人教B版高中数学选择性必修第二册第3章3-1-3第2课时组合数的性质及应用学案

这是一份人教B版高中数学选择性必修第二册第3章3-1-3第2课时组合数的性质及应用学案，共9页。

第2课时　组合数的性质及应用某国际会议中心有A，B，C，D和E共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．问题：会议中心的工作人员安排会议室的方法有多少种？[提示]　先从5种不同功能的会议室中选3个，有Ceq \o\al(3,5)种方法，再分别从每种具有同一功能的4种型号的会议室中选2个，分别有Ceq \o\al(2,4)种方法，故会议中心的工作人员有Ceq \o\al(3,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(2,4)))3＝2 160(种)安排会议室的方法．知识点　组合数的性质1．Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)；2．Ceq \o\al(m＋1,n)＋Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(m＋1,n＋1)．拓展：(1)性质1反映了组合数的对称性．其组合意义是从n个不同的对象中任取m个对象的组合与任取(n－m)个对象的组合是一一对应的．从n个不同对象中取出m个对象后，就剩下(n－m)个对象，因此从n个不同对象中取出m个对象的方法，与从n个不同对象中取出(n－m)个对象的方法是一一对应的，二者的取法是一样多的，反过来也一样．因此从n个不同对象中取出m个对象的组合数Ceq \o\al(m,n)等于从n个不同对象中取出(n－m)个对象的组合数Ceq \o\al(n－m,n)，也就是Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)．(2)性质2的正用、逆用及变形使用：正用时是“合二为一”，逆用时则是将组合数Ceq \o\al(m＋1,n＋1)拆为两个；性质2还可变形为Ceq \o\al(m＋1,n)＝Ceq \o\al(m＋1,n＋1)－Ceq \o\al(m,n)，在一些题目中可简化求和．1．若Ceq \o\al(x,6)＝Ceq \o\al(2,6)，则x的值为(　　)A．2　　　　B．4　　　　C．0　　　　D．2或4D　[由Ceq \o\al(x,6)＝Ceq \o\al(2,6)可知x＝2或x＝6－2＝4．故选D．]2．Ceq \o\al(5,8)＋Ceq \o\al(6,8)的值为________．84　[Ceq \o\al(5,8)＋Ceq \o\al(6,8)＝Ceq \o\al(6,9)＝eq \f(9！,6！×3！)＝eq \f(9×8×7,3×2×1)＝84．] 类型1　组合数的性质【例1】　计算：(1)Ceq \o\al(5,8)＋Ceq \o\al(98,100)·Ceq \o\al(7,7)；(2)Ceq \o\al(0,5)＋Ceq \o\al(1,5)＋Ceq \o\al(2,5)＋Ceq \o\al(3,5)＋Ceq \o\al(4,5)＋Ceq \o\al(5,5)；(3)Ceq \o\al(n,n＋1)·Ceq \o\al(n－1,n)(n＞0，n∈N＋)．[解]　(1)原式＝Ceq \o\al(3,8)＋Ceq \o\al(2,100)×1＝eq \f(8×7×6,3×2×1)＋eq \f(100×99,2×1)＝56＋4 950＝5 006．(2)原式＝2(Ceq \o\al(0,5)＋Ceq \o\al(1,5)＋Ceq \o\al(2,5))＝2(Ceq \o\al(1,6)＋Ceq \o\al(2,5))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(5×4,2×1)))＝32．(3)原式＝Ceq \o\al(1,n＋1)·Ceq \o\al(1,n)＝(n＋1)n＝n2＋n．性质“Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)”的意义及作用eq \x(意义)—eq \x(\a\al(反映的是组合数的对称性，即从n个不,同的元素中取m个元素的一个组合与,剩下的n－m个元素的组合相对应)) ↓eq \x(作用)—eq \x(\a\al(当m>\f(n,2)时，计算C\o\al(m,n)通常转化为计算C\o\al(n－m,n)))[跟进训练]1．(1)化简：Ceq \o\al(9,m)－Ceq \o\al(9,m＋1)＋Ceq \o\al(8,m)＝________；(2)已知Ceq \o\al(7,n＋1)－Ceq \o\al(7,n)＝Ceq \o\al(8,n)，求n的值．(1)0　[原式＝(Ceq \o\al(9,m)＋Ceq \o\al(8,m))－Ceq \o\al(9,m＋1)＝Ceq \o\al(9,m＋1)－Ceq \o\al(9,m＋1)＝0．](2)[解]　根据题意，Ceq \o\al(7,n＋1)－Ceq \o\al(7,n)＝Ceq \o\al(8,n)，变形可得Ceq \o\al(7,n＋1)＝Ceq \o\al(8,n)＋Ceq \o\al(7,n)，由组合数的性质，可得Ceq \o\al(7,n＋1)＝Ceq \o\al(8,n＋1)，故8＋7＝n＋1，解得n＝14． 类型2　有限制条件的组合问题【例2】　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？[思路点拨]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．[解]　(1)从余下的34名学生中选取2名，有Ceq \o\al(2,34)＝561(种)．∴不同的选法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有Ceq \o\al(3,34)＝5 984种．或者Ceq \o\al(3,35)－Ceq \o\al(2,34)＝Ceq \o\al(3,34)＝5 984(种)．∴不同的选法有5 984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)＝2 100种．∴不同的选法有2 100(种)．(4)选取2名女生有Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)种，选取3名女生有Ceq \o\al(3,15)种，选取方法共有N＝Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)＋Ceq \o\al(3,15)＝2 100＋455＝2 555(种)．∴不同的选法有2 555种．(5)选取3名的总数有Ceq \o\al(3,35)，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝Ceq \o\al(3,35)－Ceq \o\al(3,15)＝6 545－455＝6 090(种)．∴不同的选法有6 090种．常见的限制条件及解题方法(1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．(2)含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．(3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．[跟进训练]2．某医院从10名医疗专家中抽调6名前往上海参加调研会，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？[解]　(1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有Ceq \o\al(2,4)种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有Ceq \o\al(4,6)种选法，所以共有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(4,6)＝90(种)抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．法一：按选取的内科专家的人数分类：①选2名内科专家，共有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(4,6)种选法；②选3名内科专家，共有Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(3,6)种选法；③选4名内科专家，共有Ceq \o\al(4,4)·Ceq \o\al(2,6)种选法．根据分类加法计数原理，共有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(4,6)＋Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(3,6)＋Ceq \o\al(4,4)·Ceq \o\al(2,6)＝185(种)抽调方法．法二：不考虑是否有内科专家，共有Ceq \o\al(6,10)种选法，考虑选取1名内科专家参加，有Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(5,6)种选法；没有内科专家参加，有Ceq \o\al(6,6)种选法，所以共有：Ceq \o\al(6,10)－Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(5,6)－Ceq \o\al(6,6)＝185(种)抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有内科专家参加，有Ceq \o\al(6,6)种选法；②有1名内科专家参加，有Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(5,6)种选法；③有2名内科专家参加，有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(4,6)种选法．所以共有Ceq \o\al(6,6)＋Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(5,6)＋Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(4,6)＝115(种)抽调方法． 类型3　分组分配问题1．把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？[提示]　共1种分法．因为三堆无差异．2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？[提示]　共有Aeq \o\al(3,3)＝3×2×1＝6(种)分法．【例3】　(对接教材)6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．[思路点拨]　(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取．(2)是“均匀分组问题”．(3)是分组问题，分三步进行．(4)分组后再分配．(5)明确“至少一本”包括“2，2，2型”“1，2，3型”“1，1，4型”．[解]　(1)根据分步乘法计数原理得到：Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝90(种)．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有Aeq \o\al(3,3)种方法．根据分步乘法计数原理可得：Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝xAeq \o\al(3,3)，所以x＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15．因此分为三份，每份两本一共有15种方法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(3,3)＝60(种)方法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝360(种)方法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝90(种)方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,)5Ceq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝360(种)方法；③“1、1、4型”，有Ceq \o\al(4,6)Aeq \o\al(3,3)＝90(种)方法．所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法．[母题探究](变条件)9本不同的书，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人3本；(2)分为三组，每组3本；(3)分为三组，一组2本，一组3本，一组4本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人2本，一人3本，一人4本；(5)分为三组，一组5本，另外两组每组2本．[解]　(1)这是均匀编号分组问题．第一步：从9本书中选3本给甲，有Ceq \o\al(3,9)种选法．第二步：再从其余的6本书中选3本给乙，有Ceq \o\al(3,6)种选法．第三步：从余下的3本书中选3本给丙，有Ceq \o\al(3,3)种选法．根据分步乘法计数原理得，不同的分配方法共有Ceq \o\al(3,9)Ceq \o\al(3,6)Ceq \o\al(3,3)＝1 680(种)．(2)这是均匀不编号分组问题．先将9本书平均放入1号箱，2号箱，3号箱．先放1号箱，有Ceq \o\al(3,9)种放法；再放2号箱，有Ceq \o\al(3,6)种放法；最后把剩下的3本放入3号箱，有Ceq \o\al(3,3)种放法．因此共有Ceq \o\al(3,9)Ceq \o\al(3,6)Ceq \o\al(3,3)种放法．由于这3个箱子现在是有序的，而装的书本数是一样的，因此会出现重复的分法，应用缩倍法，重复的是3个箱子的排列顺序，应除以箱子的全排列数，即Ceq \o\al(3,9)Ceq \o\al(3,6)Ceq \o\al(3,3)÷Aeq \o\al(3,3)＝280．故共有280种不同的分配方法．(3)这是非均匀不编号分组问题．同(2)中思路，第一步共Ceq \o\al(2,9)Ceq \o\al(3,7)Ceq \o\al(4,4)种放法．由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书都不同，因此不会出现重复的分法，因此共有1 260种不同的分配方法．(4)这是非均匀编号问题．在(3)的基础上再进行全排列，所以不同的分配方法共有Ceq \o\al(2,9)Ceq \o\al(3,7)Ceq \o\al(4,4)Aeq \o\al(3,3)＝7 560(种)．(5)这是部分均匀不编号分组问题．同(2)中思路，第一步共Ceq \o\al(5,9)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)种放法．这次同样不是平均分配，但恰有2个箱子装的书本数一样，因此是“局部平均”，也会出现重复的分法，重复的是同样装着2本书的2个箱子的排列顺序，因此应除以这2个箱子的全排列数，即Ceq \o\al(5,9)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)÷Aeq \o\al(2,2)＝378．故共有378种不同的分配方法．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！．(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．[跟进训练]3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)36　[分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有eq \f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有Aeq \o\al(3,3)种．所以满足条件的分配方案有eq \f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq \o\al(3,3)＝36(种)．]1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法有(　　)A．120种　 　B．84种　 　C．52种　 　D．48种C　[间接法：Ceq \o\al(3,8)－Ceq \o\al(3,4)＝52种．]2．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　)A．Aeq \o\al(4,5)种　　 B．45种 C．54种 D．Ceq \o\al(4,5)种D　[由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有Ceq \o\al(4,5)种．]3．(2020·新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)A．120种 B．90种 C．60种 D．30种C　[Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(3,3)＝60．]4．方程Ceq \o\al(x,14)＝Ceq \o\al(2x－4,14)的解为________．4或6　[由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2x－4，,0≤2x－4≤14，,0≤x≤14))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝14－2x－4，,0≤2x－4≤14，,0≤x≤14，))解得x＝4或6．]5．Ceq \o\al(0,3)＋Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(2,5)＋…＋Ceq \o\al(18,21)的值等于________．7 315　[原式＝Ceq \o\al(0,4)＋Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(2,5)＋…＋Ceq \o\al(18,21)＝Ceq \o\al(1,5)＋Ceq \o\al(2,5)＋…＋Ceq \o\al(18,21)＝Ceq \o\al(17,21)＋Ceq \o\al(18,21)＝Ceq \o\al(18,22)＝Ceq \o\al(4,22)＝7 315．]回顾本节内容，自主完成以下问题：1．你有解决组合问题的基本思路吗？试总结一下．[提示]2．分组、分配问题的常见形式及处理方法有哪些？[提示]　将n个不同对象分成m组，且每组的对象个数分别为m1，m2，m3，…，mm，记N＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1)．(1)非均匀不编号分组：n个不同对象分成m组，每组对象数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N．(2)均匀不编号分组：将n个不同对象分成不编号(即无序)的m组，其分法种数为eq \f(N,A\o\al(m,m))．(3)部分均匀不编号分组：将n个不同对象分成不编号的m组，其中有r组对象个数相等，其分法种数为eq \f(N,A\o\al(r,r))．如果再有k组均匀分组，应再除以Aeq \o\al(k,k)．(4)非均匀编号分组：n个不同对象分成m组，各组对象数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为N·Aeq \o\al(m,m)．(5)均匀编号分组：将n个不同对象均匀分成有编号(即有序)的m组，其分法种数为N．(6)部分均匀编号分组：n个不同对象分成有编号的m组，其中有r组对象个数相等，其分法种数为eq \f(N,A\o\al(r,r))·Aeq \o\al(m,m)．1．理解组合数的性质，并会运用组合的概念，解决简单的实际问题．(重点)2．能解决简单的排列、组合的综合问题．(难点)通过组合解决实际问题，提升数学建模、逻辑推理和数学运算的素养．思路内容整体分类对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类加法计数原理局部分步整体分类后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理先选后排如果是排列与组合的综合问题，要遵循先选后排的策略辩证看待“对象”与“位置”在排列、组合的问题中对对象与位置没有严格的界定标准，把哪些事物看成对象或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定复杂问题抽象成模型对待一些具体问题时，有时需要把它们抽象成相应的模型，将已知条件推广到一般情况来解决，利用类比、化归等数学思想来解题