人教B版高中数学选择性必修第二册第3章3-1-2第2课时排列数的应用学案

这是一份人教B版高中数学选择性必修第二册第3章3-1-2第2课时排列数的应用学案，共9页。
第2课时　排列数的应用 类型1　无限制条件的排列问题【例1】　(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？[思路点拨]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是Aeq \o\al(3,5)＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[跟进训练]1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，则共有________种不同的分法．(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．(1)720　(2)60　[(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为Aeq \o\al(3,10)＝10×9×8＝720．(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有Aeq \o\al(3,5)＝5×4×3＝60种选法．] 类型2　排队问题　元素“相邻”与“不相邻”问题【例2】　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．[解]　(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有Aeq \o\al(3,3)种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有Aeq \o\al(4,4)种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq \o\al(2,2)种排法．由分步乘法计数原理知，共有Aeq \o\al(3,3)·Aeq \o\al(4,4)·Aeq \o\al(2,2)＝288(种)排队方法．(2)三个男生全排列有Aeq \o\al(3,3)种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有Aeq \o\al(5,5)种排法．故有Aeq \o\al(3,3)·Aeq \o\al(5,5)＝720(种)排队方法．(3)先安排女生，共有Aeq \o\al(4,4)种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有Aeq \o\al(3,5)种排法，故共有Aeq \o\al(4,4)·Aeq \o\al(3,5)＝1 440(种)排法．(4)排好男生后让女生插空，共有Aeq \o\al(3,3)·Aeq \o\al(4,4)＝144(种)排法．“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．[跟进训练]2．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为(　　)A．18　　　 B．24　　　 C．36　　　 D．48C　[5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3Aeq \o\al(3,3)×Aeq \o\al(2,2)＝36(种)．]　元素“在”与“不在”问题【例3】　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站最左端，乙不站最右端．[解]　(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有Aeq \o\al(1,4)种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有Aeq \o\al(5,5)种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(5,5)＝480(种)．法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有Aeq \o\al(2,5)种站法，然后其余4人有Aeq \o\al(4,4)种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法Aeq \o\al(2,5)·Aeq \o\al(4,4)＝480(种)．法三：若对甲没有限制条件共有Aeq \o\al(6,6)种站法，甲在两端共有2Aeq \o\al(5,5)种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有Aeq \o\al(6,6)－2Aeq \o\al(5,5)＝480(种)．(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有Aeq \o\al(2,2)种，再让其他4人在中间位置作全排列，有Aeq \o\al(4,4)种，根据分步乘法计数原理，共有Aeq \o\al(2,2)·Aeq \o\al(4,4)＝48(种)站法．(3)法一：甲在最左端的站法有Aeq \o\al(5,5)种，乙在最右端的站法有Aeq \o\al(5,5)种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有Aeq \o\al(4,4)种，共有Aeq \o\al(6,6)－2Aeq \o\al(5,5)＋Aeq \o\al(4,4)＝504(种)站法．法二：以元素甲分类可分为两类：a．甲站最右端有Aeq \o\al(5,5)种，b．甲在中间4个位置之一，而乙不在最右端有Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(4,4)种，故共有Aeq \o\al(5,5)＋Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(4,4)＝504(种)站法．“在”与“不在”问题的解决方法[跟进训练]3．4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有(　　)A．12种 B．14种 C．16种 D．24种B　[用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有Aeq \o\al(4,4)＝24种排法，减去甲跑第一棒有Aeq \o\al(3,3)＝6种排法，乙跑第四棒有Aeq \o\al(3,3)＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有Aeq \o\al(2,2)＝2种排法，共有Aeq \o\al(4,4)－2Aeq \o\al(3,3)＋Aeq \o\al(2,2)＝14种不同的出场顺序．]　定序问题【例4】　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？[解]　5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．法一：(整体法)5个元素无约束条件的全排列有Aeq \o\al(5,5)种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有eq \f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40(种)．法二：(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则有Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(2,2)种排法；第二类，若字母D，E不相邻，则有Aeq \o\al(2,4)种排法．所以有Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(2,4)＝20(种)不同的排列方法．同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．因此，满足条件的排列有20＋20＝40(种)．在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：(1)整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有Aeq \o\al(m＋n,m＋n)种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有Aeq \o\al(m,m)种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有eq \f(Am＋nm＋n,A\o\al(m,m))种满足条件的不同排法．(2)插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．[跟进训练]4．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．210　[若1，3，5，7的顺序不定，有Aeq \o\al(4,4)＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的eq \f(1,24)．故有eq \f(1,24)Aeq \o\al(7,7)＝210(个)七位数符合条件．] 类型3　数字排列问题1．偶数的个位数字有何特征？从1，2，3，4，5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]　偶数的个位数字一定能被2整除．先从2，4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1，2，3，4，5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取三个不同的数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]　在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，不选0时，则任取三个数完全排列，选“0”时，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．【例5】　(对接教材)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？[思路点拨]　这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解]　(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有Aeq \o\al(1,3)种填法，第二步再填十万位，有Aeq \o\al(1,4)种填法，第三步填其他位，有Aeq \o\al(4,4)种填法，故共有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(4,4)＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有Aeq \o\al(1,4)种排法，从1，3，5中任选一个排在个位有Aeq \o\al(1,3)种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有Aeq \o\al(4,4)种排法，故共有Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有Aeq \o\al(6,6)个，0，2，4在个位上的六位数为3Aeq \o\al(5,5)个，1，3，5在个位上，0在十万位上的六位数有3Aeq \o\al(4,4)个，故满足条件的六位奇数共有Aeq \o\al(6,6)－3Aeq \o\al(5,5)－3Aeq \o\al(4,4)＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有Aeq \o\al(5,5)个，0在十万位且5在个位的六位数有Aeq \o\al(4,4)个．故符合题意的六位数共有Aeq \o\al(6,6)－2Aeq \o\al(5,5)＋Aeq \o\al(4,4)＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有Aeq \o\al(5,5)个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(4,4)个．故共有符合题意的六位数Aeq \o\al(5,5)＋Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(4,4)＝504(个)．[母题探究](变结论)用0，1，2，3，4，5这六个数取不同的数字组数．(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？[解]　(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有Aeq \o\al(4,5)个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(3,4)个．故满足条件的五位数的个数共有Aeq \o\al(4,5)＋Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(3,4)＝216(个)．(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(3,5)个；第二类，形如14□□，15□□，共有Aeq \o\al(1,2)·Aeq \o\al(2,4)个；第三类，形如134□，135□，共有Aeq \o\al(1,2)·Aeq \o\al(1,3)个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(3,5)＋Aeq \o\al(1,2)·Aeq \o\al(2,4)＋Aeq \o\al(1,2)·Aeq \o\al(1,3)＝270(个)．解数字排列问题常见的解题方法(1)两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理计算，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3排除法：全排列数减去不符合条件的排列数．4位置分析法：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．[跟进训练]5．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是(　　)A．24 B．32 C．36 D．48A　[先排5，6，有Aeq \o\al(2,2)种排法；将1，2捆绑在一起有Aeq \o\al(2,2)种排法；将1，2这个整体和3以及4全排列，有Aeq \o\al(3,3)种排法．所以符合题意的六位数的个数为Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(3,3)＝24．]1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　)A．36　　　B．120　　　C．720　　　D．240C　[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为Aeq \o\al(6,6)＝720．]2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　)A．8　　　 B．12　　　 C．16　　　 D．24B　[设车站数为n，则Aeq \o\al(2,n)＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12．]3．从0，1，3，5，7，9六个数中，任取两个做除法，可得到不同的商的个数是(　　)A．30 B．25 C．20 D．19D　[当选出的数字有一个是0时，0只能做分子，不能做分母，有1种结果为0；当选出数字没有0时，五个数字从中任选两个，共有Aeq \o\al(2,5)种结果，而在这些结果中，有相同的数字重复出现，eq \f(1,3)和eq \f(3,9)，eq \f(3,1)和eq \f(9,3)，∴可以得到不同的商的个数是Aeq \o\al(2,5)－2＋1＝19．]4．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144　[先排奇数位有Aeq \o\al(4,4)种，再排偶数位有Aeq \o\al(3,3)种，故共有Aeq \o\al(4,4)Aeq \o\al(3,3)＝144(个)．]5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有______种．24　[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共Aeq \o\al(4,4)＝24(种)．]回顾本节内容，自主完成以下问题：1．求解排列问题的基本思路是什么？[提示]　eq \x(实际问题)eq \o(――→,\s\up10(化归),\s\do10(建模))eq \x(排列问题)eq \o(――――――――→,\s\up10(求数学模型的解))eq \x(\a\al(求排,列数))eq \o(――――――――→,\s\up10(得实际问题的解))eq \x(\a\al(实际,问题))2．求解排列问题的主要题型及方法有哪些？[提示]　1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法．(重点)2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)1．通过应用排列知识解决实际问题，提升数学建模、逻辑推理的素养．2．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养．直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法