2024版高考数学微专题专练9对数与对数函数理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练9对数与对数函数理（附解析），共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．lgeq \f(5,2)＋2lg2－(eq \f(1,2))－1＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
2．函数y＝eq \r(lg\f(1,2)（3x－2）)的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．(eq \f(2,3)，＋∞)
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))D．(eq \f(2,3)，1]
3．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2－2x)的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，1)
4．若函数f(x)＝(m－2)xa是幂函数，则函数g(x)＝lga(x＋m)(a>0且a≠1)的图像过点( )
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(－3，0) D．(3，0)
5．[2022·江西省高三联考]设a＝lg0.222022，b＝sin (sin2022)，c＝20220.22则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b6．[2022·河北省高三二模]已知x＝(eq \f(4,3))eq \s\up6(\f(5,4))，y＝lg45，z＝lg34，则x、y、z的大小关系为( )
A．y>x>zB．x>y>z
C．z>x>yD．x>z>y
7．已知函数f(x)＝lnx＋ln (2－x)，则( )
A．f(x)在(0，2)上单调递增
B．f(x)在(0，2)上单调递减
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图像关于点(1，0)对称
8．若函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
9．[2022·重庆市高三质量检测]若函数f(x)＝lga(－3x2＋4ax－1)有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(eq \f(\r(3),2)，1) B．(1，eq \r(3))
C．(0，eq \f(\r(3),2)) D．(eq \r(3)，＋∞)
二、填空题
10．已知函数f(x)＝lg2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________.
11．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－lg2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．
12．函数f(x)＝lg2(－x2＋2eq \r(2))的值域为________.
[能力提升]
13．[2022·江西省九江市二模]牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T－Tc＝(eq \f(1,2))eq \s\up6(\f(t,h))(T0－Tc)，其中Tc是环境温度，h为常数．现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)( )
A．2.9B．3.4
C．3.9D．4.4
14．[2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(eq \r(10,10)≈1.259)( )
A．1.5B．1.2
C．0.8D．0.6
15．[2022·江西省高三一模]纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展．许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算．
如512×1024，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘．这两者的积，其实就是2的个数做一个加法．所以只需要计算9＋10＝19.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了．若x＝lg4(20211226×1314520)，则x落在区间( )
A．(15，16) B．(22，23)
C．(42，44) D．(44，46)
16．已知函数f(x)＝lga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝ax＋m－3的图像不经过第一象限，则m的取值范围为________．
专练9 对数与对数函数
1．B 原式＝lgeq \f(5,2)＋lg4－2＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)×4))－2＝1－2＝－1.
2．D 由题意得lgeq \f(1,2)(3x－2)≥0，即0<3x－2≤1.
∴eq \f(2,3)3．A 函数f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2－2x)的单调增区间为(－∞，0).
4．A ∵f(x)＝(m－2)xa为幂函数，∴m－2＝1，m＝3，
∴g(x)＝lga(x＋3)，又g(－2)＝0，
∴g(x)的图像过(－2，0).
5．A 因为a＝lg0.22202220220＝1，所以a6．D ∵y＝lg45>1，z＝lg34>1，
∴eq \f(y,z)＝eq \f(lg45,lg34)＝lg45·lg43≤(eq \f(lg45＋lg43,2))2＝(eq \f(lg415,2))2＝(lg4eq \r(15))2<(lg44)2＝1，
即z>y，
∵eq \f(4,3)＝lg33eq \f(4,3)，而(3eq \s\up6(\f(4,3)))3＝34＝81>43＝64，
∴eq \f(4,3)＝lg33eq \f(4,3)>lg34，又eq \f(4,3)＝(eq \f(4,3))1<(eq \f(4,3))eq \s\up6(\f(5,4))，
∴x>z，综上，x>z>y.
7．C f(x)的定义域为(0，2)，
f(x)＝lnx＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x).
设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，
则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，
在(1，2)上单调递减．
又y＝lnu在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
∴选项A、B错误；
∵f(x)＝lnx＋ln (2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln (2－x)]＝2[lnx＋ln (2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图像不关于点(1，0)对称，
∴选项D错误．
8．B 由y＝lgax的图像可知lga3＝1，
所以a＝3.对于选项A：y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)为减函数，A错误；
对于选项B：y＝x3，显然满足条件；
对于选项C：y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，C错误；
对于选项D：y＝lg3(－x)，当x＝－3时，y＝1，D错误．
故选B.
9．A 依题意a∈(0，1)∪(1，＋∞)且－3x2＋4ax－1>0，所以Δ＝16a2－12>0，解得a>eq \f(\r(3),2)或a<－eq \f(\r(3),2)，综上可得a∈(eq \f(\r(3),2)，1)∪(1，＋∞)，
令－3x2＋4ax－1＝0的根为x1、x2且x1若a∈(1，＋∞)，则y＝lgau在定义域上单调递增，u(x)＝－3x2＋4ax－1在(x1，eq \f(2a,3))上单调递增，在(eq \f(2a,3)，x2)上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，f(x)＝lga(－3x2＋4ax－1) 在(x1，eq \f(2a,3))上单调递增，在(eq \f(2a,3)，x2)上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若a∈(eq \f(\r(3),2)，1)，则y＝lgau在定义域上单调递减，u(x)＝－3x2＋4ax－1在(x1，eq \f(2a,3))上单调递增，在(eq \f(2a,3)，x2)上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，f(x)＝lga(－3x2＋4ax－1)在(x1，eq \f(2a,3))上单调递减，在(eq \f(2a,3)，x2)上单调递增，所以函数在x＝eq \f(2a,3)取得最小值，所以a∈(eq \f(\r(3),2)，1).
10．－7
解析：∵f(3)＝lg2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，a＝－7.
11．8
解析：因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，y＝－lg2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－lg2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－2)－lg2(－2＋4)＝9－1＝8.
12.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
解析：∵0<－x2＋2eq \r(2)≤2eq \r(2)，∴lg2(－x2＋2eq \r(2))≤lg22eq \r(2)＝eq \f(3,2).
13．B 由75－15＝(eq \f(1,2))eq \s\up6(\f(1,h))(105－15)，有(eq \f(1,2))eq \s\up6(\f(1,h))＝eq \f(2,3)，
又30－15＝(eq \f(1,2))eq \s\up6(\f(m,h))(75－15)，
有(eq \f(1,2))eq \s\up6(\f(m,h))＝eq \f(1,4)，即(eq \f(2,3))m＝eq \f(1,4)，
则mlgeq \f(2,3)＝lgeq \f(1,4)，
解得m＝eq \f(－lg4,lg2－lg3)＝eq \f(2lg2,lg3－lg2)≈3.4.
14．C 4.9＝5＋lgV⇒lgV＝－0.1⇒V＝10－eq \f(1,10)＝eq \f(1,\r(10,10))≈eq \f(1,1.259)≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
15．B x＝lg4(20211226×1314520)＝eq \f(1,2)lg2(20211226×1314520)，设20211226＝2m，1314520＝2n，由表格得知：220＝1048576，221＝2097152，224＝16777216，225＝33554432，所以2416．[－1，＋∞)
解析：∵函数f(x)＝lga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f(0)＝0，∴f(－2)＝lga3＝－1，∴a＝eq \f(1,3)，∴g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x＋m)－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).
0
1
2
3
4
5
1
2
4
8
16
32
6
7
8
9
10
11
64
128
256
512
1024
2048
12
…
19
20
21
22
4096
…
524288
1048576
2097152
4194304
23
24
25
…
8388608
16777216
33554432
…