2024版高考数学微专题专练62古典概型几何概型和条件概率理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练62古典概型几何概型和条件概率理（附解析），共5页。


[基础强化]
一、选择题
1．[2021·全国乙卷]在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于eq \f(7,4)的概率为( )
A．eq \f(7,9) B．eq \f(23,32) C．eq \f(9,32) D．eq \f(2,9)
2．[2022·安徽省皖北协作区联考]在区间(0，2]上随机取一个数，则使事件“lgeq \s\d9(\f(1,2))(3x－2)≥1”发生的概率为( )
A．eq \f(1,12)B．eq \f(1,6)C．eq \f(5,6)D．eq \f(5,12)
3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现；红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A．eq \f(7,10)B．eq \f(5,8)C．eq \f(3,8)D．eq \f(3,10)
4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A．eq \f(1,8)B．eq \f(3,8)C．eq \f(5,8)D．eq \f(7,8)
5．[2021·全国甲卷]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(2,5)C．eq \f(2,3)D．eq \f(4,5)
6．[2022·内蒙古包头模拟]将4个A和2个B随机排成一行，则2个B相邻且不排在两端的概率为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(2,5)C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,5)
7．[2022·江西省景德镇质检]英国数学家贝叶斯(1701～1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，eq \x\t(A)(A的对立事件)存在如下关系：P(B)＝P(B|A)·P(A)＋P(B|eq \x\t(A))·P(eq \x\t(A)).若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为( )
A．0.01B．0.0099
C．0.1089D．0.1
8．俄罗斯某电视台记者，在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(2,3)C．eq \f(1,5)D．eq \f(1,7)
9．[2022·陕西省西安中学四模]某人准备到某接种点接种新冠疫苗加强针，该接种点在前一天已用完全部疫苗，新的疫苗将于当天上午8∶00～11∶00之间随机送达，若他在9∶00～12∶00之间随机到达该接种点，则他到达时疫苗已送达的概率是( )
A．eq \f(2,9)B．eq \f(5,9)C．eq \f(2,3)D．eq \f(7,9)
二、填空题
10．[2022·全国乙卷(理)，13]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
11．[2022·全国甲卷(理)，15]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
12．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
[能力提升]
13．[2022·西安工业大学附中模拟]新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是( )
A．eq \f(3,10)B．eq \f(1,3)C．eq \f(11,30)D．eq \f(2,5)
14．[2022·山西省临汾二模]第24届冬奥会开幕式于2022年2月4日在北京举行．本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素，很好地将奥林匹克精神和中国人民的友谊传递到世界各个角落，获得了世界人民的普遍赞誉．为弘扬中国优秀传统文化，某艺术中心将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛．要求参赛选手完成规定作品和创意设计作品各2幅，若选手共有不少于3幅作品入选，则该选手将获得“冰雪之韵”纪念品．某选手完成了规定作品和创意设计作品各6幅，指导教师评定其中规定作品4幅和创意设计作品3幅符合入选标准，现从这12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，则指导教师预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率是( )
A．eq \f(8,15)B．eq \f(16,75)C．eq \f(26,75)D．eq \f(32,75)
15．[2022·江西省南昌第十中学月考]设不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,0≤y≤1))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( )
A．eq \f(3\r(3)＋2π,18)B．eq \f(π－3,6)
C．eq \f(\r(3)＋3π,12)D．eq \f(π,4)
16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
专练62 古典概型、几何概型和条件概率
1．B
在区间(0，1)中随机取一个数，记为x，在区间(1，2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于eq \f(7,4)，即x＋y>eq \f(7,4)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0\f(7,4))).在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于eq \f(7,4)”即x＋y>eq \f(7,4)中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝eq \f(23,32)，故选B.
2．A 由lgeq \s\d9(\f(1,2))(3x－2)≥1可得0＜3x－2≤eq \f(1,2)，即eq \f(2,3)＜x≤eq \f(5,6)，所以事件“lgeq \s\d9(\f(1,2))(3x－2)≥1”发生的概率为P＝eq \f(\f(5,6)－\f(2,3),2)＝eq \f(1,12).
3．B 行人在红灯亮起的25秒内到达路口，即满足至少需要15秒才出现绿灯，∴所求事件的概率P＝eq \f(25,40)＝eq \f(5,8).
4．D 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种不同的情形，其中4位同学都选周六有1种不同的情形，都选周日有1种不同的情形，∴所求事件的概率P＝1－eq \f(2,24)＝1－eq \f(1,8)＝eq \f(7,8).
5．C 解法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素) 4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) 种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法，再将0A，0B插空有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种排法，所以2个0不相邻的概率P＝eq \f(A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) )＝eq \f(2,3).
解法二(含有相同元素的排列) 将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) 种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种排法．所以2个0不相邻的概率P＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(2,3).
6．D 由4个A不区分顺序、2个B不区分顺序，可得总情况有eq \f(A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝15种，先排4个A有1种排法，在形成的3个中间的空中插入B即可，故2个B相邻且不排在两端的情况有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝3种，故概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
7．C 设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件eq \x\t(A)，则P(B|A)＝0.99，P(A)＝0.01，P(B|eq \x\t(A))＝0.1，P(eq \x\t(A))＝0.99，故所求概率P(B)＝0.99×0.01＋0.1×0.99＝0.1089.
8．D 从7名大学生中任选2人共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝21种不同的方法，其中2人都会说汉语的有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝3种不同的情形，∴所求事件的概率P＝eq \f(3,21)＝eq \f(1,7).
9．D 设8∶00为初始时刻0，则9∶00，10∶00，11∶00，12∶00分别为时刻1，2，3，4，设新的疫苗送达的时刻为x，某人到接种点的时刻为y，记他到达时疫苗已送达为事件A，则试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤3，1≤y≤4}，事件A所构成的区域为A＝{(x，y)|y≥x，0≤x≤3，1≤y≤4}，如图阴影区域，
则P(A)＝eq \f(SA,SΩ)＝eq \f(3×3－\f(1,2)×2×2,3×3)＝eq \f(7,9).
10.eq \f(3,10)
解析：从5名同学中随机选3名参加社区服务工作，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝10(种)选法，甲、乙都入选有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝3(种)选法．根据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率p＝eq \f(3,10).
11.eq \f(6,35)
解析：从正方体的8个顶点中任选4个，所有的取法有C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ＝70(种)，4个点共面的取法共有12种(表面有6个四边形，对角线可构成6个长方形，所以共有12种)，所以4个点在同一个平面的概率为eq \f(12,70)＝eq \f(6,35).
12．0.98
解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为eq \f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.
13．C 5个快递送到5个地方有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝120种方法，
全送错的方法数：
先分步：第一步快递A送错有4种方法，第二步考虑A所送位置对应的快递，假设A送到丙地，第二步考虑快递C，对C分类，第一类C送到甲地，则剩下B，D，E要均送错有2种可能(丁戊乙，戊乙丁)，第二类C送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的B，D，E只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能(甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲)，∴总的方法数为4×(1×2＋3×3)＝44，所求概率为P＝eq \f(44,120)＝eq \f(11,30).
14．D 从12幅作品中抽取规定作品和创意设计作品各2幅，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝225种选法；
若选手获得“冰雪之韵”纪念品，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝96种选法；
∴所求概率P＝eq \f(96,225)＝eq \f(32,75).
15．A 如图区域D：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,0≤y≤1))
表示矩形，面积为3，到坐标原点距离小于2的点，位于以原点O为圆心，半径为2的圆内，即x2＋y2＝4与区域D：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,0≤y≤1))的公共部分(如图阴影部分所示)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝1，,x2＋y2＝4))得C(eq \r(3)，1)，连接OC，
所以∠AOC＝30°，OC＝OA＝2，OB＝1，
所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝eq \f(1,2)×eq \f(π,6)×22＝eq \f(π,3)，
因为S△BOC＝eq \f(1,2)×BO×BC＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)，
所以S阴影＝S扇形AOC＋S△BOC＝eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)，
所以此点到坐标原点的距离小于2的概率为eq \f(\f(π,3)＋\f(\r(3),2),3)＝eq \f(3\r(3)＋2π,18).
16．0.18
解析：记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.