2024版高考数学微专题专练48两条直线的位置关系及距离公式理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练48两条直线的位置关系及距离公式理（附解析），共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0
2．[2022·江西省南昌市模拟]已知直线2x－y＋1＝0与直线x＋my＋2＝0垂直，则m＝( )
A．－2B．－eq \f(1,2)
C．2D．eq \f(1,2)
3．[2022·陕西省西安中学二模]已知直线l1：2x＋ay＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋3y＋2＝0平行，则a＝( )
A．3B．－2
C．－2或3D．5
4．当0A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．“C＝2”是“点(1，eq \r(3))到直线x＋eq \r(3)y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线方程为( )
A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0D．x－2y＝0
7．[2022·洛阳模拟]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x－2y－4＝0B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0D．2x－4y＋1＝0
8．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
9．直线l经过点M(2，1)，若点P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )
A．3x－2y－4＝0
B．x＝2或3x－2y－4＝0
C．x＝2或x－2y＝0
D．x＝2或3x－2y－8＝0
二、填空题
10．若曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则A到直线x＋y－3＝0的距离为________．
11．[2022·陕西省西安中学高三四模]直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直，则实数m＝________．
12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．
[能力提升]
13．[2022·山东省邹平市模拟]已知直线l1的方程为：x＋ay－2＝0，直线l2的方程为：2x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则直线l1与l2的交点坐标为( )
A．(－eq \f(4,3)，－eq \f(5,3)) B．(0，1)
C．(2，5) D．(eq \f(3,4)，eq \f(5,2))
14．[2022·辽宁鞍山一中模拟]设m∈R，直线l1：(m＋2)x＋6y－2m－8＝0，l2：x＋2my＋m＋1＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．[2022·苏州模拟]已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是( )
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是eq \r(2)
16．[2022·武汉调研]台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tanα的值为( )
A．eq \f(1,6)或eq \f(1,2)B．eq \f(1,2)或1
C．eq \f(1,6)或eq \f(3,2)D．1或eq \f(3,2)
专练48 两条直线的位置关系及距离公式
1．A 设所求的直线方程为x－2y＋c＝0，又(1，0)在直线l上，∴1＋c＝0，∴c＝－1，故所求的直线方程为x－2y－1＝0.
2．C 当m＝0时，x＋my＋2＝0⇒x＝－2，
由2x－y＋1＝0知y＝2x＋1，斜率为2，
所以直线2x－y＋1＝0与x＝－2不垂直，不符合题意；
当m≠0时，x＋my＋2＝0⇒y＝－eq \f(1,m)x－eq \f(2,m)，
因为直线2x－y＋1＝0与直线x＋my＋2＝0垂直，
所以－eq \f(1,m)×2＝－1，解得m＝2.
3．B 因为直线l1：2x＋ay＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋3y＋2＝0平行，
所以2×3－a(a－1)＝0，即a2－a－6＝0，解得：a＝－2或3，
当a＝3时，l1：2x＋3y＋2＝0与l2：2x＋3y＋2＝0重合，不满足题意，舍去；
当a＝－2时，l1：x－y＋1＝0与l2：3x－3y－2＝0平行，满足题意，故选B.
4．B 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1)．))
又∵0∴x＝eq \f(k,k－1)<0，y＝eq \f(2k－1,k－1)>0，
故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．
5．B 由点(1，eq \r(3))到直线x＋eq \r(3)y＋C＝0的距离为3，
得eq \f(|1＋\r(3)×\r(3)＋C|,\r(12＋（\r(3)）2))＝eq \f(|4＋C|,2)＝3，得C＝2或C＝－10.
∴C＝2是点(1，eq \r(3))到直线x＋eq \r(3)y＋C＝0的距离为3的充分不必要条件．
6．A 过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线就是过点P且与OP垂直的直线即y－1＝－2(x－2)，得2x＋y－5＝0.
7．D 由题设，可得kAB＝eq \f(2－0,1－2)＝－2，
且AB的中点为(eq \f(3,2)，1)，
∴AB垂直平分线的斜率k＝－eq \f(1,kAB)＝eq \f(1,2)，
故AB的垂直平分线方程为
y＝eq \f(1,2)(x－eq \f(3,2))＋1＝eq \f(x,2)＋eq \f(1,4)，
∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，
∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.
8．C 由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1，1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.
9．B 解法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，因为P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝eq \f(3,2)，则直线l的方程为3x－2y－4＝0，故选B.
解法二：由题意知，所求直线经过P(4，2)和Q(0，－4)的中点或与过P(4，2)和Q(0，－4)的直线平行．当所求直线经过P(4，2)和Q(0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P(4，2)和Q(0，－4)的直线平行时，由kPQ＝eq \f(－4－2,0－4)＝eq \f(3,2)，得直线l的方程为y－1＝eq \f(3,2)(x－2)，即3x－2y－4＝0，故选B.
10.eq \r(2)
解析：由题意得A(0，1)，由点A(0，1)到直线x＋y－3＝0的距离为eq \f(|1－3|,\r(12＋12))＝eq \r(2).
11．0或1
解析：因直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直，
则有1·m＋m[－(2m－1)]＝0，即2m－2m2＝0，解得m＝0或m＝1，
所以m＝0或m＝1.
12.eq \r(2)
解析：由题意可知，kAB＝eq \f(b－a,5－4)＝b－a＝1，
故|AB|＝eq \r(（5－4）2＋（b－a）2)＝eq \r(2).
13．B 因为直线l1的方程为：x＋ay－2＝0，直线l2的方程为：2x－y＋1＝0，且l1⊥l2，
所以2－a＝0，
解得a＝2，
所以直线l1的方程为x＋2y－2＝0，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y－2＝0,2x－y＋1＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝1))，
所以直线l1与l2的交点坐标为(0，1).
14．A 若l1∥l2，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m（m＋2）＝6,（m＋1）（m＋2）≠－（2m＋8）))，解得m＝1或－3，
因此，“m＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
15．C 对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；
对于C，在l1上任取点(x，ax＋1)，其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，
代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确；
对于D，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))
即M(eq \f(－a－1,a2＋1)，eq \f(－a＋1,a2＋1))，
所以|MO|＝eq \r(（\f(－a－1,a2＋1)）2＋（\f(－a＋1,a2＋1)）2)＝eq \r(\f(2,a2＋1))≤eq \r(2)，
所以|MO|的最大值是eq \r(2)，故D正确．
16．C 如图1，作A关于DC的对称点为E，D关于AB的对称点为G，C关于AB的对称点为F，连接GF，EF，
由题可得tanα＝eq \f(EG,GF)＝eq \f(3AD,2AD)＝eq \f(3,2).
如图2，作A关于BC的对称点为G，B关于AD的对称点为F，C关于AD的对称点为E，
连接EF，EG，
由题可得tanα＝eq \f(EF,GF)＝eq \f(AD,6AD)＝eq \f(1,6).
综上，tanα的值为eq \f(1,6)或eq \f(3,2).