接GE，FG，又E是PC的中点，
所以，且，
又F是AD 的中点，底面是正方形，
所以，且
所以，，
故四边形FDEG为平行四边形，则，
又平面PFB，平面PFB，所以平面PFB.
（2）因为底面，所以，
又，，
平面，且平面，
所以BC⊥平面，则PC即PB在平面内的射影，
所以是PB与平面PCD所成角，即，
且在中，，则，
又底面为正方形，
在中，，，则.
以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，
，，，，
令为平面PFB的法向量，
则，令，得，
令为平面PBC的法向量，
则令，得，
所以，
设二面角的大小为θ，则，
所以二面角的正弦值为.
变式1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）．

(1)若点是中点，证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【解析】（1）
证明：取线段的中点，连接、，
因为，，因为为的中点，则且，
因为为的中点，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，平面.
（2）连接，
因为，，为的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，且，
因为，则，又因为，则，
因为，为的中点，则，
因为，，，所以，，
所以，，则，
又因为，、平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，
设，则，
，，设平面的法向量为，
则，取，可得，
，若直线与平面所成角的正弦值为，
则，整理可得，
因为，解得，故.
变式2．如图，三棱柱中，，底面，，．

(1)求点到平面的距离；
(2)若直线与距离为4，求与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因为底面，平面，所以，
又，、平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面，
过作交于，又平面平面，平面，
所以平面，则的长为点到平面的距离．
在中，，，则．
所以点到平面的距离为2．
（2）连结，因为，，，
所以，所以，
过作，交于，则为中点，
由直线与距离为4，所以，
因为，所以，又点到平面距离也为2，
设与平面所成角为，则．

变式3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABP，，E为BC的中点.

(1)证明：平面平面PAD.
(2)若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
【解析】（1）如图，取PD的中点F，PA的中点G，连接EF，FG，BG.
∵平面ABP，平面ABP，∴.
∵，∴.
∵AP，平面PAD，，∴平面
∵，，，，
∴，，∴四边形BEFG是平行四边形，∴，
∴平面PAD，又平面PED，∴平面平面PAD.

（2）取AB的中点H，连接PH，AC.∵平面ABP，平面ABP，
∴，∴，
∴，易得.
∵，∴.
∵平面ABP，平面ABCD，∴平面平面ABP.
又，∴，∴平面ABCD
易得，，，，
∴.
设点A到平面PCD的距离为h，
∵，得，
∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为.
1．已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.

(1)求直线与平面所成的角的正切值；
(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.
【解析】（1）
因为平面，连接，
则即为直线与平面所成的角，
又，，，
为中点，可得，，
所以，
即直线与平面所成的角的正切值为.
（2）由题知，平面，平面，
，平面，
所以平面平面.
因为平面，平面，
所以，
又，平面，，
所以平面，又平面，
所以就是直线到平面的距离，
又为中点，
则，
即直线到平面的距离为.
2．如图，在体积为的四棱柱中，底面ABCD是正方形，是边长为2的正三角形．
(1)求证：平面平面．
(2)求与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）设四棱柱的高为h．
因为四棱柱的底面ABCD是正方形，且，
所以正方形ABCD的面积为2．因为四棱柱的体积为，
所以，得，即点到平面ABCD的距离为．
连接．因为是边长为2的正三角形，所以，
即为点到平面ABCD的距离，所以平面ABCD．
因为平面ABCD，所以．在正方形ABCD中，．
因为，所以平面．因为平面，
所以平面平面．
（2）方法一由（1）知，OA，OB，两两垂直，如图（1），
以点O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则，，，
，，所以，，
．设平面的法向量为，
则所以令，则．
图（1）
设与平面所成角为，则
，
所以与平面所成角的正弦值为．
方法二 如图（2），设与交于点，连接，则直线
就是平面与平面的交线．因为平面平面，
所以点在平面上的射影必在直线上．又因为平面，
所以直线与直线的夹角就是直线与平面所成的角．
图（2）
设与交于点E，则．因为是边长为2的正三角形，
所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．
3．如图，已知四棱锥中，平面，，，，为中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）
取中点，连接，
因为分别为的中点，所以，，
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，，
因为平面，平面，所以∥平面.
（2）过点作于点，连接，
因为，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
，，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
【解析】（1）在四棱锥中，由，为的中点，得，
而，平面，
所以平面.
（2）取中点，连接，由是正方形，为的中点，得，
而，则，由（1）知平面，平面，则，

而平面，于是平面，又平面，
则平面平面，因此在平面上的射影为平面与平面的交线，
则为直线和平面所成的角，
由，，为的中点，得，
由平面，平面，得，，
所以直线和平面所成的角的正弦值为.
5．如图，在四棱柱中，，，平面平面，.
(1)求证：平面；
(2)若为线段的中点，直线与平面所成角为45°，求平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】（1）连接，设，
由，，得是线段的垂直平分线，即有，
平面平面，平面平面，平面，于是平面，
而平面，则，又，平面，，
所以平面.
（2）由，得，又，，，则，
于是，又，，则以为正交基底，建立空间直角坐标系，
在中，为中点，即有，
由平面，得为与平面所成角，即，有，
则，，，，，
由平面，平面，得，
又，平面，，则平面，
于是平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角余弦值为.
6．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，.

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【解析】（1）以为原点建立如图所示的坐标系，

，，，，
，，，
设面的法向量为，
，令，则，
，
平面，，
平面；
（2）假设存在点，设，
则，
设面法向量，
，，
，令，则，
，
，即，
，
故存在满足题意的点，此时.
7．如图，是矩形所在平面外一点，且平面．已知．

(1)求二面角的大小；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【解析】（1）因为底面为矩形，所以,
又因为平面，平面，
所以，
平面，所以平面，
又平面，所以，
易知二面角即二面角，
因为，，所以即其平面角，
由题意易知，
故二面角的大小为；
（2）如图所示，过作交于点，连接，
根据已知平面，平面，所以，
因为平面，
所以平面，
由直线与平面的夹角的定义可知直线与平面所成角为，
矩形中，易知，又易知，
所以，
所以直线与平面所成角大小为.

8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线与平面所成角的余弦值.
【解析】（1）连接，，
因为底面为平行四边形，为中点，
故与相交于，
因为为的中点，
则，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，
由余弦定理得，即，
解得，
因为，所以⊥，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为平面，，
所以平面；
（3）取的中点，连接，则，
因为⊥平面，所以⊥平面，
则为直线与平面所成角，
其中，故，
因为⊥，，由勾股定理得，
故，
由勾股定理得，
所以.
9．如图，在四棱锥中，平面，，点是的中点．

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）取中点，连接，如图所示，，

则，又因为，
所以四边形是平行四边形，
又，
所以平行四边形为正方形，
所以，即是等腰三角形，
则，所以，
即，
因为平面，平面，
所以，
又因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为点是的中点，
所以由直角三角形性质易得.
（2）因为平面，平面，
所以，
又因为四边形是正方形，所以，
如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，即，
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
10．如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，P为侧棱上点，且，H、G分别为AB、的中点.
(1)求此三棱柱的表面积；
(2)求异面直线与所成角的大小；
(3)求与平面所成角的大小.
【解析】（1）解：设底面正三角形的边长为，则其面积为，
因为三棱柱的体积为，可得，解得，
所以三棱柱的侧面积为，
所以三棱柱的表面积为.
（2）解：取的中点，连接，可得，
所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，
因为，在直角中，可得，
在直角中，可得，
取的中点，连接，在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的大小为.
（3）解：取的中点，可得，
在正三棱柱中，可得平面平面，
且平面平面，可得平面，
所以为直线与平面所成的角，
在直角中，，且，
在直角中，可得，所以.
（了解一下）11．如图，在长方体中，已知，.
(1)若点是棱上的中点，求证：与垂直；
(2)求直线与平面的夹角大小.
【解析】（1）
如图1，连接，且，
因为，由已知可得，为正方形，
所以，.
同理可得，.
根据长方体的性质可得，平面，
又平面，
所以，.
因为平面，，
所以，平面.
因为平面，
所以，.
（2）
如图2，连接.
由（1）知，.
因为平面，平面，
所以，.
因为平面，
所以，平面.
所以，即为直线与平面的夹角.
因为，，
所以，.
因为是的中点，所以，
在中，有，
所以，直线与平面的夹角大小为.
易错点五： 忽略二面角范围有重新的规定（求二面角）
二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．

图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：向量法 二面角的平面角
提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，二面角不存在钝角之说.
易错提醒：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；规定两个平面所成二面角范围，则。
例 ．如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.

(1)求证：平面.
(2)求二面角的余弦值；
【解析】（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，

则，可得，
连接AC，则，
因为，可得，
由，可得，
且，平面，所以平面.
（2）由（1）可知平面ADEF，且平面，可得，
且，，平面，可得平面，
且平面，可得，
又，可知就是二面角的平面角，
在，可得，
所以二面角的余弦值为.
变式1．如图，在三棱锥中，平面，，.

(1)求点到平面的距离；
(2)设点为线段的中点，求二面角的正弦值.
【解析】（1）因为平面，又平面，平面，
所以，
又，由勾股定理得，
又，
所以，故，
因为，平面，
所以平面，则为点到平面的距离，
故点到平面的距离为2.
（2）在平面内过点作的平行线，则，
以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由勾股定理得：，
则，

，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
所以，
记二面角的大小为，则，
故二面角的正弦值为.
变式2．在正方体中，设，分别为棱，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）连接交于，连接，，.

在正方体中，，，四边形是平行四边形，
所以，.
正方形中，，故是的中点，
所以，且，
在中，，分别是，的中点，
所以，且，
所以，且，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
所以平面.
（2）法一：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设正方体的棱长为2，故，，，，.
在正方体中，平面，故是平面的一个法向量.
设是平面的法向量，，，
故即
取，则
所以是平面的一个法向量.
故，
设二面角的大小为，
据图可知，，
所以二面角的余弦值为.
法二：取的中点，的中点，连接，，.

在正方体中，，，
又，分别是，的中点，故，，
四边形是平行四边形，所以，
又，，故，，
因为，平面，所以平面，
又平面，故.
在正方形中，，
在中，，分别是，的中点，故，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以.
所以是二面角的平面角.
不妨设正方体的棱长为2，
在中，，，
故，所以，
所以二面角的余弦值为.
变式3．如图1，为等边三角形，边长为4，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图2.

(1)设平面与平面的交线为，证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）延长交于点，连接，如图，

依题意，分别为的中点，则，
因此分别是以为斜边的直角三角形，
即，又，平面平面，
于是平面，而平面平面，显然直线与重合，
所以平面.
（2）

取的中点，连接交于点，则为中点，连接，
由为等边三角形，得，则为二面角的平面角，
，在中，，则，
由平面，平面，得，又，于是，
在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为.
1．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面为的中点..
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）
连接交于，连接,
在中，为中点，为中点,
所以，
又因为平面，平面
所以平面.
（2）由题意侧棱底面，所以底面，即，
又，所以平面,
所以可建立空间直角坐标系如图：
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴，

则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
取则
所以平面的一个法向量为，
因为底面，
所以平面的一个法向量为,
设二面角大小为，
则，
所以二面角的余弦值为.
2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.

(1)证明平面；
(2)求异面直线与所成的角的正切值；
(3)求二面角的正切值.
【解析】（1）证明：在中，由题设，可得.
于是.
在矩形中，.
又，平面，
所以平面.
（2）证明：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由（1）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故.
所以异面直线与所成的角的正切值为.
解法二：

由（1）可知，平面,平面，
所以平面平面，
作于M，交于点，
因为平面平面， 平面，
所以平面，
又平面，所以，
以M为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
，则.
所以异面直线与所成的角的正切值为
（3）
过点M做于E，连接.
因为平面，平面，所以.
又，因而平面，
又平面，所以
从而是二面角的平面角.
由题设可得，
，，
，，
，
于是在中，.
所以二面角的正切值为.
解法二：由（2）知，.
设平面PBD的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以 ，
又平面的一个法向量可以是.
由图知二面角的大小为锐角，
所以，则
所以二面角的正切值为.
3．如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点.
(1)在线段上找一点，使平面，并说明理由；
(2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.
【解析】（1）如图所示：
当点为的中点时，平面，证明如下：
设为中点，连接.
因为在三棱柱中，，
分别为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形.
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）如图所示：
取中点，连接.
因为，，
所以为正三角形，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为为等边三角形，所以.
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
依题意得，
所以，.
设平面的法向量，
则由，得，令，得.
取平面的法向量，
设平面与平面所成二面角的大小为，
则.
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
4．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【解析】（1）由题意，
因为四边形为菱形，所以.
连接AC.

因为，
所以为等边三角形，从而.
在中，是的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以.
∵，面，平面，面，
∴平面.
又平面，
∴平面PCE⊥平面PAD
（2）由题意及（1）得，
在平面中，过点作，垂足为，连接.

因为平面,平面，所以.
又, 平面,平面，所以平面.
又平面，所以，
从而是二面角的平面角．
在Rt中，,，
所以.在Rt中，，，
所以.
在Rt中,
,
所以二面角的平面角的正弦值为.
5．如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】（1）如图，由题意，是底面的直径，，
为的中点，为的中点，则，
则，而平面平面，
则，
又，平面，平面
平面，
又平面平面平面；
（2）在平面中，过作，垂足为，
在平面中，过作，垂足为，
连接，
∵平面平面，，
又，平面，平面，
平面，平面，，
，平面，平面
则平面，可得为二面角的平面角．
由已知可得，，，
，，
，
又，得．
在中，，
∴．
即二面角的余弦值为．

6．如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．
(1)若的中点为，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）设是中点，连接，如下图所示：
在中，为为中位线，所以：，又因为：，
所以：，所以：四边形为平行四边形，得：，
又因为：平面平面，所以：平面.

（2）如图，延长和交于点，连接.
过点作，垂足为点，连接.

因为：平面平面，平面平面，
所以：平面，
因为：，且平面，
所以：平面，所以：为所求二面角的平面角，
在中，，
得：，
所以：，
所以：.
7．如图，在梯形中，，，，，平面且.

(1)求直线到平面的距离；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为?
【解析】（1）∵，平面，平面，
∴平面，
故点A到平面PBC的距离，即为直线AD到平面PBC的距离，
作于，
∵平面，平面，，
，又平面PAB，平面PAB，
又平面PAB，，
又平面，平面，
即AH的长为点A到平面PBC的距离，也即直线AD到平面PBC的距离，
在等腰中，，
所以直线AD到平面PBC的距离为；

（2）过点作，交于点，连接，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
过C作于M，
则四边形为矩形，故，
在中，，
可得，，所以，
又，所以，
则，
所以二面角的大小为；

（3）假设存在点F，使点A到平面PCF的距离为，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，所以，
故点A到平面PCF的距离为，
所以，解得，
所以存在点F，使点A到平面PCF的距离为.

8．如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．
(1)求证：平面；
(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【解析】（1）因为是底面的一条直径，是下底面圆周上异于的动点，
所以，
又因为是圆柱的一条母线，所以底面，
而底面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
又因为，所以平面平面；
（2）如图所示，
过作圆柱的母线，连接，
因为底面//上底面，所以即求平面与平面所成锐二面角的大小，
因为在底面的射影为，且为下底面的直径，所以为上底面的直径，
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为为上底面的直径，所以，而平面，
所以为平面与平面所成的二面角的平面角，
又因为在底面射影为，所以，，
所以，又因为母线长为，所以，
又因为平面，平面，所以，
所以,
所以，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
9．如图，正方体中.
(1)求证：和为异面直线；
(2)求二面角的大小.
【解析】（1）证明：假设和共面，则、、、四点共面
事实上，平面，这与假设矛盾，故和为异面直线.
（2）解：连接交于点，连接，则为的中点，
设正方体的棱长为，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
所以，二面角的平面角为，且，
因为平面，平面，则，
所以，，
因此，二面角的大小为.
10．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，．

(1)求证：平面BCE；
(2)求二面角的正切值．
【解析】（1）因为平面平面ABCD，平面ABCD，
平面平面，
所以平面ABEF，平面ABEF，
所以．
因为为等腰直角三角形，，
所以，又因为，
所以，即，
又，平面BCE，平面BCE，
所以平面BCE．
（2）由，平面平面ABCD，
平面平面ABCD，
平面ABCD，
作，交BA的延长线于G，则．
从而，平面ABCD，
平面ABCD，，
作于H，
，平面，平面，
平面，连结FH，
平面，
所以，
因此，为二面角的平面角，
因为，，
所以，，
设，则，，
，
在中，，，

在中，
故二面角的正切值为.
11．如图，在三棱柱中，平面为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)取的中点，连接，求二面角的余弦值.
【解析】（1）证明：为正三角形，为的中点，，
平面平面，
平面，
又平面平面平面.
（2）为正三角形，，
平面平面，
，
故，
又为的中点，，
为二面角的平面角，
侧面是边长为2的正方形，，
为边长为2的正三角形，，
在直角三角形中，，
，
二面角的余弦值为.