2024版高考数学微专题专练28数系的扩充与复数的应用理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练28数系的扩充与复数的应用理（附解析），共4页。


[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z＝1－2i，且z＋aeq \x\t(z)＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2D．a＝－1，b＝－2
2．[2022·安徽省江淮十校联考]已知非零复数z满足z·(3＋2i)＝2|z|2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．eq \f(3\r(2),2)＋eq \r(2)iB．eq \f(3\r(2),2)－eq \r(2)i
C．eq \f(3,2)－iD．eq \f(3,2)＋i
3．[2022·全国甲卷(理)，1]若z＝－1＋eq \r(3)i，则eq \f(z,z\x\t(z)－1)＝( )
A．－1＋eq \r(3)iB.－1－eq \r(3)i
C．－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)iD．－eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),3)i
4．[2022·广西联考]若z＝1＋2i，则eq \f(z\(z,\s\up6(－))－1,4i)＝( )
A．iB．－i
C．1D．－1
5．[2022·安徽省蚌埠市质检]非零复数z满足eq \(z,\s\up6(－))＝－zi，则复平面上表示复数z的点位于( )
A．实轴B．虚轴
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
6．[2022·河北省石家庄市一模]若复数z＝(1＋2i)(a－i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－eq \f(1,2)，2)
B．(－2，eq \f(1,2))
C．(eq \f(1,2)，2)
D．(－∞，－2)∪(eq \f(1,2)，＋∞)
7．[2022·山西省一模]设复数z满足zeq \(z,\s\up6(－))＝iz，则z＝( )
A．－iB．－1
C．0或－1D．0或－i
8．[2022·江西省八校联考]棣莫弗公式(csx＋isinx)n＝csnx＋isinnx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667～1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6))7在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
9．[2022·福建省检测]设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则( )
A．z1＝±z2
B．z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))
C．z1·z3＝z2·z3
D.|z1·z3|＝|z2·z3|
二、填空题
10．若eq \f(a＋bi,i)(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________．
11．i是虚数单位，复数eq \f(6＋7i,1＋2i)＝________．
12．[2020·全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________．
[能力提升]
13．[2022·陕西省西安四模]已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋iB．3－i
C．－3－iD．－3＋i
14．[2022·广东省四校联考]已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且z(1＋i3)＝2＋i，则a＋b＝( )
A.eq \f(1,2)B．eq \f(3,2)
C．1D．2
15．[2022·海南省高等学校测试]已知复数z满足(z－2)(1＋i)＝1－3i，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
16．[2022·河北省石家庄市二模]已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
专练28 数系的扩充与复数的应用
1．A 由z＝1－2i可知eq \(z,\s\up6(－))＝1＋2i.由z＋aeq \(z,\s\up6(－))＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋a＋b＝0，,2a－2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2.))故选A.
2．C 设z＝a＋bi，(a，b∈R，a≠0，b≠0)
则由z·(3＋2i)＝2|z|2可得(3a－2b)＋(3b＋2a)i＝2(a2＋b2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a－2b＝2a2＋2b2,3b＋2a＝0))，解得a＝eq \f(3,2)，b＝－1，
所以z＝eq \f(3,2)－i.
3．C 因为z＝－1＋eq \r(3)i，所以eq \f(z,z\(z,\s\up6(－))－1)＝eq \f(－1＋\r(3)i,（－1＋\r(3)i）（－1－\r(3)i）－1)＝eq \f(－1＋\r(3)i,1＋3－1)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i.故选C.
4．B eq \f(z\(z,\s\up6(－))－1,4i)＝eq \f(（1＋2i）（1－2i）－1,4i)＝eq \f(4,4i)＝eq \f(1,i)＝－i.
5．C 由题意，设z＝a＋bi，故eq \(z,\s\up6(－))＝－zi⇔a－bi＝－(a＋bi)i＝－ai＋b，
故a＝b，－b＝－a，即复数z＝a＋ai，在复平面对应的点位于一三象限的角平分线上．
6．B 由题得z＝(1＋2i)(a－i)＝a＋2＋(2a－1)i，在复平面内所对应的点(a＋2，2a－1)在第四象限，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋2>0,2a－1<0))，解得－2所以a∈(－2，eq \f(1,2)).
7．D 设z＝a＋bi，a，b∈R，则eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，则zeq \(z,\s\up6(－))＝a2＋b2，所以a2＋b2＝i(a＋bi)＝ai－b，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0,a2＋b2＝－b))，解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝－1))，故z＝－i或0.
8．C 由已知得(cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6))7＝cseq \f(7π,6)＋isineq \f(7π,6)＝cs (π＋eq \f(π,6))＋isin(π＋eq \f(π,6))＝－cseq \f(π,6)－isineq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i，
∴复数(cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6))7在复平面内所对应的点的坐标为(－eq \f(\r(3),2)，－eq \f(1,2))，位于第三象限．
9．D 取z1＝1－i，z2＝1＋i，显然满足|z1|＝|z2|＝eq \r(2)，但z1≠z2，z1≠－z2，故A错误；因为z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝－2i，z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2i，故B错误；再取z3＝1，显然C错误．
10．－7
解析：eq \f(a＋bi,i)＝eq \f(i（a＋bi）,i2)＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.
11．4－i
解析：eq \f(6＋7i,1＋2i)＝eq \f(（6＋7i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq \f(6－12i＋7i＋14,5)＝eq \f(20－5i,5)＝4－i.
12．2eq \r(3)
解析：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝eq \r(3)＋i，∴a＋c＝eq \r(3)，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝eq \r(（a－c）2＋（b－d）2)＝eq \r(a2＋b2＋c2＋d2－（2ac＋2bd）)＝eq \r(8－（－4）)＝2eq \r(3).
13．B 由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2＋mn＋2＝0,2n＋2＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－1))，∴z＝3－i.
14．D 由已知z＝eq \f(2＋i,1＋i3)＝eq \f(2＋i,1－i)＝eq \f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)
＝eq \f(2＋2i＋i－1,2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)i，
所以a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(3,2)，a＋b＝2.
15．D 依题意，(z－2)(1＋i)＝1－3i，
z＝eq \f(1－3i,1＋i)＋2＝eq \f(（1－3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＋2＝eq \f(－2－4i,2)＋2＝1－2i，
z对应坐标为(1，－2)，在第四象限．
16．A 因为复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，
所以z＝eq \f(2＋3i,1＋i)＝eq \f(（2＋3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq \f(5＋i,2)＝eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)i，
所以在复平面内z对应的点位于第一象限．