2024版高考数学微专题专练23正弦定理和余弦定理解三角形理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练23正弦定理和余弦定理解三角形理（附解析），共8页。

[基础强化]
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝eq \r(2)，b＝eq \r(3)，B＝eq \f(π,3)，则A＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5,6)π
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,4)或eq \f(3,4)π
2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
3．[2022·安徽省江南十校一模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2b－eq \r(3)c)·csA＝eq \r(3)acsC，则角A的大小为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(5π,12)
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )
A．eq \f(1,2)B．1
C．eq \r(3)D．2
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，csB＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A．14B．6
C．eq \r(14)D．eq \r(6)
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC＋ccsB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
7．钝角三角形ABC的面积是eq \f(1,2)，AB＝1，BC＝eq \r(2)，则AC＝( )
A．5B．eq \r(5)
C．2D．1
8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50eq \r(2)mB．50eq \r(3)m
C．25eq \r(2)mD．eq \f(25\r(2),2)m
9．[2022·陕西省西安中学模拟]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2＋c2－a2＝bc，bcsC＋ccsB＝2，则△ABC的面积的最大值为( )
A．1B．eq \r(3)
C．2D．2eq \r(3)
二、填空题
10．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq \r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝____________．
11．[2022·安徽舒城中学模拟]托勒密(Ptlemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
12．[2022·陕西省西安中学二模]△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝________．
[能力提升]
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2csC)＝2sinAcsC＋csAsinC，则下列等式成立的是( )
A．a＝2bB．b＝2a
C．A＝2BD．B＝2A
14．[2021·全国甲卷]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(eq \r(3)≈1.732)( )
A.346B．373
C．446D．473
15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当eq \f(AC,AB)取得最小值时，BD＝________．
16．[2022·江西省临川模拟]已知在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝13，CD＝AD，且csB＝eq \f(1,7)，∠BAD＝2∠BCD.则AD＝________．
专练23 正弦定理和余弦定理、解三角形
1．C 由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，∴sinA＝eq \f(asinB,b)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，又a2．C 由正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，∴sinB＝eq \f(bsinC,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．A 由(2b－eq \r(3)c)csA＝eq \r(3)acsC得2bcsA＝eq \r(3)(acsC＋ccsA)，由正弦定理得
2sinBcsA＝eq \r(3)(sinAcsC＋sinCcsA)＝eq \r(3)sin (A＋C)＝eq \r(3)sinB，又sinB≠0，
得csA＝eq \f(\r(3),2)，A＝eq \f(π,6).
4．C 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccsA，又a2＝b2＋c2－bc，∴2csA＝1，csA＝eq \f(1,2)，∴sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(3),2)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
5．D ∵bsinA＝3csinB，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝1，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·csB＝9＋1－2×3×eq \f(2,3)＝6，
∴b＝eq \r(6).
6．B ∵bcsC＋ccsB＝asinA，∴sinBcsC＋sinCcsB＝sin2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．
7．B ∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB×BC×sinB＝eq \f(\r(2),2)sinB＝eq \f(1,2)，∴sinB＝eq \f(\r(2),2)，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs45°＝1＋2－2×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs135°＝1＋2＋2×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝5，∴AC＝eq \r(5).
8．A 由正弦定理得eq \f(AC,sinB)＝eq \f(AB,sinC)，
∴AB＝eq \f(AC·sinC,sinB)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),sin（180°－45°－105°）)＝50eq \r(2).
9．B 在△ABC中，由余弦定理，b2＋c2－a2＝bc可化为csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).
由余弦定理，bcsC＋ccsB＝2可化为beq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋ceq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝2，解得：a＝2(a＝0舍去).
因为b2＋c2－a2＝bc，所以a2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4(当且仅当b＝c＝2时取等号).
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsinA≤eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
10．2eq \r(2)
解析：由题意得S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(\r(3),4)ac＝eq \r(3)，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accsB＝12－2×4×eq \f(1,2)＝8，则b＝2eq \r(2).
11．9eq \r(3)
解析：在△ABD中，设AB＝a，由余弦定理得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs∠BAD＝3a2，所以BD＝eq \r(3)a，
由托勒密定理可得a(BC＋CD)＝AC·eq \r(3)a，
即BC＋CD＝eq \r(3)AC，
又∠ABD＝∠ACD＝30°，
所以四边形ABCD的面积
S＝eq \f(1,2)BC·ACsin30°＋eq \f(1,2)CD·ACsin30°
＝eq \f(1,4)(BC＋CD)·AC＝eq \f(\r(3),4)AC2＝9eq \r(3).
12.eq \f(π,4)
解析：由余弦定理可得csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，所以a2＋b2－c2＝2abcsC，
△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(a2＋b2－c2,4)＝eq \f(2abcsC,4)，
所以sinC＝csC, 即tanC＝1，由0所以C＝eq \f(π,4).
13．A 由sinB(1＋2csC)＝2sinAcsC＋csAsinC，得sinB＋2sinBcsC＝sinB＋sinAcsC，∴2sinBcsC＝sinAcsC，∵csC>0，∴2sinB＝sinA，即a＝2b.
14．B
如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝eq \f(100,tan15°).在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝eq \f(C′B′×sin45°,sin75°).又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝eq \f(C′B′×sin45°,sin75°)，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝eq \f(C′B′×sin45°,sin75°)＋100＝eq \f(\f(100,tan15°)×sin45°,sin75°)＋100＝eq \f(100sin45°,sin15°)＋100＝eq \f(100×\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)×（\f(\r(3),2)－\f(1,2)）)＋100＝100(eq \r(3)＋1)＋100≈373.
15.eq \r(3)－1
解析：以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，eq \(DC,\s\up6(→))的方向为x轴的正方向，过点D且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A位于第一象限．由AD＝2，∠ADB＝120°，得A(1，eq \r(3)).因为CD＝2BD，所以设B(－x，0)，x＞0，则C(2x，0).所以AC＝eq \r(（2x－1）2＋（0－\r(3)）2)＝eq \r(4x2－4x＋4)，AB＝eq \r(（－x－1）2＋（0－\r(3)）2)＝eq \r(x2＋2x＋4)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,AB)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4x2－4x＋4,x2＋2x＋4).令f(x)＝eq \f(4x2－4x＋4,x2＋2x＋4)，x＞0，则f′(x)＝
eq \f(（4x2－4x＋4）′（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（x2＋2x＋4）′,（x2＋2x＋4）2)
＝eq \f(（8x－4）（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（2x＋2）,（x2＋2x＋4）2)
＝eq \f(12（x2＋2x－2）,（x2＋2x＋4）2)．令x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－eq \r(3)(舍去)或x＝eq \r(3)－1.当0＜x＜eq \r(3)－1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，eq \r(3)－1)上单调递减；当x＞eq \r(3)－1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(eq \r(3)－1，＋∞)上单调递增．所以当x＝eq \r(3)－1时，f(x)取得最小值，即eq \f(AC,AB)取得最小值，此时BD＝eq \r(3)－1.
16．7
解析：在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·csB，
则AC＝eq \r(49＋169－2×7×13×\f(1,7))＝eq \r(192)＝8eq \r(3)，
cs∠BCA＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq \f(169＋192－49,2×13×8\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
又在△ABC中，0<∠BCA<π，所以∠BCA＝eq \f(π,6)，
设AD＝CD＝x，∠BAC＝α，∠BCA＝β，∠ACD＝θ，则∠CAD＝θ，β＝eq \f(π,6)，
由∠BAD＝2∠BCD即α＋θ＝2(β＋θ)，
则θ＝α－2β＝α－eq \f(π,3)，
在△ABC中，csα＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(49＋192－169,2×7×8\r(3))＝eq \f(9,14\r(3))＝eq \f(3\r(3),14)，
又0<α<π，则有sinα＝eq \f(13,14)，
所以csθ＝cs (α－eq \f(π,3))＝eq \f(1,2)csα＋eq \f(\r(3),2)sinα＝eq \f(1,2)×eq \f(3\r(3),14)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(13,14)＝eq \f(4\r(3),7)，
在△ACD中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·csθ，
即x2＝(8eq \r(3))2＋x2－2×8eq \r(3)×eq \f(4\r(3),7)x，
解得x＝7，即AD的长为7.
专练24 高考大题专练(二)
三角函数与解三角形的综合运用
1．解析：(1)证明：∵sinCsin (A－B)＝sinBsin (C－A)，
∴sinCsinAcsB－sinCcsAsinB＝sinBsinCcsA－sinBcsCsinA，
∴sinCsinAcsB＝2sinBsinCcsA－sinBcsCsinA.
由正弦定理，得accsB＝2bccsA－abcsC.
由余弦定理，得eq \f(a2＋c2－b2,2)＝b2＋c2－a2－eq \f(a2＋b2－c2,2).
整理，得2a2＝b2＋c2.
(2)由(1)知2a2＝b2＋c2.
又∵a＝5，∴b2＋c2＝2a2＝50.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccsA，
即25＝50－eq \f(50,31)bc，∴bc＝eq \f(31,2).
∴b＋c＝eq \r(b2＋c2＋2bc)＝eq \r(50＋31)＝9，
∴a＋b＋c＝14.故△ABC的周长为14.
2．解析：(1)∵边长为a的正三角形的面积为eq \f(\r(3),4)a2，
∴S1－S2＋S3＝eq \f(\r(3),4)(a2－b2＋c2)＝eq \f(\r(3),2).
结合余弦定理，得accsB＝1，即csB＝eq \f(1,ac).
由sinB＝eq \f(1,3)，得csB＝eq \f(2\r(2),3)，∴ac＝eq \f(3\r(2),4)，
故S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)×eq \f(3\r(2),4)×eq \f(1,3)＝eq \f(\r(2),8).
(2)由正弦定理，得eq \f(b2,sin2B)＝eq \f(a,sinA)·eq \f(c,sinC)＝eq \f(ac,sinAsinC)＝eq \f(\f(3\r(2),4),\f(\r(2),3))＝eq \f(9,4)，故b＝eq \f(3,2)sinB＝eq \f(1,2).
3．解析：(1)由已知条件，得sin2B＋sinAsin2B＝csA＋csAcs2B.
所以sin2B＝csA＋csAcs2B－sinAsin2B＝csA＋cs (A＋2B)＝cs [π－(B＋C)]＋cs [π－(B＋C)＋2B]＝－cs (B＋C)＋cs [π＋(B－C)]＝－2csBcsC，
所以2sinBcsB＝－2csBcsC，
即(sinB＋csC)csB＝0.
由已知条件，得1＋cs2B≠0，则B≠eq \f(π,2)，
所以csB≠0，所以sinB＝－csC＝eq \f(1,2).
又0＜B＜eq \f(π,3)，所以B＝eq \f(π,6).
(2)由(1)知sinB＝－csC＞0，则B＝C－eq \f(π,2)，
所以sinA＝sin (B＋C)＝sin (2C－eq \f(π,2))＝－cs2C.
由正弦定理，得eq \f(a2＋b2,c2)＝eq \f(sin2A＋sin2B,sin2C)＝eq \f(cs22C＋cs2C,sin2C)＝eq \f(（1－2sin2C）2＋（1－sin2C）,sin2C)＝eq \f(2＋4sin4C－5sin2C,sin2C)＝eq \f(2,sin2C)＋4sin2C－5≥2eq \r(\f(2,sin2C)·4sin2C)－5＝4eq \r(2)－5，
当且仅当sin2C＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立，所以eq \f(a2＋b2,c2)的最小值为4eq \r(2)－5.
4．解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcsA.②
由①②得csA＝－eq \f(1,2).因为0(2)由正弦定理及(1)得eq \f(AC,sinB)＝eq \f(AB,sinC)＝eq \f(BC,sinA)＝2eq \r(3)，从而AC＝2eq \r(3)sinB，AB＝2eq \r(3)sin (π－A－B)＝3csB－eq \r(3)sinB．
故BC＋AC＋AB＝3＋eq \r(3)sinB＋3csB＝3＋2eq \r(3)sin (B＋eq \f(π,3)).
又05．解析：(1)在△OAC中，由正弦定理知eq \f(OC,sin∠OAC)＝eq \f(AC,sin∠AOC)，
所以，OC＝eq \f(3sin∠OAC,sin\f(π,4))＝4.
(2)设∠OAB＝α，则α为锐角，sinα＝sin (π－∠OAC)＝sin∠OAC＝eq \f(2\r(2),3)，
所以，csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(1,3)，
所以sin∠AOB＝sin (π－2α)＝sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(4\r(2),9)，
则cs∠AOB＝cs (π－2α)＝－cs2α＝2sin2α－1＝eq \f(7,9)，
所以sin∠BOC＝sin (∠AOB＋eq \f(π,4))＝sin∠AOBcseq \f(π,4)＋cs∠AOBsineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4\r(2),9)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(7,9)＝eq \f(8＋7\r(2),18).
6．解析：(1)若选条件①，由正弦定理得sinBsineq \f(π－A,2)＝sinAsinB，
∵B∈(0，π)⇒sinB>0，∴sineq \f(π－A,2)＝sinA，∴cseq \f(A,2)＝2sineq \f(A,2)cseq \f(A,2)，
又eq \f(A,2)∈(0，eq \f(π,2))，∴cseq \f(A,2)≠0，∴sineq \f(A,2)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(A,2)＝eq \f(π,6)⇒A＝eq \f(π,3)；
若选条件②，△ABC中，b－acsC＝eq \f(c,2)，由正弦定理知sinB－sinAcsC＝eq \f(1,2)sinC，
∵A＋B＋C＝π，∴sinB＝sin [π－(A＋C)]＝sinAcsC＋csAsinC，
∴sinAcsC＋csAsinC－sinAcsC＝eq \f(1,2)sinC，
∴csAsinC＝eq \f(1,2)sinC，
因为sinC>0，
∴csA＝eq \f(1,2)，
又∵0若选条件③，由btanA＝(2c－b)tanB，
得sinBeq \f(sinA,csA)＝(2sinC－sinB)eq \f(sinB,csB)，
B∈(0，π)，所以sinB>0，
∴sinAcsB＝2sinCcsA－sinBcsA，
∴sin (A＋B)＝2sinCcsA，
∴sinC＝2sinCcsA，
∵C∈(0，π)，∴sinC>0，∴csA＝eq \f(1,2)，
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)由(1)及eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝3得bc＝6，
所以a2＝b2＋c2－2bccsA＝b2＋c2－bc≥bc＝6，
当且仅当b＝c＝eq \r(6)时取等号，所以a的最小值为eq \r(6).