2024版高考数学微专题专练22三角恒等变换理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练22三角恒等变换理（附解析），共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．[2022·安徽安庆月考]已知csx＝eq \f(3\r(10),10)，则sin (eq \f(π,2)－2x)＝( )
A．－eq \f(4,5) B．eq \f(4,5)
C．－eq \f(7,25) D．eq \f(7,25)
2．[2020·全国卷Ⅱ]若α为第四象限角，则( )
A．cs2α>0B．cs2α<0
C．sin2α>0D．sin2α<0
3．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinx·csx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最小值为( )
A．1B．eq \f(1＋\r(3),2)
C．1＋eq \r(3)D．eq \f(3,2)
4．[2022·广东汕头三模]已知α∈(0，π)，sin (eq \f(π,4)－α)＝eq \f(3,5)，则cs2α＝( )
A．eq \f(24,25)B．－eq \f(16,25)
C．－eq \f(24,25)D．eq \f(13,25)
5．若sin (eq \f(π,6)－α)＝eq \f(1,3)，则cs (eq \f(2π,3)＋2α)＝( )
A．－eq \f(7,9)B．－eq \f(1,3)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(7,9)
6．[2022·成都双流中学模拟]tan67.5°－eq \f(1,tan67.5°)的值为( )
A．1B．eq \r(2)
C．2D．4
7．若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝( )
A．－eq \f(1,2)B．eq \f(1,2)
C．2D．－2
8．已知向量a＝(sinθ，－2)，b＝(1，csθ)，且a⊥b，则sin2θ＋cs2θ的值为( )
A．1B．2
C．eq \f(1,2)D．3
9．[2021·全国甲卷]若α∈(0，eq \f(π,2))，tan2α＝eq \f(csα,2－sinα)，则tanα＝( )
A．eq \f(\r( ,15),15)B．eq \f(\r( ,5),5)
C．eq \f(\r( ,5),3)D．eq \f(\r( ,15),3)
二、填空题
10．已知sinα＋eq \r(3)csα＝2，则tanα＝________．
11．已知α为第二象限角，sinα＋csα＝eq \f(\r(3),3)，则cs4α＝________．
12．已知2cs2x＋sin2x＝Asin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
[能力提升]
13．[2022·重庆高三阶段练习]若函数f(x)＝sinx|csx|，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)在区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上单调递增
D．f(x)的图像关于直线x＝eq \f(π,4)对称
14．[2022·陕西省西安中学模拟]当x＝θ时，f(x)＝6sin2eq \f(x,2)＋2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)－3取得最大值，则tanθ＝( )
A．3B．－3
C．eq \f(1,3)D．－eq \f(1,3)
15．[2022·陕西省西安中学四模]已知eq \f(3π,2)<α<2π，则eq \r(\f(1＋csα,1－csα))＋eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝( )
A．－eq \f(1,sinα)B．eq \f(1,sinα)
C．－eq \f(2,sinα)D．eq \f(2,sinα)
16．[2022·四川眉山三模]已知函数f(x)＝eq \f(（1－\r(1＋sin2x)）\r(1－sinx),\r(2＋\r(2) [cs（x＋\f(π,4)）＋sin（x＋\f(π,4)）]))，当πA．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(－eq \r(2)，0)
专练22 三角恒等变换
1．B csx＝eq \f(3\r(10),10)，则sin (eq \f(π,2)－2x)＝cs2x＝2cs2x－1＝2×(eq \f(3\r(10),10))2－1＝eq \f(4,5).
2．D 解法一：∵α是第四象限角，∴－eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin2α<0，cs2α可正、可负、可零，故选D.
解法二：∵α是第四象限角，∴sinα<0，csα>0，∴sin2α＝2sinαcsα<0，故选D.
3．A f(x)＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x＝sin (2x－eq \f(π,6))＋eq \f(1,2)，
∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5,6)π，
∴当2x－eq \f(π,6)＝eq \f(5,6)π即x＝eq \f(π,2)时f(x)min＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1.
4．A 因为α∈(0，π)，eq \f(π,4)－α∈(－eq \f(3,4)π，eq \f(π,4))，sin (eq \f(π,4)－α)＝eq \f(3,5)>0，
所以eq \f(π,4)－α∈(0，eq \f(π,4))，cs (eq \f(π,4)－α)＝eq \f(4,5)，
cs2α＝cs [2(eq \f(π,4)－α)－eq \f(π,2)]＝sin [2(eq \f(π,4)－α)]
＝2sin (eq \f(π,4)－α)cs (eq \f(π,4)－α)＝2×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(24,25).
5．A ∵eq \f(π,6)－α＋(eq \f(π,3)＋α)＝eq \f(π,2)，∴cs (eq \f(π,3)＋α)＝sin (eq \f(π,6)－α)＝eq \f(1,3)，∴cs (eq \f(2,3)π＋2α)＝2cs2(eq \f(π,3)＋α)－1＝2×eq \f(1,9)－1＝－eq \f(7,9).
6．C tan67.5°－eq \f(1,tan67.5°)＝eq \f(sin67.5°,cs67.5°)－eq \f(1,\f(sin67.5°,cs67.5°))
＝eq \f(sin67.5°,cs67.5°)－eq \f(cs67.5°,sin67.5°)＝eq \f(sin267.5°－cs267.5°,sin67.5°cs67.5°)
＝eq \f(－cs135°,\f(1,2)sin135°)＝2.
7．A ∵csα＝－eq \f(4,5)，α为第三象限角，∴sinα＝－eq \f(3,5).
∵eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq \f(1＋\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))＝eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2))))＝eq \f(1＋sinα,cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq \f(1＋sinα,csα)＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),－\f(4,5))＝－eq \f(1,2).故选A.
8．A ∵a⊥b，∴sinθ－2csθ＝0，
∴tanθ＝2，∴sin2θ＋cs2θ＝2sinθcsθ＋cs2θ＝eq \f(2tanθ＋1,1＋tan2θ)＝1.
9．A 因为α∈(0，eq \f(π,2))，所以tan2α＝eq \f(2sinαcsα,2cs2α－1)＝eq \f(csα,2－sinα)⇒eq \f(2sinα,2cs2α－1)＝eq \f(1,2－sinα)⇒2cs2α－1＝4sinα－2sin2α⇒2sin2α＋2cs2α－1＝4sinα⇒sinα＝eq \f(1,4)⇒tanα＝eq \f(\r(15),15).
10.eq \f(\r(3),3)
解析：由sinα＝2－eq \r(3)csα，
sin2α＋cs2α＝1解得4cs2α－4eq \r(3)csα＋3＝(2csα－eq \r(3))2＝0，得csα＝eq \f(\r(3),2)，则sinα＝eq \f(1,2)，所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\r(3),3).
11.eq \f(1,9)
解析：由sinα＋csα＝eq \f(\r(3),3)，得1＋sin2α＝eq \f(1,3)，
∴sin2α＝－eq \f(2,3)，∴cs4α＝1－2sin22α＝1－2×eq \f(4,9)＝eq \f(1,9).
12.eq \r(2) 1
解析：∵2cs2x＋sin2x＝1＋cs2x＋sin2x＝eq \r(2)sin (2x＋eq \f(π,4))＋1，又2cs2x＋sin2x＝Asin (ωx＋φ)＋b.∴A＝eq \r(2)，b＝1.
13．C f(x)＝sinx|csx|定义域为R，且
f(－x)＝sin (－x)|cs (－x)|＝－sinx|csx|＝－f(x)，
所以f(x)＝sinx|csx|是奇函数，A错误；
当x∈[0，2π]时，f(x)＝sinx|csx|
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin2x，0画出图像，
显然f(x)的最小正周期是2π，B错误；
f(x)在区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上单调递增，选项C正确；
直线x＝eq \f(π,4)不是f(x)的对称轴，D错误．
14．D 因为f(x)＝6sin2eq \f(x,2)＋2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)－3＝3(1－csx)＋sinx－3
＝eq \r(10)sin (x＋φ)，tanφ＝－3，φ∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，
故当f(x)取得最大值时，若x＝θ，则θ＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
则tanθ＝tan (2kπ＋eq \f(π,2)－φ)＝tan (eq \f(π,2)－φ)＝eq \f(1,tanφ)＝－eq \f(1,3).
15．C 解法一 因为eq \f(3π,2)<α<2π，所以sinα<0，0所以eq \r(\f(1＋csα,1－csα))＋eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝eq \r(\f(（1＋csα）2,（1－csα）（1＋csα）))＋eq \r(\f(（1－csα）2,（1＋csα）（1－csα）))
＝eq \r(\f(（1＋csα）2,sin2α))＋eq \r(\f(（1－csα）2,sin2α))
＝eq \f(1＋csα,－sinα)＋eq \f(1－csα,－sinα)＝－eq \f(2,sinα)
解法二 因为eq \f(3π,4)0，cseq \f(α,2)<0，所以eq \r(\f(1＋csα,1－csα))＋eq \r(\f(1－csα,1＋csα))
＝eq \r(\f(1＋2cs2\f(α,2)－1,1－1＋2sin2\f(α,2)))＋eq \r(\f(1－1＋2sin2\f(α,2),1＋2cs2\f(α,2)－1))
＝eq \r(\f(cs2\f(α,2),sin2\f(α,2)))＋eq \r(\f(sin2\f(α,2),cs2\f(α,2)))＝－(eq \f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))
＝－eq \f(2,2sin\f(α,2)cs\f(α,2))＝－eq \f(2,sinα).
16．C
f(x)＝eq \f(（1－\r(sin2x＋cs2x＋2sinxcsx)）\r(sin2\f(x,2)＋cs2\f(x,2)－2sin\f(x,2)cs\f(x,2)),\r(2＋2sin（x＋\f(π,4)＋\f(π,4)）))
＝eq \f(（1－|sinx＋csx|）\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)－cs\f(x,2))),\r(2)·\r(1＋csx))
∵π∴sinx＋csx<0，sineq \f(x,2)－cseq \f(x,2)>0，cseq \f(x,2)<0，
∴f(x)＝eq \f(（1＋sinx＋csx）（sin\f(x,2)－cs\f(x,2)）,\r(2)·\r(1＋2cs2\f(x,2)－1))
＝eq \f(（1＋2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2cs2\f(x,2)－1）（sin\f(x,2)－cs\f(x,2)）,－2cs\f(x,2))
＝eq \f(2cs\f(x,2)（sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)）（sin\f(x,2)－cs\f(x,2)）,－2cs\f(x,2))
＝cs2eq \f(x,2)－sin2eq \f(x,2)
＝csx，
∴f(x)∈(－1，0).