2024版高考数学微专题专练17任意角和蝗制及任意角的三角函数理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练17任意角和蝗制及任意角的三角函数理（附解析），共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．若一个扇形的面积是2π，半径是2eq \r(3)，则这个扇形的圆心角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,2) D．eq \f(π,3)
2．三角函数值sin1，sin2，sin3的大小关系是( )
(参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°)
A．sin1>sin2>sin3
B．sin2>sin1>sin3
C．sin1>sin3>sin2
D．sin3>sin2>sin1
3．若角θ满足sinθ>0，tanθ<0，则eq \f(θ,2)是( )
A．第二象限角
B．第一象限角
C．第一或第三象限角
D．第一或第二象限角
4．[2022·上海横峰中学月考]终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )
A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1B．2C．3D．4
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边过点P(eq \f(3,5)，－eq \f(4,5))，则csα·tanα的值是( )
A.－eq \f(4,5)B．eq \f(4,5)C．－eq \f(3,5)D．eq \f(3,5)
7．给出下列各函数值：
①sin (－1000°)；②cs (－2200°)；③tan (－10)；④eq \f(sin\f(7π,10)csπ,tan\f(17π,9))；其中符号为负的有( )
A．①B．②C．③D．④
8．[2022·湖南岳阳三模]设点A的坐标为(a，b)，O是坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))绕着O点逆时针旋转θ后得到eq \(OA′,\s\up6(→))，则A′的坐标为( )
A．(acsθ－bsinθ，asinθ＋bcsθ)
B．(acsθ＋bsinθ，bcsθ－asinθ)
C．(asinθ＋bcsθ，acsθ－bsinθ)
D．(bcsθ－asinθ，bsinθ＋acsθ)
9．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点A(m，eq \f(\r(15),4))，则csα的值为( )
A．eq \f(1,4)B．－eq \f(1,4)
C．－eq \f(\r(15),4)D．不确定
二、填空题
10．[2022·安徽省皖北协作区联考]折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观．若一把折扇所在扇形的半径为30cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是________cm2.
11．已知角α的终边过点P(－3csθ，4csθ)，其中θ∈(eq \f(π,2)，π)，则sinα＝________．
[能力提升]
12．[2022·河北高三模拟]已知角α的终边落在直线y＝－eq \f(2,3)x上，则eq \f(5cs2α＋sin2α＋2,cs2α)的值为( )
A．－eq \f(35,9)B．－eq \f(59,9)
C．eq \f(59,9)D．eq \f(35,9)
13．[2022·景德镇模拟]《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为eq \f(π,4)米，整个肩宽约为eq \f(π,8)米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为( )
(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.73)
A．1.612米B．1.768米
C．1.868米D．2.045米
14．[2022·全国甲卷(理)，8]沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，eq \x\t(AB)是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在eq \x\t(AB)上，CD⊥AB.“会圆术”给出eq \x\t(AB)的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋eq \f(CD2,OA).当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝( )
A.eq \f(11－3\r(3),2)B．eq \f(11－4\r(3),2)
C．eq \f(9－3\r(3),2)D．eq \f(9－4\r(3),2)
15．[2022·山东济南二模]济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，eq \(AC,\s\up8(︵))和eq \(BC,\s\up8(︵))所在圆的圆心都在线段AB上，若∠ACB＝θrad，|AC|＝b，则eq \(AC,\s\up8(︵))的长度为( )
A．eq \f(θb,2sin\f(θ,2))B．eq \f(θb,2cs\f(θ,2))
C．eq \f(θb,sin\f(θ,2))D．eq \f(2θb,cs\f(θ,2))
16．[2022·浙江绍兴模拟]勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是________．
专练17 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．D 设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S＝eq \f(1,2)θr2，所以θ＝eq \f(2S,r2)＝eq \f(4π,（2\r(3)）2)＝eq \f(π,3)，故选D.
2．B 因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin1≈sin57°，sin2≈sin115°＝sin65°，sin3≈sin172°＝sin8°，因为y＝sinx在0°sin1>sin3，故选B.
3．C 由sinθ>0，tanθ<0，知θ为第二象限角，∴2kπ＋eq \f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋eq \f(π,4)∴eq \f(θ,2)为第一或第三象限角．
4．B 终边为第一象限的平分线的角的集合是
{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}， ①
终边为第三象限的平分线的角的集合是
{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}， ②
由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．
5．C 设扇形的圆心角为θ，半径为R，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(θR＝6，,\f(1,2)θR2＝6，))得θ＝3.
6．A 由三角函数的定义知csα＝eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(－\f(4,5),\f(3,5))＝－eq \f(4,3)，∴csαtanα＝eq \f(3,5)×(－eq \f(4,3))＝－eq \f(4,5).
7．C ∵－1000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角，
∴sin (－1000°)>0；
又－2200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角，
∴cs (－2200°)>0；
∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角，
∴tan (－10)<0；
∵sineq \f(7,10)π>0，csπ＝－1，
eq \f(17,9)π＝2π－eq \f(π,9)，为第四象限角，
∴taneq \f(17,9)π<0，∴eq \f(sin\f(7,10)πcsπ,tan\f(17,9)π)>0.
8．A 设点A在角α的终边上，则csα＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，
sinα＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则xA′＝eq \r(a2＋b2)cs (α＋θ)＝eq \r(a2＋b2)(csαcsθ－sinαsinθ)＝acsθ－bsinθ，
yA′＝eq \r(a2＋b2)sin (α＋θ)＝eq \r(a2＋b2)(sinαcsθ＋csαsinθ)＝asinθ＋bcsθ.
9．B 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋（\f(\r(15),4)）2＝1，,m<0，))
得m＝－eq \f(1,4)，∴csα＝m＝－eq \f(1,4).
10．1080
解析：依题意r＝30cm，eq \f(l,r)＝2.4，所以l＝2.4r＝72cm，所以S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×72×30＝1080cm2.
11．－eq \f(4,5)
解析：∵θ∈(eq \f(π,2)，π)，∴－1∴r＝eq \r(9cs2θ＋16cs2θ)＝－5csθ，故sinα＝－eq \f(4,5).
12．C 由角α的终边落在直线y＝－eq \f(2,3)x上可得，tanα＝－eq \f(2,3)，
且eq \f(5cs2α＋sin2α＋2,cs2α)＝eq \f(7cs2α＋2sinαcsα＋2sin2α,cs2α)＝eq \f(7＋2tanα＋2tan2α,1)＝eq \f(59,9).
13．B 由题意得，“弓”所在的弧长为
l＝eq \f(π,4)＋eq \f(π,4)＋eq \f(π,8)＝eq \f(5π,8)，R＝1.25＝eq \f(5,4)，
∴其所对的圆心角α＝eq \f(l,R)＝eq \f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq \f(π,2)，
∴两手之间的距离
d＝eq \r(R2＋R2)＝eq \r(2)×1.25≈1.768.
14．B 连接OC，则根据垂径定理知O，C，D三点共线．因为OA＝2，∠AOB＝60°，所以AB＝2，OC＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，则CD＝2－eq \r(3)，所以eq \(AB,\s\up8(︵))的弧长的近似值s＝AB＋eq \f(CD2,OA)＝2＋eq \f(（2－\r(3)）2,2)＝eq \f(11－4\r(3),2).故选B.
15．A 过C作CD⊥AB，设圆弧AC的圆心为O，半径为R，则AO＝CO＝R，
在△ACD中，∠ACD＝eq \f(θ,2)，所以AD＝AC·sineq \f(θ,2)＝bsineq \f(θ,2)，CD＝AC·cseq \f(θ,2)＝bcseq \f(θ,2)，
所以在直角三角形CDO中，CD2＋DO2＝CO2，所以(bcseq \f(θ,2))2＋(R－bsineq \f(θ,2))2＝R2，所以R＝eq \f(b,2sin\f(θ,2))，而sin∠COD＝eq \f(CD,CO)＝eq \f(bcs\f(θ,2),\f(b,2sin\f(θ,2)))＝2sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)＝sinθ，
所以∠COD＝θ，所以eq \x\t(AC)＝θR＝eq \f(bθ,2sin\f(θ,2)).
16.eq \f(π－\r(3),2)
解析：由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为eq \f(π,3)和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，
即3×eq \f(1,2)×eq \f(π,3)×12－2×eq \f(1,2)×12×sineq \f(π,3)＝eq \f(π－\r(3),2).