2024版高考数学微专题专练38证明理（附解析）

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[基础强化]
一、选择题
1．[2022·大庆联考]用反证法证明命题：“若a2＋b2＋c2＋d2＝0，则a，b，c，d都为0”．下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c，d都不为0
B．假设a，b，c，d至多有一个为0
C．假设a，b，c，d不都为0
D．假设a，b，c，d至少有两个为0
2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
证明过程如下：
∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
又∵a，b，c不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac).
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
此证法是( )
A．分析法 B．综合法
C．分析法与综合法并用D．反证法
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是( )
A.①—分析法，②—综合法
B．①—综合法，②—分析法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
5．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第二步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k＋1时需要证明的等式为( )
A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)
B.1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)
C.1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)
D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)
6．在△ABC中，sinAsinCA．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
7．[2022·陕西省西北工业大学附中高三月考]用数学归纳法证明不等式“1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)A．2k－1B．2k－1
C．2kD．2k＋1
8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证eq \r(b2－ac)A．a－b>0B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0
9．设a，b，c都是正数，则a＋eq \f(1,b)，b＋eq \f(1,c)，c＋eq \f(1,a)三个数( )
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
二、填空题
10．如果aeq \r(a)＋beq \r(b)>aeq \r(b)＋beq \r(a)，则a，b应满足的条件是____________．
11．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时应假设__________________．
12．若P＝eq \r(a＋6)＋eq \r(a＋7)，Q＝eq \r(a＋8)＋eq \r(a＋5)(a≥0)，则P，Q的大小关系是______________．
[能力提升]
13．[2022·广东茂名模拟]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0))，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1100001，那么用上述校验方程组可判断k等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
14．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b不都能被5整除
C．a，b至少有一个能被5整除
D．a，b至多有一个能被5整除
15．设a，b∈R，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
16．[2022·山东昌乐二中模拟]已知向量a1＝(1，1)，bn＝(eq \f(1,n)，0)，an＋1＝an－(an·bn＋1)bn＋1(n∈N*)，则eq \f(a1·b3,22)＋eq \f(a2·b4,32)＋…＋eq \f(a9·b11,102)＝________．
专练38 证明
1．C 需假设a，b，c，d不都为0.
2．B 由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．
3．A “方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.
4．B 根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法，故选B.
5．D ∵用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n时，当n＝1时左边所得的项是1＋2；假设n＝k时，命题成立，1＋2＋3＋…＋2k＝2k2＋k，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)，∴从“k→k＋1”需增添的项是2k＋1＋2(k＋1)，∴1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1).故选D.
6．C sinAsinC0⇒csB＝cs [π－(A＋C)]＝－cs (A＋C)<0⇒B为钝角⇒△ABC一定是钝角三角形．
7．C 当n＝k＋1时，左边为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋1－1)，增加了eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋1－1)，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选C.
8．C 由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.要证eq \r(b2－ac)0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证a(a－c)－b(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“eq \r(b2－ac)0，故选C.
9．D 假设a＋eq \f(1,b)，b＋eq \f(1,c)，c＋eq \f(1,a)都小于2，则有a＋eq \f(1,b)＋b＋eq \f(1,c)＋c＋eq \f(1,a)<6.
又∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋eq \f(1,b)＋b＋eq \f(1,c)＋c＋eq \f(1,a)＝(a＋eq \f(1,a))＋(b＋eq \f(1,b))＋(c＋eq \f(1,c))≥2eq \r(a·\f(1,a))＋2eq \r(b·\f(1,b))＋2eq \r(c·\f(1,c))＝6，
这与假设矛盾．
∴a＋eq \f(1,b)，b＋eq \f(1,c)，c＋eq \f(1,a)三个数至少有一个不小于2.
10．a≥0，b≥0且a≠b
解析：aeq \r(a)＋beq \r(b)>aeq \r(b)＋beq \r(a)，即：(eq \r(a)－eq \r(b))2(eq \r(a)＋eq \r(b))>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.
11．x≠－1且x≠1
解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
12．P>Q
解析：P2－Q2＝2eq \r(a2＋13a＋42)－2eq \r(a2＋13a＋40)>0，
∴P2>Q2，∴P>Q.
13．A
解析：由已知得x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0⊕0⊕0⊕1＝1≠0，故x4，x5，x6，x7至少错误一个，
又x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝0，正确，故x2，x3，x6，x7均正确，
x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝0，正确，故x1，x3，x5，x7均正确，
综上所述，x4错误，
14．C “都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b至少有一个能被5整除”．
15．③
解析：取a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(2,3)，则a＋b＝eq \f(7,6)>1，而a∴①推不出；取a＝b＝1，则a＋b＝2，∴②推不出；取a＝－3，b＝－2，则a2＋b2＝13>2，ab＝6>1，而a<0，b<0，∴④⑤推不出．对于③可用反证法证明：假设a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，故a，b中至少有一个大于1.
16.eq \f(27,220)
解析：a2＝a1－(a1·b2)b2＝(1，1)－eq \f(1,2)(eq \f(1,2)，0)＝(eq \f(3,4)，1)，
a3＝a2－(a2·b3)b3＝(eq \f(3,4)，1)－eq \f(1,4)(eq \f(1,3)，0)＝(eq \f(4,6)，1)，
…
an＝(eq \f(n＋1,2n)，1)，n∈N*.
下面用数学归纳法进行证明：
当n＝1时，a1＝(eq \f(1＋1,2×1)，1)＝(1，1)满足题意；
假设当n＝k时，ak＝(eq \f(k＋1,2k)，1)，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝ak－(ak·bk＋1)bk＋1
＝(eq \f(k＋1,2k)，1)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（\f(k＋1,2k)，1）·（\f(1,k＋1)，0）))(eq \f(1,k＋1)，0)
＝(eq \f(k＋2,2（k＋1）)，1)＝(eq \f(k＋1＋1,2（k＋1）)，1)，
故an＝(eq \f(n＋1,2n)，1)，n∈N*.
∴eq \f(an·bn＋2,（n＋1）2)＝eq \f(（\f(n＋1,2n)，1）·（\f(1,n＋2)，0）,（n＋1）2)
＝eq \f(1,2n（n＋1）（n＋2）)＝eq \f(1,4)(eq \f(1,n（n＋1）)－eq \f(1,（n＋1）（n＋2）))，
∴eq \f(a1·b3,22)＋eq \f(a2·b4,32)＋…＋eq \f(a9·b11,102)＝eq \f(1,4)(eq \f(1,1×2)－eq \f(1,2×3)＋eq \f(1,2×3)－eq \f(1,3×4)＋…＋eq \f(1,9×10)－eq \f(1,10×11))
＝eq \f(1,4)(eq \f(1,2)－eq \f(1,110))＝eq \f(27,220).