2024高中数学解答题常考公式及答题模板

这是一份2024高中数学解答题常考公式及答题模板，共86页。试卷主要包含了弧度制的定义和公式，三角函数性质，诱导公式的记忆口诀，两角和差，二倍角和升降幂，万能公式，辅助角公式等内容，欢迎下载使用。

1、弧度制的定义和公式
定义: α=l/R ; 弧长公式 l=θr ; 扇形面积公式: S易形=12lr=12θr2 ; 弧度: 1rad≈57.3∘
2、三角函数性质
3 、图像变换
4 、同角三角函数的基本关系:
(1) sin2α+cs2α=1⇒sin2α=1−cs2α,cs2α=1−sin2α,sinα±csα2=1±2sinαcsα
(2) sinαcsα=tanα⇒sinα=tanαcsα,csα=sinαtanα . 5、诱导公式的记忆口诀:
“奇变偶不变, 符号看象限”, 其中的奇、偶是指 π2 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称变化. 三角函数值在各象限的符号规律:
一全正, 二正弦, 三正切, 四余弦.
6、两角和差: csα±β=csαcsβ∓sinαsinβsinα±β=sinαcsβ±csαsinβtanα±β=tanα±tanβ1∓tanαtanβ⇒tanα±tanβ=tanα±β1∓tanαtanβ
7、二倍角和升降幂:
sin2α=2sinαcsα , ⇒1±sin2α=sin2α+cs2α±2sinαcsα=sinα±csα2
cs2α=cs2α−sin2α=2cs2α−1=1−2sin2α .
⇒ ,升幂公式 1+csα=2cs2α2,1−csα=2sin2α2
⇒ 、降幂公式 cs2α=cs2α+12,sin2α=1−cs2α2 .
8、万能公式: sinα=2tanα21+tan2α2;csα=1−tan2α21+tan2α2
半角公式: csα2=±1+csα2;sinα2=±1−csα2 ;
tanα2=±1−csα1+csα=sinα1+csα=1−csαsinα.
9、辅助角公式: asinx±bcsx=a2+b2sinx±φ ,(其中 tanφ=ba );
10、正弦定理: asinA=bsinB=csinC=2R ( R . 为 △ABC 的外接圆的半径)
变形公式: (1) a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC ; (2) sinA=a2RsinB=b2RsinC=c2R ; (3) a:b:c=sinA:sinB:sinC ; (4) a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC;A>B⇔a>b⇔sinA>sinB .[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
11、余弦定理: 在 △ABC 中,有 a2=b2+c2−2bccsAb2=a2+c2−2accsBc2=a2+b2−2abcsC⇒csA=b2+c2−a22bccsB=a2+c2−b22accsC=a2+b2−c22ab .
12、三角形面积公式: S△ABC=12bcsinA=12absinC=12acsinB=abc4R=12a+b+c⋅r ( R,r 是三角形外切圆的半径,内切圆的半径),并可由此计算 R、r .
海伦公式: S△ABC=Pp−ap−bp−cp=a+b+c2
13、基本不等式.: (1) ab≤a+b2 ; (2) a2+b2≥2ab ; (3) ab≤a+b22a,b∈R+ .
14、拓展
三角形面积:
∵2AD=AB+AC∴2AD2=AB+AC2
∴4AD2=AB2+AC2+2ABAC=AB​2+AC+2ABACcsA=c2+b2+2bccsA
≥2bc+2bccsA当且仅当b=c取 “==2bc1+csA
∴bc≤2AD21+csA=2AD21+2cs2A2−1=AD2cs2A2
∴S△ABCmax=12bcsinA=12⋅AD2cs2A2⋅2sinA2csA2=AD2tanA2
三角形的周长:
4AD2=c2+b2+2bccsA=b+c2−2bc+2bccsA=b+c2+2bccsA−1
≤b+c2+2b+c22csA−1 当且仅当 b=c取“=”=12b+c21+csA
⇒b+c2≥8AD21+csA=8AD21+2cs2A2−1=4AD2cs2A2 即 b+cmin=2ADcsA2
射影定理: a=bcsC+ccsBb=acsC+ccsAc=bcsA+acsB
中线定理:
∵2AD=AB+AC∴2AD2=AB+AC2
∴4AD2=AB+AC+2ABAC=AB+AC+2AB+2ABACcsA=c2+b2+2bccsA
角平分线定理:
推导过程: S△ABDS△ACD=12AB⋅AD⋅sin∠BAD12AC⋅AD⋅sin∠CAD=12BD⋅h12CD⋅hh为高,⇒ABAC=BDCD∴ABBD=ACCD
三内角和定理:
A+B+C=π⇔π−A+B⇔C2=π2−A+B2⇔…
角的变换:
(1) 2α 是 α 的二倍; 4α 是 2α∞ 的二倍; α 是 α2 的二倍; α2 是 α4 的二倍;
(2) 15∘=45∘−30∘=60∘−45∘=30∘2 ; (3) α=α+β−β .; (4) π4+α=π2−π4−α ;
(5) 2α=α+β+α−β=π4+α−π4−α . 等等。
sinA+B=sinC,csA+B=−csC,tanA+B=−tanC,
sinA+B2=sinC2,csA+B2=sinC2,tanA+B2=csC2/sinC2=ctC2 .
在 △ABC 中 sinA=sinB⇒A=B 或者 A+B=π (舍), sin2A=sin2B⇒2A=2B 或者 2A+ 2B=π→C=π2⋯[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
锐角三角形: (1)三内角都是锐角; (2)三内角的余弦值为正值; (3)任两角和都是钝角; (4)任意两边的 平方和大于第三边的平方.
特殊三角形: 直角三角形、等腰三角形、正三角形特性
常用名称和术语: 坡角, 俯角, 仰角, 方位角, 方向角
例&1: (2021 新高考一卷 19) 记 △ABC 是内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 b2=ac ,点 D 在 边 AC 上, BDsin∠ABC=asinC . (1) 证明: BD=b ; (2) 若 AD=2DC ,求 cs∠ABC . 例&2: (2020 年新课标 II 17) △ABC 中, sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC .
(1) 求 A ;
(2) 若 BC=3 ,求 △ABC 周长的最大值.
例&3: (2019 新课标 III 18) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 asinA+C2=bsinA . (1) 求 B ; (2) 若 ΔABC 为锐角三角形,且 c=1 ,求 △ABC 面积的取值范围.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&4: (2021 新高考二卷 18) 在 △ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,b=a+1,c=a +2 . .
(1) 若 2sinC=3sinA ,求 △ABC 的面积;
(2) 是否存在正整数 a ,使得 △ABC 为钝角三角形? 若存在,求出 a 的值; 若不存在,说明理由
例&5: (2021 北京卷 16) 已知在 △ABC 中, c=2bcsB,C=2π3 .
(1) 求 B 的大小;
(2) 在下列三个条件中选择一个作为已知,使 △ABC 存在且唯一确定,并求出 BC 边上的中线 的长度. (1) c=2b ; (2)周长为 4+23 ; (3) 面积为 S△ABC=334 ;
专题二: 数列
1、概念: 按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等
通项: an=fn ,前 n 和: Sn=a1+a2+⋯+an,⇒an=S1,n=1,Sn−Sn−1,n≥2.
2、等差数列概念
定义: an+1−an=dd为常数⇒d=am−anm−n,n=an−a1d+1
通项: an=a1+n−1d 或 an=am+n−md ; 前 n 和: Sn=na1+an2,Sn=na1+nn−12d ;
性质:
若 A 为 a 与 b 的等差中项,且 A=a+b2⇒ 当 m+n=p+q 时,则有 am+an=ap+aq ,
若 an 是等差数列,则 Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,⋯ 也成等差数列
若 an=m,am=nm≠n ,则 am+n=0 ; 若 Sn=m,Sm=nm≠n ,则 Sm+n=−m+n
若项数为 2nn∈N* ,则 S2n=nan+an+1 ,且 S偶−S辛=nd,S偶S奇=anan+1
若项数为 2n−1n∈N* ,则 S2n−1=2n−1an ,且 S体−S侧=an,S等S的=nn−1 其中 S等=nan,S每 =n−1an .
3、等比数列概念
定义: an+1an=qq 为常数 ) ,其中 q≠0,an≠0;⇒q=n−manam ,通项: an=a1qn−1 ;
前 n 和: Sn=na1q=1a11−qn1−q=a1−anq1−qq≠1qn 指数表示项数,后者有前后两项;
性质:
当 m+n=p+q 时,则有 aman=apaq ,特别地,当 m+n=2p 时,则有 aman=ap2 .
若项数为 2nn∈N* ,则 S偶S奇=q
若 an 是等比数列, Sn,S2n−Sn,S3n−S2n 成等比数列 q≠−1 .
如果数列 an 既成等差数列又成等比数列, an 是非零常数数列.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
4 、数列的单调性
5、数列中的项的最值的求法: 根据数列与函数之间的对应关系, 构造相应函数求解.
求一般数列中的最大或最小项
前多少项和最大:
法一 (邻项变号法): 由不等式 an≥0 确定出前多少项为非负 (或非正),求出各项变化趋势符号; 法二: 因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故化为求二次函数最值,注意数列特殊性 n∈N* 。 法三: 数形结合处理,由等差数列得 Sn=d2n2+a1−d2nd<0,Sn 的图象是开口向下的抛物 线上的一群离散点, 最高点的横坐标
法四: 利用等差数列的性质处理,由 S17=S9 可得 a10+a11+⋯+a17=0⇒a13+a14=0 ,又 a1>0 , 从而 d<0,a13>0,a14<0 ,故 S13 最大。
6 、等差数列的判定: 设数列 an ,其前 n 项和为 Sn
(1) 定义 (递推公式): an+1−an=d
(2) 通项公式: an=kn+m (关于 n 的一次函数或常值函数)
(3) 前 n 项和公式: Sn=An2+Bn ,注: 若 Sn=An2+Bn+C ,则 an 从第二项开始呈现等差关系 (4) 对于 ∀n∈N*,2an+1=an+an+2 ,即从第二项开始,每一项都是相邻两项的等差中项 7、等比数列的判定方法:
(1) 定义法: 若 an+1an=qq 为非零常数。) 或 anan−1=qq 为非零常数且 n≥2 ,则 an 是等比数列. (2) 中项公式法: 若数列 an 中 an≠0 且 an+1=2an⋅an+2n∈N* ,则数列 an 是等比数列. (3) 通项公式法: 若数列通项公式可写成 an=c⋅qn−1c,q≠0常数,n∈N* ,则 an 是等比数列.
(4) 前 n 项和公式法: 若数列 an 前 n 项和 Sn=k⋅qn−kk≠0,q≠0,1,an 是等比数列.
8、数列求通项
公式法: an=a1+n−1d 或 an=am+n−md;an=a1qn−1 或 an=amqn−m .
做差法: Sn=fan 或 Sn=fn 的关系,可以利用 an=S1n=1Sn−Sn−1n≥2 求通项.
作商法: 已知 a1a2⋯an=fn 求 an .
累加法: an+1=an+fn 型具体如下: 先得到如下 n−1 个式子,
a2−a1=f1,a3−a2=f2,⋯,an−an−1=fn−1n≥2
再将上述 n−1 个式子左右分别累加,可以得到: an−a1=f1+f2+⋯+fn−1 ,
即 an=a1+f1+f2+⋯+fn−1n≥2 ,求和化简后,再验证 n=1 是否成立即可.
累乘法: an+1=anfn 型: 具体如下: 先得到如下 n−1 个式子,
a2a1=f1,a3a2=f2,⋯,anan−1=fn−1n≥2;
再将上述 n−1 个式子左右分别累乘,可以得到: ana1=f1⋅f2⋯⋯fn−1n≥2 ,即 an=a1 .
f1⋅f2⋯fn−1n≥2 ,求积化简后,再验证 n=1 是否成立即可.
构造法: (构造等差、等比数列)
递推式为 an+1=qan+qn+1q为常数 时,可以将数列两边同时除以 qn+1 ,得 an+1qn+1−anqn=1 .
待定系数法:
若 an+1=pan+qn+d,an+1+an+1+b=qan+an+b ;
若 an+1=pan+qn+1p≠q ,设 an+1+λqn+1=pan+λqn ;
倒数法:
一般适用于: (1) an+1=panqan+r ; (2) an=pan+1qan+1+r ; (3) pan+1+qan+ranan+1=0 .
针对 an+1=panqan+r 或 an=pan+1qan+1+r ,通过对等式两边同时取倒数,将其转化为类型: 1an+1=[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
x1an+y ,此时若 x=1 ,直接借助等差数列通项公式求解即可; 若 x≠1 ,结合前面的待定系数法求 解即可. 针对递推关系为: pan+qan+1+ranan+1=0 的形式,可以在等式两边同除 anan+1 ,再令 bn =1an ,将其转化为类型: bn+1=pbn+q ,进而可以求出 an 通项.
(同除法、系数化为一): an+1=pan+fnp≠1
将等式两边同除 pn+1 ,转化为: an+1pn+1=anpn+fnpn+1 ,再令 bn=anpn,gn=fnpn+1 将其转化为 bn+1= bn+gn ,再结合累加法求出 bn 的通项公式,进而求出 an 的通项公式.
有些时候也可以等式两边同除以 pn ,视具体情况而定.
(取对数法): an+1=panqan>0,p>0
针对递推关系: an+1=panqp>0 ,处理时,可以将等式两边同取常用对数: lgan+1=lgpanq ,即 lgan+1=qlgan+lgp ,再令 bn=lgan,r=lgp 可以得到: bn+1=qbn+r ,这样就可以求出 bn 的通 项公式,进而求出 an 的通项公式.
归纳法: 先通过计算数列的前几项,再观察数列中的项与系数,根据 an 与项数 n 的关系,猜想数列 的通项公式, 最后再证明.
第一数学归纳法: 通过假设 n=k 成立,再结合其它条件去证 n=k+1 成立即可.
证明的步骤如下:
(1) 归纳验证: 验证 n=n0n0 是满足条件的最小整数) 时,命题成立
(2) 归纳假设: 假设 n=kk≥n0,n∈N 成立,证明当 n=k+1 时,命题也成立
(3) 归纳结论: 得到结论: n≥n0,n∈N 时,命题均成立
第二数学归纳法: 证明的步骤如下:
(1) 归纳验证: 验证 n=n0n0 是满足条件的最小整数) 时,命题成立
(2) 归纳假设: 假设 n≤kk≥n0,n∈N 成立,证明当 n=k+1 时,命题也成立
(3) 归纳结论: 得到结论: n≥n0,n∈N 时,命题均成立. 10 、常用求和方法
公式法:
(1) 常见的等差数列的前 n 项和公式
(1) Sn=a1+ann2 ;
(2) Sn=na1+nn−12d=nan−nn−12d ; (3) Sn=An2+Bn 其中 A=d2,B=a1−d2 .
(2) 常见的等比数列的前 n 项和公式
(1) Sn=na1q=1 ; (2) Sn=a11−qn1−qq≠1,q≠0 ;
(3) Sn=a1−anq1−qq≠1,q≠0 ; (4) Sn=mqn−m (其中 q≠1,q≠0 ).
(3) 其他的求和公式
(1) 12+22+32+⋯+n2=16nn+12n+1 ;
(2) 13+23+33+⋯+n3=1+2+3+⋯+n2=14n2n+12 ;
(3) Cn0+Cn1+⋯+Cnn=2n .
分组法:
适用于当 cn=an+bn ,求 Sn=c1+c2+c3+⋯+cn ,其中 an,bn 为两类不同性质的数列,诸如等 差、等比数列等. 求和过程如下:
Sn=c1+c2+c3+⋯+cn=a1+b1+a2+b2+a3+b3+⋯+an+bn
=a1+a2+a3+⋯+an+b1+b2+b3+⋯+bn=Tn+Hn
裂项法:
(1) 适用于 cn=man⋅an+1 ,求 Sn=c1+c2+c3+⋯+cn ,其中 an 为等差数列,公差为 d,m 为常数. 求和过程如下: 先裂项 cn=man⋅an+1=md1an−1an+1 ,再求和:
Sn=c1+c2+c3+⋯+cn=md1a1−1a2+md1a2−1a3+md1a3−1a4+⋯+md1an−1an+1
=md1a1−1a2+1a2−1a3+1a3−1a4+⋯+1an−1an+1=md1a1−1an+1[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
(2) 适用于 cn=man⋅an+2 ,求 Sn=c1+c2+c3+⋯+cn ,其中 an 为等差数列,公差为 d,m 为常数. 求和过程如下: 先裂项 cn=man⋅an+2=m2d1an−1an+2 ,再求和:
Sn=c1+c2+c3+⋯+cn=m2d1a1−1a3+m2d1a2−1a4+m2d1a3−1a5+⋯+m2d1an−1an+2
=m2d1a1−1a3+1a2−1a4+⋯+1an−1an+2=m2d1a1+1a2−1an+1−1an+2
(3) 高中阶段其他的裂项形式
(1) 1nn+1n+2=121nn+1−1n+1n+2 ,(2) 1n+k+n=1kn+k−n ;
(3) ln1+kn=lnn+k−lnn ; (4) n⋅n!=n+1!−n! ;
(5) nn+1!=1n!−1n+1! ; (6) n+2n!+n+1!+n+2!=1n+1!−1n+2! ;
(7) n+2n⋅n+1⋅2n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n ; (8) Cnm−1=Cn+1m−Cnm ;
(9) 1n2=44n2<44n2−1=212n−1−12n+1;1n=2n+n<2n+n−1=2n−n−1 ;
(10) qnqn−1qn+1−1=1q−11qn−1−1qn+1−1q≠1 .
错位相减法:
适用于当 cn=an⋅bn ,求 Sn=c1+c2+c3+⋯+cn ,其中 an,bn 分别为等差、等比数列,其中 an ,bn 的公差与公比分别为 d,qq≠1 ,求和过程如下:
Sn=c1+c2+c3+⋯+cn⇒Sn=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn⋯⋯1qSn=a1b2+a2b3+⋯+an−1bn+anbn+1⋯⋯2
由 (1) - (2) 得: 1−qSn=a1b1+db2+b3+⋯+bn−anbn+1
再对 b2+b3+⋯+bn 部分等比数列实施求和,需注意,此时数列的项数为 n−1 项,(通常这块求 和时,使用公式 Sn=a1−anq1−q ,可避免对项数的讨论),另外需注意, anbn+1 前面的符号为 “-”,化 简的过程需细心. 整个过程中,若没有给出公比的限制条件,还需要对公比 q 的数值进行讨论. 倒序相加法:
适用于首尾相加为定值的数列求和, 求和过程如下:
Sn=c1+c2+c3+⋯+cn,Sn=cn+cn−1+cn−2+⋯+c1 2Sn=c1+cn+c2+cn−1+⋯+cn+c1 ,再结合定值继续求和. 常见的一些定值结论:
(1) fx=axax+a ,则 fx+f1−x=1 ;
(2) fx=1ax+a ,则 fx+f1−x=1a ;
(3) fx=1ax+1 ,则 fx+f−x=1 ;
(4) fx=1x2+1 ,则 fx+f1x=1 ;
(5) fx=12+lgax1−x ,则 fx+f1−x=1011、求 anbn 的解法
若等差数列 an、bn 的前 n 和分别为 An、Bn ,且 AnBn=fn ,则
anbn=2n−1an2n−1bn=A2n−1B2n−1=f2n−1;
待定系数法:
AnBn=a1n+b1a2n+b2,设An=kna1n+b1;Bn=kna2n+b2,an=An−An−1;bn=Bn−Bn−1。
如设 an、bn 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若 SnTn=3n+14n−3 ,
12 、口算错位相减法的结果
通项公式: an=dn+tqn⇒1乘法模型,除的话改成乘法2指数函数的指数为n,非n变成n
∴Sn=Bq−An+Bqn+1⇔A=d1−qB=A+t1−q
13、数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究, 利用新数列的特征 (等 差、等比数列或其他特征) 求解原数列.
(1) 数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题 an+an+1=fn或an⋅an+1=fn ;
(2)含有 −1n 的类型;
(3) 含有 a2n,a2n−1 的类型;[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
(4) 已知条件明确的奇偶项问题.
(2) 对于通项公式分奇、偶不同的数列 an 求 Sn 时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的 和,也可以把 a2k−1+a2k 看作一项,求出 S2k ,再求 S2k−1=S2k−a2k .
14 、几种常见的数列放缩方法:
(1) 1n2<1n−1n=1n−1−1nn≥2 ;
(2) 1n2>1nn+1=1n−1n+1 ;
(3) 1n2=44n2<44n2−1=212n−1−12n+1 ;
(4) Tr+1=Cnr⋅1nr=n!r!n−r!⋅1nr<1r!<1rr−1=1r−1−1rr≥2 ;
(5) 1+1nn<1+1+11×2+12×3+⋯+1n−1n<3 ;
(6) 1n=2n+n<2n−1+n=2−n−1+nn≥2 ;
(7) 1n=2n+n>2n+n+1=2−n+n+1 ;
(8) 1n=2n+n<2n−12+n+12=222n−1+2n+1=2−2n−1+2n+1 ;
(9) 2n2n−12=2n2n−12n−1<2n2n−12n−2=2n−12n−12n−1−1=12n−1−1−12n−1n≥2 ;
(10) 1n3=1n⋅n2<1n−1nn+1=n+1−n−1n−1nn+1⋅1n+1−n−1
=1n−1n−1nn+1⋅1n+1−n−1=21n−1−1n+1⋅n+1+n−12n
<21n−1−1n+1n≥2;
(11) 1n3=2n2⋅n+n⋅n2<2nn−1+n−1n=2n−1nn+n−1
=−2n−1−nn−1n=2n−1−2nn≥2;
(12) 12n−1=11+1n−1<1Cn0+Cn4+Cn2−1=2nn+1=2n−2n+1 ;
(13) 12n−1<2n−12n−1−12n−1=12n−1−1−12n−1n≥2 . 例&6: (2021 全国乙卷理科 19) 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和, bn 为数列 Sn 的前 n 项积,已知 2Sn +1bn=2 .
(1) 证明: 数列 bn 是等差数列;
(2) 求 an 的通项公式.
例&7: (2021 新高考 2 卷 17) 记 Sn 是公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和,若 a3=S5,a2a4=S4 . (1) 求数列 an 的通项公式 an ;
(2) 求使 Sn>an 成立的 n 的最小值.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&8: (2020 年高考数学课标 III 卷理科 17) 设数列 an 满足 a1=3,an+1=3an−4n .
(1) 计算 a2,a3 ,猜想 an 的通项公式并加以证明;
(2) 求数列 2nan 的前 n 项和 Sn .
例&9: (2019 浙江卷 20) 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,a3=4,a4=S3 ,数列 bn 满足: 对每 n ∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn 成等比数列.
(1) 求数列 an,bn 的通项公式;
(2) 记 Cn=an2bn,n∈N* ,证明: C1+C2+⋯+Cn<2n,n∈N* . 例&10: (2021 天津卷 19) 已知 an 是公差为 2 的等差数列,其前 8 项的和为 64.bn 是公比大于 0 的等比数列, b1=4,b3−b2=48 .
(I) 求 an 和 bn 的通项公式;
( II ) 记 cn=b2n+1bn,n∈N* .
(i) 证明 cn2−c2n 是等比数列; (ii) 证明 k=1nakak+1ck2−c2k<22 .[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&11: (2021 全国甲卷 18) 已知数列 an 的各项均为正数,记 Sn 的前 n 项和,从下面 (1)(2)(3)中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
(1)数列 an 是等差数列: (2) 数列 Sn 是等差数列; (3) a2=3a1 .
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.
例&12: (2014 高考数学课标 2 理科) 已知数列 an 满足 a1=1,an+1=3an+1 .
(1) 证明 an+12 是等比数列,并求 an 的通项公式;
(2) 证明: 1a1+1a2+⋯+1an<32 例&13: 已知数列 an 满足 a1=1 ,且点 an,an+1−2n 在函数 fx=3x 的图象上.
(1) 求证: an2n+1 是等比数列,并求 an 的通项公式:
(2) 若 bn=an+1an ,数列 bn 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn>3n+23 .
例&14: (2020 天津卷 19) 已知 an 为等差数列, bn 为等比数列, a1=b1=1,a5=5a4−a3,b5= 4b4−b3 .
(I) 求 an 和 bn 的通项公式;
(II) 记 an 的前 n 项和为 Sn ,求证: SnSn+2(III) 对任意的正整数 n ,设 cn=3an−2bnanan+2,n为奇数,an−1bn+1,n为偶数. ,求数列 cn 的前 2n 项和.
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!] 高中数学解答题常考公式及答题模板
专题三: 空间立体几何
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
1、空间两点间的距离公式、中点公式: (1) 距离公式
(1) 设点 Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2 为空间两点,则 A,B 两点间的距离:
AB=x1−x22+y1−y22+z1−z22.
(2) 设点 Px,y,z ,则点 Px,y,z 与坐标原点 O 之间的距离为 OP=x2+y2+z2 .
(2) 中点公式: 设点 Px,y,z 为 P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2 的中点,则 x=x1+x22y=y1+y22z=z1+z22 . 2 、空间向量的坐标运算: 设 a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3 ,则
1) a±b=a1±b1,a2±b2,a3±b3;λa=λa1,λa2,λa3λ∈R ,
2) a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3;a//b⇔b=λa⇔b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3λ∈R ,
3) a⊥b⇔a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3=0;a=a2=a12+a22+a32 ,
4) cs⟨a,b⟩=a⋅bab=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32 .
3、直线的方向向量和平面的法向量:
(1) 直线的方向向量就是指和这条直线平行 (或共线) 的向量,记作 l .
(2) 若直线 l⊥α ,则该直线 l 的方向向量即为该平面的法向量,平面的法向量记作 α .
平面法向量的求法: 设平面的法向量为 α=x,y,z . 在平面内找出 (或求出) 两个不共线的向量 a =a1,a2,a3,b=b1,b2,b3 ,根据定义建立方程组,得到 α⋅a=0α⋅b=0 ,通过赋值,取其中一组解,得到 平面的法向量. 求平面的法向量的坐标的特殊方法:
第一步: 写出平面内两个不平行的向量 a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2 ,
第二步: 那么平面法向
n=ijkx1y1z1x2y2z2=y1z1y2z2,z1x1z2x2,x1y1x2y2=y1z2−z1y2,z1x2−x1z2,x1y2−y1x2
4、利用空间向量表示空间线面平行、垂直:
设直线 l,m 的方向向量分别为 l,m ,平面 α,β 的法向量分别为 α,β .
(1) 线线平行: 若 l//m ,则 l//m⇔l=λmλ∈R ;
线面平行: 若 l//a ,则 l⊥a⇔l⋅α=0 ; 面面平行: 若 α//β ,则 α//β⇔α=λβ .
(2) 线线垂直: 若 l⊥m ,则 l⊥m⇔l⋅m=0 ;
线面垂直: 若 l⊥α ,则 l//α⇔l=λαλ∈R ; 面面垂直: 若 α⊥β ,则 α⊥β⇔α⋅β=0 . 5 、点到平面的距离[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
如图所示,已知 AB 为平面 α 的一条斜线段, n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α 的距离为 BO =AB⋅nn .
6 、利用空间向量求空间角
设直线 l,m 的方向向量分别为 l,m ,平面 α,β 的法向量分别为 n1,n2 .
(1) 直线 l,m 所成的角为 θ ,则 0≤θ≤π2 ,计算方法: csθ=l⋅mlm ;
(2) 直线 l 与平面 α 所成的角为 θ ,则 0≤θ≤π2 ,计算方法: sinθ=l⋅n1ln1 ;
(3) 平面 α,β 所成的二面角为 θ ,则 0≤θ≤π ,
如图(1), AB,CD 是二面角 α−l−β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,
则二面角的大小 θ=⟨AB,CD⟩ .
(1)
(2)
(3)
如图(2)(3), n1,n2 分别是二面角 α−l−β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足 csθ=n1⋅n2n1n2 ,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角 (或其补角).
最小角定理 斜线和平面所成的角, 是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角, 且有
csθ=csθ1⋅csθ2 (其中 θ,θ1,θ2 如图中所示)
高中数学解答题常考公式及答题模板 例&15: (2021 全国乙卷) 如图,四棱雉 P−ABCD 的底面是矩形, PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC=
1,M 为 BC 的中点,且 PB⊥AM .
(1) 求 BC ;
(2) 求二面角 A−PM−B 的正弦值.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&16: (2021 全国甲卷) 已知直三棱柱 ABC−A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 为正方形, AB=BC=2 , E,F 分别为 AC 和 CC1 的中点, D 为棱 A1B1 上的点. BF⊥A1B1
(1) 证明: BF⊥DE ;
(2) 当 B1D 为何值时,而 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小? 例&17: (2021 新高考 1 卷) 如图,在三棱雉 A−BCD 中,平面 ABD⊥ 平面 BCD,AB=AD,O 为 BD 的中点.
(1) 证明: OA⊥CD ;
(2) 若 △OCD 是边长为 1 的等边三角形,点 E 在棱 AD 上, DE=2EA ,且二面角 E−BC−D 的大小为 45∘ ,求三棱雉 A−BCD 的体积.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&18: (2020 年新课标 II 20) 如图,已知三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面是正三角形,侧面 BB1C1C 是矩形, M,N 分别为 BC,B1C1 的中点, P 为 AM 上一点,过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E ,交 AC 于 F .
(1) 证明: AA1//MN ,且平面 A1AMN⊥EB1C1F ;
(2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心,若 AO/l 平面 EB1C1F ,且 AO=AB ,求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值. 例&19: (2019 年高考数学课标 III 卷) 图 1 是由矩形 ADEB,Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个 平面图形,其中 AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60∘ ,将其沿 AB,BC 折起使得 BE 与 BF 重 合,连结 DG ,如图 2 .
(1) 证明: 图 2 中的 A,C,G,D 四点共面,且平面 ABC⊥ 平面 BCGE ;
(2) 求图 2 中的二面角 B−CG−A 的大小.
图1
图2
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&20: (2018 年高考数学课标 III 卷) 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在 的平面垂直, M 是弧 CD 上异于 C,D 的点.
(1) 证明: 平面 AMD⊥ 平面 BMC ;
(2) 当三棱雉 M−ABC 体积最大时,求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值.
例&21: (2019 年北京卷) 如图,在四棱雉 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD,AD⊥CD,AD// BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E 为 PD 的中点,点 F 在 PC 上,且 PFPC=13 .
(I) 求证: CD⊥ 平面 PAD ;
(II) 求二面角 F−AE−P 的余弦值;
(III) 设点 G 在 PB 上,且 PGPB=23 . 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内,说明理由.
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&22: 如图,已知 △ABC 为等边三角形, D,E 分别为 AC,AB 边的中点,把 △ADE 沿 DE 折起, 使点 A 到
达点 P ,平面 PDE⊥ 平面 BCDE ,若 BC=4 .
(1) 求 PB 与平面 BCDE 所成角的正弦值;
(2) 求直线 DE 到平面 PBC 的距离.
例&23: 如图,在四棱雉 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD,AD//BC,AD⊥CD ,且 AD=CD= 22,BC=42 ,
PA=2 .
(1) 求证: AB⊥PC ;
(2) 在线段 PD 上,是否存在一点 M ,使得二面角 M−AC−D 的大小为 45∘ ,如果存在,求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!] 专题四: 概率统计
1 、频率分布直方图:
纵轴表示 频率,频率组距 ,频率 实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度,
小长方形的面积 = 组距 ×频率组距= 频率.
2、百分位数:
一般地,一组数据的第 p 百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等 于这个值,且至少有 100−p% 的数据大于或等于这个值.
计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的一般步骤如下:
第 1 步, 按从小到大排列原始数据;
第 2 步,计算 i=n×p% ;
第 3 步,若 i 不是整数,而大于 i 的比邻整数为 j ,则第 p 百分位数为第 j 项数据; 若 i 是整数,则第 p 百分位数为第 i 项与第 i+1 项数据的平均数.
3、频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法:
(1) 样本平均数: 可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.
(2) 在频率分布直方图中, 中位数左边和右边的直方图的面积应相等.
(3) 将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.
4 、方差、标准差:
(1) 假设一组数据为 x1,x2,⋯xn ,则这组数据的
平均数 x=x1+x2+⋯+xnn ,方差为 s2=1ni=1nxi−x2 ,标准差 s=1ni=1nxi−x2 .
(2) 如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1,Y2,⋯,YN ,总体平均数为 Y ,
则称 S2=1Nii+1NYi−Y2 为总体方差, S=S2 为总体标准差. 如果总体的 N 个变量值中,不同的值共有 kk≤N 个,不妨记为 Y1,Y2,⋯,Yk ,其中 Yi 出现的 频数为 fii=1,2,⋯,k ,则总体方差为 S2=1Ni−1kfiYi−Y2 .
(3) 如果一个样本中个体的变量值分别为 y1,y2,⋯,yn ,样本平均数为 y ,则称 s2=1ni=1nyi−y2 为样本方差, s=s2 为样本标准差.
(4) 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度, 标准差越大, 数据的离散程度越大; 标准差越小, 数据的离散程度越小.
5、如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时,我们可以将发生的频率 mn 作为事件 A 发生的概率的近似值,即 PA≈mn 。
6 、概率的基本性质:
性质 1 对任意的事件 A ,都有 PA≥0 ,取值范围: 0≤PA≤1 .
性质 2 必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,即 PΩ=1,P⌀=0 .
性质 3 如果事件 A 与事件 B 互斥,那么 PA∪B=PA+PB .
性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件,那么 PB=1−PA,PA=1−PB .
性质 5 如果 A⊆B ,那么 PA≤PB .
性质 6 设 A,B 是一个随机试验中的两个事件,我们有 PA∪B=PA+PB−PA∩B . 7、事件的关系与运算
(1) 包含关系: B⊇A (或 A⊆B ),并 (和) 事件: A∪BA+B ,交 (积) 事件: A∩B (或 AB ).
(2) 并 (和) 事件包含三种情况:
(1)事件 A 发生,事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生,事件 B 发生; (3)事件 A,B 都发生. 即事件 A,B 至少有一个发生.
(3) 互斥事件具体包括三种不同的情形:[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
(1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 都不发生.
8 、条件概率的概念:
一般地,设 A,B 为两个随机事件,且 PA>0 ,我们称 PB∣A=PABPA 为在事件 A 发生的条 件下,事件 B 发生的条件概率.
9 、概率乘法公式:
对任意两个事件 A 与 B ,若 PA>0 ,则 PAB=PAPB∣A 为概率的乘法公式.
10 、条件概率的性质:
设 PA>0 ,则
(1) PΩ∣A=1 .
(2) 如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 PB∪C∣A=PB∣A+PC∣A .
(3) 设 B 和 B 互为对立事件,则 PB∣A=1−PB∣A .
11、全概率公式:
一般地,设 A1,A2,⋯,An 是一组两两互斥的事件, A1∪A2∪⋯∪An=Ω ,且 PAi>0,i=1,2 , ⋯,n ,则对任意的事件 B⊆Ω ,有 PB=i=1nPAiPB∣Ai ,我们称这个公式为全概率公式. 12、统计案例:
1. 回归方程 y=bx+a ,其中:
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2,a=y−bx
(注: b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2 主要方便计算,其中 xi,yi 为样本数据, x,y (为样本点的中心)
公式作用: 通过刻画线性相关的两变量之间的关系, 估计和分析数据的情况, 解释一些实际问题, 以及数据的变化趋势. 公式联系: 是进行残差分析的基础. 2. 样本相关系数的具体计算公式:
r=i=1nxi−x yi−yi=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2
公式作用: 反映两个变量之间线性相关关系的强弱. 当 r 的绝对值接近 1 时,表明两个变量的线 性相关性越强; 当 r 的绝对值接近 0 时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系. 规定当 r> 0.75 时, 认为两个变量有很强的线性相关关系.
公式联系: (1) 由于分子与回归方程中的斜率 b 的分子一样 (这也给出了公式的内在联系以及公 式的记法),因此,当 r>0 时,两个变量正相关; 当 r<0 时,两个变量负相关.
(2) 常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关.
散点图是从形上进行粗略地分析判断, 这个判断是可行的、可靠的, 也是进行线性回归分析的基 础, 否则回归方程失效; 它形象直观地反映了数据点的分布情况.
相关系数 r 是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系,以及线性相关关系的强弱,它 较精确地反映了数据点的分布情况, 准确可靠.
3. 我们可以用相关指数 R2 来刻画回归的效果,其计算公式是:
R2=1−i=1nyi−yi2i=1nyi−y2=i=1nyi−y2−i=1nyi−yi2i=1nyi−y2
用 R2 来刻画回归的效果. 对于已经获取的样本数据, R2 表达式中的 i=1nyi−y2 为确定的数. 因 此 R2 越大,意味着残差平方和 i=1nyi−yi2 越小,即模型的拟合效果越好; R2 越小,残差平方和越 大,即模型的拟合效果越差. 在线性回归模型中, R2 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率 .R2 越接近于 1,表示回归的效果越好. R2 是常用的选择模型的指标之一,在实际应用中应该尽量 选择 R2 大的回归模型.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
2. 独立性检验: 假设有两个分类变量 X 和 Y ,它们的取值分别为 x1,x2 和 y1,y2 ,其样本频数 列联表 (称为 2×2 列联表) 为:
K2=nad−bc2a+ba+cb+dc+d其中n=a+b+c+d为样本容量 .
13 、分类加法计数原理:
完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的 方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法.
分步乘法计数原理:
完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成 这件事共有 N=m×n 种不同的方法.
14 、排列、组合的定义:
排列数、组合数的定义、公式、性质:
正确理解组合数的性质:
(1) Cnm=Cnn−m : 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的方法数等于取出剩余 n−m 个元素的方法数. (2) Cnm+Cnm−1=Cn+1m : 从 n+1 个不同元素中取出 m 个元素可分以下两种情况:(1)不含特殊元素 A 有 Cnm 种方法; (2) 含特殊元素 A 有 Cnm−1 种方法.
15 、二项式定理:
二项式系数的性质:
(1) Cn0=1,Cnn=1,Cn+1m=Cnm−1+Cnm . (2) Cnm=Cnn−m .
(3) 当 k当 k>n+12 时,二项式系数是逐渐减小的,因此二项式系数在中间取得最大值.
当 n 是偶数时, Tn2+1 项的二项式系数最大;
当 n 是奇数时, Tn+1 与 Tn+1 项的二项式系数相等且最大.
(4) a+bn 展开式的二项式系数和: Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n .
(5) 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和等于 2n−1 .
常用结论:
(1) Cnkan−kbk 是第 k+1 项,而不是第 k 项. (2) 通项公式中 a,b 的位置不能颠倒.
(3) 通项公式中含有 a,b,n,k,Tk+1 五个元素,可“知四求一”.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
16 、离散型随机变量及其分布
17、熟记常用结论:
若 Y=aX+b ,其中 a,b 是常数, X 是随机变量,则
(1) Ek=k,Dk=0 ,其中 k 为常数;
(2) EaX+b=aEX+b,DaX+b=a2DX ;
(3) EX1+X2=EX1+EX2 ;
(4) DX=EX2−EX2 ;
(5) 若 X1,X2 相互独立,则 EX1⋅X2=EX1⋅EX2 .
例 24: (2020 年高考数学课标 I 卷理科 ) 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛, 约定赛制如下: 累计 负两场者被淘汰; 比赛前抽签决定首先比赛的两人, 另一人轮空; 每场比赛的胜者与轮空者进 行下一场比赛, 负者下一场轮空, 直至有一人被淘汰; 当一人被淘汰后, 剩余的两人继续比赛, 直至其中一人被淘汰, 另一人最终获胜, 比赛结束. 经抽签, 甲、乙首先比赛, 丙轮空. 设每场
(1) 求甲连胜四场的概率;
(2) 求需要进行第五场比赛的概率;[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例25: (2019 年高考数学课标全国 I 卷理科 ) 为治疗某种疾病, 研制了甲、乙两种新药, 希望知道 哪种新药更有效, 为此进行动物试验. 试验方案如下: 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比 试验. 对于两只白鼠, 随机选一只施以甲药, 另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后, 再安 排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时, 就停止试验, 并 认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题, 约定, 对于每轮试验, 若施以甲药的白鼠治 愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分, 乙药得 -1 分; 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药 的白鼠未治愈则乙药得 1 分, 甲药得 -1 分; 若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分. 甲、乙 两种药的治愈率分别记为 α 和 β ,一轮试验中甲药的得分记为 X .
(1) 求 X 的分布列;
(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分, pti=0,1,⋯,8 表示 “甲药的累计得分为 i 时,最 终认为甲药比乙药更有效” 的概率,则 p0=0,p8=1,pi=api−1+bpi+cpi+1i=1,2,⋯,7 ,
其中 a=PX=−1,b=PX=0,c=PX=1 . 假设 α=0.5,β=0.8 .
(i) 证明: pi+1−pii=0,1,2,⋯,7 为等比数列;
(ii) 求 p4 ,并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性. 例 26: (2018 年高考数学课标 II 卷 (理 )) 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y ( 单位: 亿元) 的折线图.
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模 型. 根据 2000 年至 2016 年的数据 (时间变量 t 的值依次为 1,2,⋯,17 ) 建立模型(1): y= −30.4+13.5t ; 根据 2010 年至 2016 年的数据 (时间变量 t 的值依次为 1,2,⋯,7 ) 建立模型(2): y=99+17.5t.
(1) 分别利用这两个模型, 求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值;
(2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠? 并说明理由.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例27: (2017 年高考数学新课标【卷理科）(12分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸 (单位: cm ). 根据长期生产经 验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 Nμ,σ2 .
(1) 假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 μ−3σ,μ+3σ 之外的 零件数,求 PX≥1 及 X 的数学期望;
(2) 一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 μ−3σ,μ+3σ 之外的零件,就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查.
( i ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
经计算得 x=116i=116xi=9.97,s=116i=116xi−x2=116i=116xi2−16x22≈0.212 ,其中 xi 为 抽取的第 i 个零件的尺寸, i=1,2,⋯,16 .
用样本平均数 x 作为 μ 的估计值 μ ,用样本标准差 s 作为 σ 的估计值 σ ,利用估计值判断是否 需对当天的生产过程进行检查? 剔除 μ−3σ,μ+3σ 之外的数据,用剩下的数据估计 μ 和 σ ( 精确到 0.01 ).
附: 若随机变量 Z 服从正态分布 Nμ,σ2 ,则 Pμ−3σA 地区: 62 73 81 92 95 74 64 53 76
B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
(I) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度 (不要求计算出具体值, 得出结论即可);
(II) 根据用户满意度评分, 将用户的满意度从低到高分为三个等级:
记事件 C:​aA 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”. 假设两地区用户的评 价结果相互独立. 根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例 29 : (2015 新课标 I 理) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x( 单 位: 千元) 对年销售量 y单位:t 和年利润 z (单位: 千元) 的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和 年销售量 yi=1,2,⋯,8 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中 wi=xi,w=18i=18wi .
(I) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+dx 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型? (给出判断即可,不必说明理由)
(II) 根据 (I) 的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;
(III) 已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y−x . 根据 (II) 的结果回答下列问 题:
(i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大?
附:
对于一组数据 u1,v1,u2,v2,⋯,un,vn ,其回归线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计
分别为 β=i=1nui−uvi−vi=1nui−u2,α=v−βu . 高中数学解答题常考公式及答题模板
例&30: (2020 年新课标 II 18) 某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所 增加. 为调查该地区某种野生动物的数量, 将其分成面积相近的 200 个地块, 从这些地块中用 简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区,调查得到样本数据 xi,yii=1,2,⋯,20 ,其中 xi 和 y 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积 (单位: 公顷) 和这种野生动物的数量,并计算得
i=120xi=60,i=120yi=1200,i=120xi−x2=80,i=120yi−y2=9000,i=120xi−xyi−y=800.
(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值 (这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动 物数量的平均数乘以地块数);
(2) 求样本 xi,yii=1,2,⋯,20 的相关系数 (精确到 0.01 );
(3) 根据现有统计资料, 各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地 区这种野生动物数量更准确的估计, 请给出一种你认为更合理的抽样方法, 并说明理由.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
附: 相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2,2≈1.414 .
例&31: (2021. 全国・(理 1)) 甲、乙两台机床生产同种产品, 产品按质量分为一级品和二级品, 为了 比较两台机床产品的质量, 分别用两台机床各生产了 200 件产品, 产品质量情况统计如下表:
(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2) 能否有 99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附: K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
例&32: (2021. 新高考.(2 卷 )) 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来, 设一个这种微生 物为第 0 代,经过一次繁殖后为第 1 代,再经过一次繁殖后为第 2 代 …,该微生物每代繁殖 的个数是相互独立的且有相同的分布列,设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数, P(X =i)=pii=0,1,2,3 .
(1) 已知 p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1 ,求 EX ;
(2) 设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率, p 是关于 x 的方程: p0+p1x+p2x2 +p3x3=x 的一个最小正实根,求证: 当 EX≤1 时, p=1 ,当 EX>1 时, p<1 ; (3) 根据你的理解说明 (2) 问结论的实际含义.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
专题五: 圆锥曲线
1、倾斜角:
已知直线的倾斜角为 a ,且 a≠90∘ ,则斜率 k=tanα .; 与 x 轴平行或重合时倾斜角为 0∘ .
直线方程法: ax+by+c=0 的斜率 k=−ab .
直线的方向向量法: a=1,k 若 a=m,n 为直线方向向量,则斜率 k=nm .
过两点 x1,y1x2,y2 的直线的斜率 k=y2−y1x2−x1 ;
已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y=kx+b ,它不包括垂直于 x 轴直线.
2、设直线方程的一些常用技巧:
1) 知直线纵截距 b ,常设其方程为 y=kx+b ;
(2) 知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x=my+x0 (它不适用于斜率为 0 的直线);
(3) 知直线过点 x0,y0 ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y=kx−x0+y0 ,当斜率 k 不存在时,则 其方程为 x=x0 ;
(4) 与直线 l:Ax+By+C=0 平行的直线可表示为 Ax+By+C1=0 ;
(5) 与直线 l:Ax+By+C=0 垂直的直线可表示为 Bx−Ay+C1=0 .
提醒: 求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式, 利用待定系数法求解;
3 、椭圆的定义:
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数 2a大于F1F2 的点的轨迹; 其中,两个定点称做 椭圆的焦点, 焦点间的距离叫做焦距.
椭圆方程的推导设 Mx,y 是椭圆上任意一点,焦点 F1−c,0 和 F2c,0 ,由上述椭圆的定义可 得: x+c2+y2+x−c2+y2=2a ,将这个方程移项,两边平方得:
a2−cx=ax−c2+y2 ,两边再平方,整理得: x2a2+y2b2=1a>b>0 .
注(1) 2a>F1F2 表示椭圆; (2) 2a=F1F2 表示线段 F1F2 ; (3) 2a椭圆的标准方程 x2a2+y2b2=1a>b>0⇔中心在原点,焦点在x轴上;y2a2+x2b2=1a>b>0⇔中心在原点,焦点在y轴上.
椭圆的参数方程 x2a2+y2b2=1a>b>0⇔x=acsθy=bsinθ;y2a2+x2b2=1a>b>0⇔x=bcsθy=asinθ.
椭圆的一般式方程 Ax2+By2=1A>0,B>0,A≠B [括号中的限制亦是 “充要条件”!]
椭圆的定义式方程:
(1)第一定义: x+c2+y2+x−c2+y2=2a ; (2)第二定义: x−c2+y2a2c−x=ca .
5 、椭圆的基本参数:
1. 对称性标准方程的图形,不仅关于 x 轴和 y 轴轴对称,同时,还关于原点中心对称.
2. 顶点 A1−a,0,A2a,0,B10,−b,B20,b ,或 A1−b,0,A2b,0,B10,−a,B20,a .
3. 长轴和短轴长轴为 2a ,短轴为 2b ,注意区分长半轴为 a ,短半轴为 b . 短轴和短轴长轴为
4. 焦点 F1−c,0,F2c,0 ; 或 F10,−c,F20,c .
5. 焦距 F1F2=2cc>0 ,同时,半焦距 c 、长半轴为 a 和短半轴为 b 是一组勾股数,满足关系式: c2=a2−b2.
注对于基本概念要扎实掌握, 一定要区分长轴、短轴、焦距, 和长半轴、短半轴、半焦距; 尤其在大 题中, 一定要看清!
6. 离心率 e=ca0椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据. 因为 a>c>0 ,所以 e 的取值范围是 07. (1) 准线 x=±a2c ; 或 y=±a2c ; (2) 焦准距 p=a2c−c=b2c ; (3) 通径 2ep=2b2a(p 为焦准距 ).
8. 焦半径椭圆上的点到焦点的距离; 设 Px0,y0 为椭圆上的一点, F1 在负半轴, F2 在正半轴; (1) 焦点 x 轴焦半径 PF1=a+ex0PF2=a−ex0 (左加右减); (2) 焦点 y 轴焦半径 PF1=a+ey0PF2=a−ey0 (上加下减). 注(1)可以利用第二定义快速进行证明; (2)不必死记公式, 结合图像, 即可了然, 长的加, 短的减! (3)和函数 y=fx 的平移规律规律类似!!
(4)焦半径的取值范围是 [a+c,a−c] ,这个范围在大题中可以直接用,不需要计算判断! 同时,这 个在判断离心率的范围中也很常用! 具体可参考离心率专题.
易错提醒焦半径公式, 在考试之时, 不能直接使用!!
9. 焦点弦若过焦点的直线与椭圆相交于两点 AxA,yA 和 BxB,yB ,则称线段 AB 为焦点弦.
(1) 如图,当焦点弦过左焦点时,焦点弦的长度 AB=2a+exA+xB ,仅与它的中点的横坐标有 关; 当焦点弦过右焦点时,有 AB=2a−exA+xB .
类似地,当焦点在 y 轴上时,焦点弦 AB=2a+eyA±yB ,仅与它的中点的纵坐标有关.
(2) 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦) 最短,通径为 2ep=2b2a ( p 为焦准距).
已知椭圆的弦长 AB=d ,则 d≥2b2a 是弦 AB 能过焦点的必要条件!
6 、双曲线的定义:
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数且小于 F1F2 的点的轨迹; 其中,两个定 点叫做双曲线的焦点, 焦点间的距离叫做焦距.
注(1)当 0<2a(2)当 2a=F1F2 时,点的轨迹为以 F1,F2 为端点的两条射线; (3)当 2a>F1F2 时,轨迹不存在 (或 不表示任何图形); (4) 当 2a=0 时,点的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线. 7、双曲线的方程:
1. 双曲线的标准方程 x2a2−y2b2=1a>b>0⇔中心在原点,焦点在x轴上;y2a2−x2b2=1a>b>0⇔中心在原点,焦点在y轴上.
2. 双曲线的参数方程 x2a2−y2b2=1a>b>0⇔x=asecθy=btanθy2a2−x2b2=1a>b>0⇔x=btanθy=asecθ .
注参数 θ ,同椭圆类似,是物理上的离心角,结合离心率理解.
3. 双曲线的一般式方程 Ax2+By2=1AB<0
注焦点位置判断当 A>0,B<0 时,焦点在 x 轴上; 当 A<0,B>0 时,焦点在 y 轴上. 当不知 焦点在哪个坐标轴上, 求标准方程时常用此形式.
4. 双曲线的定义式方程
(1)第一定义: x+c2+y2−x−c2+y2=2a ; (2)第二定义: x−c2+y2a2c−x=ca .
8 、双曲线的基本参数:
1. 对称性标准方程的图形,不仅关于 x 轴和 y 轴轴对称,同时还关于原点中心对称.
2. 顶点 A1−a,0,A2a,0 ,或 A10,−a,A20,a .
3. 实轴和虚轴实轴为 2a ,虚轴为 2b ; 注意区分实半轴和虚半轴.
4. 焦点 F1−c,0,F2c,0 ; 或 F10,−c,F20,c .
5. 焦距 F1F2=2cc>0 ,同时,半焦距 c 、长半轴为 a 和短半轴为 b 是一组勾股数,满足关系式: c2=a2+b2.
6. 离心率 e=cae>1 ,离心率越大,开口越大;
双曲线的离心率是描述双曲线 “张口”大小的一个重要数据,分析和上面的椭圆类似,譬如,当 e 接近 1 时, b 越来越小,双曲线的“张口”越来越小.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
7. (1) 准线 x=±a2c ; 或 y=±a2c ; (2) 焦准距 p=a2c−c=b2c ; (3) 通径 2ep=2b2ap为焦准距 .
8. 焦半径设 Px0,y0 为双曲线上的一点,由于双曲线分两支,故焦半径分为两种.
(1) 焦点在 x 轴: P 在左支 PF1=−a−ex0PF2=a−ex0,P 在右支 PF1=a+ex0PF2=−a+ex0 ;
(2) 焦点在 y 轴: P 在下支 PF1=−a−ey0PF2=a−ey0,P 在上支 PF1=a+ey0PF2=−a+ey0 .
9. 焦点弦若过焦点的直线与双曲线的一支相交于两点 AxA,yA 和 BxB,yB ,则称线段 AB 为焦 点弦.
注双曲线焦点弦的推导方法与椭圆类似, 结果也是仅与弦中点的横坐标或者纵坐标有关.
10. 双曲线的渐近线:
x2a2−y2b2=1a>b>0⇔y=±bax; 或y2a2−x2b2=1a>b>0⇔y=±abx.
(1) 求双曲线的渐近线, 把标准方程中的 “ 1 ” 用 “ 0 ” 替换, 然后因式分解或者开方得到.
(2) 反之,若渐近线方程为 y=±bax⇔xa±yb=0⇒ 双曲线可设为: x2a2−y2b2=λ ; 类似,若已知 渐近线的方程为 mx±ny=0 ,则双曲线的方程可设为: m2x2−n2y2=λλ≠0且为常数 .
(3) 与双曲线 x2a2−y2b2=1 有公共渐近线的双曲线系方程是: x2a2−y2b2=λ(λ>0 ,焦点在 x 轴上, λ <0 ,焦点在 y 轴上),若题目中告知双曲线渐近线方程,可设此方程,利用待定系数法进行计算.
9 、椭圆的焦点三角形
椭圆焦点三角形的面积公式:
已知椭圆方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0 ,左、右两焦点分别为 F1、F2,Px0,y0 是椭圆上一点,在 焦点三角形 PF1F2 中, ∠F1PF2=θ,r 为 △PF1F2 的内切圆半径,则有:
(1) PF1PF2=2b21+csθ ; (2) S△F1PF2=b2tanθ2=cy0=a+c⋅r .
证明不要只记结论,推导过程也要熟悉! 根据 S△F1PF2=12PF1PF2sinθ ,只要利用 “椭圆的第一 定义 + 余弦定理”,求出 PF1PF2=2b21+csθ 即可!
易错提醒使用焦点三角形的面积公式之时,有时要注意检验 y0 的存在性 ! 张角最大与拓展:
短轴端点处 ∠F1PF2 张角最大已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆上一动点,在焦点三角形 PF1F2 中,若 ∠F1PF2 最大,则点 P 为椭圆短轴的端点.
证明设 PF1=m,PF1=n ,则 m+n=2a ,在 △F1PF2 中,利用余弦定理,可得:
csθ=m2+n2−4c22mn=m+n2−2mn−4c22mn=2b2mn−1≥2b2m+n22−1=2b2a2−1 ,
其中,当且仅当 m=n 时取等号,此时点 P 位于短轴端点,又因为余弦函数 y=csx 在 0,π 上单 调递减,所以,当点 P 位于短轴端点时, ∠F1PF2 取得最大值.
10 、双曲线焦点三角形的面积公式:
已知双曲线方程为 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,左右两焦点分别为 F1、F2,Px0,y0 是双曲线上一 点,在焦点三角形 PF1F2 中, ∠F1PF2=θ ,则有:
(1) PF1PF2=2b21−csθ ; (2) S△F1PF2=b2tanθ2=cyb .
11、抛物线的定义:
抛物线的定义平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹; 其中, 定点为抛物线 的焦点, 定直线叫做准线.
注 (1) 抛物线的定义,其实质可归结为 “一动三定”. 一个动点 M ,一个定点 F (抛物线的焦点), 一条定直线 l (抛物线的准线),一个定值 (点 M 与点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等于 1 ). (2) 定点 F∉l ,否则动点 M 的轨迹不是抛物线,而是过点 F 垂直于直线 l 的一条直线.
12、抛物线的基本参数:
下面以抛物线标准方程 y2=2pxp>0 为例,焦点在 x 轴上,开口向右;
p 的几何意义参数 p 是焦点到准线的距离,称为焦准距,故 p 恒为正数.
顶点为原点 O0,0 ,以 x 轴为对称轴,且没有对称中心,焦点为 Fp2,0 ,准线为 x=−p2 ,由于[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
抛物线的离心率 e 都等于 1,故抛物线通径为 2ep=2p ;
焦半径 PF=x0+p2 ,实质就是抛物线的定义.
焦点弦 x1+x2+p=p1−csθ=2psin2θθ≠0 ; 特殊地,当 θ=π2 时,为通径 2p . [极坐标秒之] 抛物线的其他标准方程如 y2=−2px ,焦点在 x 轴上,开口向左; x2=2py ,焦点在 y 轴上,开口向 上; x2=−2py ,焦点在 y 轴上,开口向下,和以上类似,不再赘述.
13 、抛物线和椭圆、双曲线的比较:
(1) 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来, 差别较大. 它的离心率等于 1 ; 它只有一个焦点、一个 顶点、一条对称轴、一条准线; 它无中心, 也没有渐近线.
(2) 椭圆、双曲线都有中心, 它们均可称为有心圆锥曲线; 抛物线没有中心, 称为无心圆锥曲线. 抛物线的焦点弦模型:
过抛物线 y2=2pxp>0 焦点 F ,且倾斜角为 θ 的直线交抛物线于 Ax1,y1、Bx2,y2 两点,设 M x0,y0 是 AB 的中点, l 是抛物线的准线,过点 A、M、B 分别作 l 的垂线,垂足分别为 C、D、N . AC、BD 分别交 y 轴于点 S、T . 连结 MN 交抛物线于点 Q ,延长 AB 交准线 l 于点 P ,则有如下 的性质:
1. 焦半径 AF=AC=x1+p2=p1−csθ,BF=BD=x2+p2=p1−csθ+π= p1+csθ ,其中 θ≠0 ; [极坐标的形式,很常用,很好使,一定要熟记! 不过,在大题中,需要提前 推导一遍才能使用 !! ]
2. 1FA+1FB=2p ; [可推广至 n 个,结合前面的极坐标专题!]
3. 焦点弦 AB=x1+x2+p=2psin2θθ≠0 ; 此外,当 θ=π2 时,此时的焦点弦也叫作通径,它是 最短的焦点弦,长度为 2p .
4. 原点 O 到焦点弦 AB 的距离为 p2sinθ ,又 AB=2psin2θ ,则 S△AOB=p22sinθ . [半个 p 方除正 弦] 5. y1y2=−p2,x1x2=p24 . [显然是等比替换性质的特例]
6. (1) 以焦点弦 AB 为直径的圆与准线 l 相切于点 N ,则 DNA⊥NB;2 在 Rt△ANB 中, NM= 12AB,NF2=AF⋅BF,AN2+BN2=AB2=AF+BF2=2MN2=4MN2; (3) 由于点 O 在以 AB 为直径的圆内,易知 ∠AOB 必为钝角,即 kOA⋅kOB<0 .
证明 (1) 由于 MN 是梯形 ACDB 的中位线,故 MN=12AC+BD=12AF+BF= 12AB .
(2) 连结 CF、DF ,分别交 y 轴于点 J、K ,则点 J、K 分别是 OS、OT 的中点. [利用 CS⇒OF ] (3) 以焦半径为直径的圆和 y 轴相切; 如图,以焦半径 AF 为直径的圆 H 和 y 轴交于点 J . [证明 可参照前面的焦点三角形中的相关专题]
(4) 以两垂足 C、D 直径端点的圆与焦点弦 AB 相切,且切于焦点 F ,即 FC⊥FD . [焦点对焦点 弦在准线投影点的张角]
证明利用 AC=AF,AC//OF ,可得: ∠AFC=∠FCA=∠CFO ,同理可得: ∠BFD=∠DFO ,故 ∠CFD=90∘ . [此时的 AJ 过点 N 与否并不能确定,故不可以想当然得到 NC=NF .]
[利用解析法,则等价于证明: yCyD=−p2 ,即 y1y2=−p2 ,这显然是成立的! 更多背景拓展见专题 “极点极线模型之焦准距的平方与共圆模型”]
(5) FN⊥AB;A、J、N 三点共线, B、K、N 三点共线 (或 AN 垂直平分 CF 交 y 轴于点 J,BN 垂 直平分 DF 交 y 轴于点 K ); 四边形 FJNK 为矩形[全等是关键]
证明由上面的 (4) 知: 在 Rt △CDF 中,有 NF=CN=12CD ,又 AC=AF,NA=NA ,故 △ACN−△AFN ,所以 FN⊥AB ;
同时,结合 (2) 可知: A、J、N 三点共线,即 AN 垂直平分 CF 交 y 轴于点 J ,同理可得: BN 垂直平 分 DF 交 y 轴于点 K . [“ FN⊥AB ”的拓展参见“极点极线之切点弦方程之过焦点的切点弦”] (6) 以 OS、OT 为直径的圆分别和焦半径 AF、BF 相切.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
证明作 JI⊥AF 于点 I ,易知 △ASJ≅△AFJ ,故 JF=JS=JO ,
注(1)焦点弦相关的垂直关系 (亦即共圆关系) 比较多, 如果从几何角度证明, 可以大致记个证明 的顺序是: 从矩形 JNKF 的左上角 N→ 右下角 F→ 余下的两个角 J、K .
(2)上述的几何证明了解即可, 可不必硬性掌握, 考试之中, 如果出现, 果断利用解析法, 毕竟解析 法思路简单直接, 计算量也不是很大.
7. 假设焦点弦 AB 与 x 轴不垂直,过点 M 作 AB 的垂线交 x 轴于点 E ,则有:
(1)点 E 的坐标为 x0+p,0 ; [拓展与应用在“点差法基础篇之垂直平分线”]
(2) 由(1)可得 EF=12AB ; 又 NM=12AB ,且 MN 与 x 轴平行,故四边形 EFNM 为平行四边 形,因此, ME=NF=12CD=FA⋅FB .
8. 设 MN 交抛物线于 Q ,则 Q 平分 MN ; 连结 QF ,则 QF=12MN=14AB . [拓展见 “极点 极线之调和分割”]
证明易知 N−p2,y1+y22,Mx1+x22,y1+y22 ,则点 Q 的坐标为 x1+x2−p4,y1+y24 ,代入抛物 线的方程 y2=2px ,经验证是满足方程的!
9.(1) A、O、D 三点在一条直线上; 2B、O、C 三点在一条直线上.
上述命题反过来也是成立的: (3) 设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 D ,则 BD 平行于 x 轴; (4) 设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 C ,则 AC 平行于 x 轴. [拓展推广见“极点极线模型之 共轭点的等分点模型”]
证明此处以 (1) 为例进行证明, (2) 证明类似, (3) (4) 也比较简单, 故略过;
易得点 D−p2,y2 ,又 y1y2=−p2 (上面已证得),故 kOC=y2−p2=2py1=y1x1=kOA ,因此, A、O、D 三点在一条直线上.
10. 记 △ACF、△BDF、△CDF 的面积分别为 S1、S2、S3 ,则 S20=4S1S3 . [可推广至一般的圆锥曲 线] 11. 直线 AN、BN 是抛物线的切线,且 A、B 为切点; []
证明以直线 AN 为例: 易知抛物线在点 Ay122p,y1 处的切线斜率为 py1 ,又 N−p2,y1+y22 ,且 y1y2 =−p2 ,故 kAN=y1−y1+y22y122p+p2=py1−y2y12+p2=py1−y2y12−y1y2=py1 ,因此,直线 AN 是抛物线的切线.
[利用 p2=−yhyh ,这一“常值代换”的技巧,在抛物线的证明中还是比较常用的!] 背景抛物线互相垂直的切线的交点轨迹是抛物线的准线. [可类比蒙日圆] 12. 阿基米德三角形的面积 S△ABN=y1−y238p;AB=y1−y228p;阿基米德三角形的特例 13. 等角定理: ∠AGF=∠BGF ; [可推广,证明参见后面的极点极线模型之等角定理] 14. 斜率等差: 2kNF=kNA+kNB ; [可推广,证明参见后面的极点极线模型之斜率等差模型] 15. 设 AF=λFB,AP=μPB ,则 λ+μ=0 . [背景是 A、F、B、P 是调和点列,显然成立的! 证 明的话, 最简单的方法是: 利用定义 + 相似三角形]
16. 设 AF=λFB ,则有: (1) csθ=11+k2=λ−1λ+1 (设直线 AB 的斜率为 k );
(2) Apλ2,y1,Bp2λ,y2,y1=−λy2 ; [抛物线的定比点差法,可推广至对称轴的任意一点]
定比点差法的妙用过抛物线 y2=2pxp>0 焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,过 A、B 作抛 物线的两条切线交于点 N 、作 AC、BD 垂直于准线 l 分别于 C、D,l 与 x 轴交点为 G .
求证: (1) N 在 l 上; (2) NF⊥AB ; (3) NA⊥NB;⋯⋯
证明设 AF=λFB,Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 x1+λx21+λ=p2y1+λy21+λ=0 ,即 x1+λx2=p21+λ⋯ (1)
又 AC=λBD ,可得 x1−λx2=p2λ−1⋯ (2),由 (1)(2) 可得: x1=pλ2,x2=p2λ ,不妨假设点 A 在 x 轴上方,则 y1=pλ,y2=−pλ . (1) 又 AN、BN 的方程分别为: yy=px+x1、yy=px+x2 ,解此方程组,并代入 A、B 两点的 坐标,可得点 N 坐标为 −p2,p2λ−1λ ,故点 N 在 l 上;[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
至此, A、B、N 的坐标全部都用一个字母 λ 表示,对于接下来 (2) (3) 的证明,就很 easy了.
14 、抛物线的切线专题 (极点极线):
根据点 P 的位置分成如下三种情况:
(1) 极点 P 在抛物线上,对应的极线 l 是抛物线的切线方程
(1) 抛物线 y2=2px 上的一点 Px0,y0 切线方程方程为: y0y=px+x0 .
(2)抛物线 x2=2py 上的一点 Px0,y0 切线方程方程为: x0x=py+y0 .
(2) 极点 P 在抛物线外,对应的极线 l 是抛物线的切点弦方程
(1)抛物线 y2=2px 外一点 Px0,y0 对抛物线的切点弦的方程为: y0y=px+x0 .
(2)抛物线 x2=2py 外一点 Px0,y0 对抛物线的切点弦的方程为: x0x=py+y0 .
(3) 极点 P 在抛物线内,对应的极线 l 是过点 P 的弦两端端点的切线交点的轨迹,且此时的极线 l 必和抛物线相离
(1) 抛物线 y2=2px 内一点 Px0,y0 对抛物线的极线方程为: y0y=px+x0 .
(2) 抛物线 x2=2py 内一点 Px0,y0 对抛物线的极线方程为: x0x=py+y0 .
抛物线两条切线的交点一一双切线模型:
焦点在 x 轴如图所示,直线和抛物线 y2=2pxp>0 交于 A、B 两点,过点 A、B 分别作切线交于 点 P ,设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则点 P 的坐标为 y1y22p,y1+y22 .
因此,过点 P 作 PQ 平行 x 轴,交 AB 于点 Q ,则 Q 是弦 AB 的中点.
证明易知抛物线在点 A、B 处的切线方程为: y1y=px+x1y2y=px+x2 ,即 y1y=px+y122p⋯(1)y2y=px+y222p⋯(2) ,
由(1) - (2) 可得: y1−y2y=y1+y2y1−y22 ,即 y=y1+y22 ,进而易得 x=y1y22p .
记忆说明显然,切线交点 P 的纵坐标是两个切点 A、B 纵坐标和的一半,而横坐标和抛物线的替 15、阿基米德三角形:
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形, 这个三角形常被称为阿基米德三角形. 这 是由于阿基米德最早利用逼近的思想证明了: 抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等 于阿基米德三角形面积的 23 .
16 、阿基米德三角形的常见性质:
此处以抛物线 y2=2pxp>0 为例进行说明: 以 F 为焦点的抛物线 y2=2pxp>0 在点 A、B 处 的切线相交于点 P ,则 △PAB 就是阿基米德三角形,且称弦 AB 为阿基米德三角形的底边.
抛物线在点 I 处的切线分别交 PA、PB 于点 S、T ,此时,一般称 △PST 为切线三角形, △IAB 为 切点三角形.
1. 设点 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则点 P 的坐标为 y1y22p,y1+y22 .
2. (1) 若点 P 为定点 x0,y0 ,则底边 AB 的方程为 y0y=px+x0 ;
(2) 若底边 AB 过定点 x0,y0 ,则点 P 在定直线 ygy=px+x0 上; 特殊地,若底边 AB 过的定点是 焦点 p2,0 ,则点 P 在准线 x=−p2 上. [参考抛物线的极点极线专题]
3. (1) 阿基米德三角形的底边中线平行于 x 轴,如图,设底边 AB 的中点为 Q ,则 PQ//x 轴; (2) 设 PQ 与抛物线交于点 M ,则 M 是线段 PQ 的中点;
(3) 过点 M 作抛物线的切线,则此切线和底边 AB 平行.
抛物线的中切线性质已知二次函数的割线与二次函数相交于 A、B 两点,若二次函数在点 C 处的 切线与割线平行,则 A、B 中点与点 C 的横坐标相同.
证明不妨令二次函数为 fx=ax2 ,设 Ax1,ax12,Bx2,ax22,Cx1+x22,ax1+x222 ,
则 kAB=ax12−ax22x1−x2=ax1+x2=2a×x1+x22=f′x1+x22 .
4. AF⋅BF=PF2 ,即 AF、PF、BF 成等比数列. [ AB 不是焦点弦也成立!]
5. ∠PFA=∠PFB . [4 和 5 的证明,可参考下面的例题,对于 5 的证明,也可以利用光学性质,[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
具体参见前面的相关专题]
6. 切点 △IAB 的面积是切线 △PST 面积的 2 倍,即 S△IABT=2S△PST .
证明设 Ay122p,y1,By222p,y2,Iy322p,y3 ,则 Py1y22p,y1+y22,Sy1y32p,y1+y32,Ty2y32p,y2+y32 .
注意到 yA−yB=yA−y2,yS−yT=yA+yb2−y2+yb2=12yA−y2 ,联想到三角形面积的分割 法! 因此,过点 I 作 x 轴的平行线交 AB 于点 I1 ,过点 P 作 x 轴的平行线交 ET 于点 P1 ,则
S△IAB=12Π1yA−yB=12Π1yA−y2,S△PST=12PP1yS−yT=14PP1yA−y2 ,
所以,欲证明 S△IAB=2S△PST 成立,只需证明 H1=PP1 成立即可.
直线 AB 的方程为: y1+y2y=2px+y1y2 ,令 y=y3 得: xI1=y1+y2y3−y1y22p .
抛物线在点 I 处的切线为: yy3=px+x3 ,令 y=y1+y22 得: xP1=y1+y2y32p−x3= y1+y2y3−y322p .
由于 Π1=xl1−xl=y1+y2y3−y1y22p−y322p,PP1=xP1−xP=y1+y2y3−y322p−y1y22p ,显然,
I1=PP1 是成立的!
7. (1) 切线 △PST 的外接圆过抛物线的焦点 F ,即 P、S、T、F 四点共圆,如图中的圆 O1 ;
(2) 特殊地,设直线 AP、BP 分别与 y 轴交于点 C、D ,则 P、C、D、F 四点在以 PF 为直径的圆 上,如图中的圆 O2 .
证明 (1) 设 Ay122p,y1,By222p,y2,Iy022p,y0 ,易得 Sy0y12p,y0+y12,Ty0y22p,y0+y22 , Py1y22p,y1+y22 .
注意到 ∠SPT ,即 ∠APB 的大小只和 y1、y2 有关,因此,只要能够证明 ∠SFT 的大小也只和 y1、y2 有关,而与 y0 无关,亦即利用到角公式,证明 tan∠APB+tan∠SFT=0 成立即可.
易知 kAP=py1,kBP=py2 ,故 tan∠APB=kAP−kBP1+kAP⋅kBP=py1−py21+py1⋅py2=py2−y1y1y2+p2 ; 由于 kSF=y0+y12y0y12p−p2=py0+y1y0y1−p2 ,同理 kTF=py0+y2y0y2−p2 ,故
tan∠SFT=kTF−kSF1−kTF⋅kSF=py0+yby0y2−p2−py0+yby0y0−p21+py0+yby0y2−p2⋅py0+yby0y1−p2=−py2−y0y02+p2y1y2+p2y02+p2=−py2−y0y1y2+p2,
因此, tan∠APB+tan∠SFT=0 ,亦即 ∠APB+∠SFT=π ,即 P、S、T、F 四点共圆得证.
(2) 直线 AP 为 yyh=px+x1=px+yh22p ,令 x=0 ,可得 C0,yh2 ,因此, kCF=yh20−p2=−yhp , 显然 kCF*kAP=−1 ,同理可得 kDF⋅kBP=−1 ,所以, ∠PCF=∠PDF=π2 ,即 P、C、D、F 四点在 以 PF 为直径的圆上.
8. 切线 △PST 的垂心 H 在抛物线的准线 x=−p2 上.
9. (1) 当点 P 在直线 x=m 上运动时,则底边 AB 恒过定点 −m,0 ,且 kPA⋅kPB 为定值 p2m ;
(2) 特殊地,当点 P 在准线 x=−p2 上运动时,则底边 AB 恒过焦点 p2,0 ,且 kPA⋅kPB=−1 ,即 PA⊥PB ; 同时,亦有 kPF⋅kAB=−1 ,即 PF⊥AB . [串联到焦点弦模型]
10. 设底边 AB 与 x 轴的焦点为 N ,则 kPA+kPB=2kPN ,即 kPA、kPN、kPB 成等差数列.
11. (1) 设 Px0,y0 ,则阿基米德 △PAB 的面积为: S△PAB=y02−2px03p=y1−y238p ;
(2) 特殊地,当底边 AB 过焦点 Fp2,0 时,由于 y1y2=−p2 ,故此时 S△PAB 的最小值为 p2 .
证明 (1) 直线 AB 的方程为: y1+y2y=2px+y1y2 ,又 x0=y1y22py0=y1+y22 ,故点 P 到直线 AB 的距离为:
d=y1+y2⋅y1+y22−2p⋅y1y22p−y1y2y1+y22+4p2=y1−y222y1+y22+4p2,
又 AB=1+y1+y224p2y1−y2=y1+y22+4p22p⋅y1−y2 ,故 S△PAB=12⋅d⋅AB=y1−y238p .[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
如果利用 x0=y1y22pyb=y1+y22 换掉 yh−y2=y1+y22−2y1y2 ,亦可得到 S△PAB=y02−2px03p .
注(1)原汁原味含参推导是最快的, 且和抛物线的两点式方程相呼应! 即使是过焦点! !
(2)阿基米德三角形面积公式的形式有两个, 该选择哪个? 根据具体的题目具体选择使用.
12. (1) ASSP=SIIT=PTTB ;
(2) 对 △IAB 而言,可以视切线 △PST 为割线应用 “梅涅劳斯定理”,即为 ASSI⋅ITTB⋅BPPA=1 . 证明转化为坐标比即可, 比较简单, 此处以 (1) 为例进行证明.
设点 A、B、I 的纵坐标分别为 yA、y2、y3 ,则点 P、S、T 的纵坐标分别为 yA+y22、yA+y32、y2+y32 .
则 ASSP=yh−yh+yh2yh+yh2−yh+yh2=yh−yhyh−yh,SIIT=yh+yh2−yhyh−yh=yh−yhyh−yh ,所以 ASSP=SIIT ;
同理可证得: PTTB=SIIT ,故 ASSP=SIIT=PTTB 得证.
13. 抛物线的焦点到切线三角形三个顶点的距离之积与到切点三角形三个顶点的距离之积相等. 16 、直线与圆锥曲线的位置关系:
1. 代数法: 把圆锥曲线方程 C 与直线方程 l 联立,消去 y (也可以消去 x ),整理得到关于 x (或者 y ) 的一元方程 ax2+bx+c=0 .
(1) 当 a≠0 时: 计算 Δ=b2−4ac .
若 Δ>0 ,则 C 与 l 相交;
若 Δ=0 ,则 C 与 l 相切;
若 Δ<0 ,则 C 与 l 相离;
2. 当 a=0 且 b≠0 时: 即得到一个一次方程,则 C 与 l 相交,且只有一个交点。
若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;
若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2. 几何法: 在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像,利用图象和性质可判断 C 与 l 的位 置关
17、弦长公式:
(1) 题设: 若斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线方程 C 有两个不同的交点 Mx1,y1、Nx2,y2 ,则
MN=1+k2x1+x22−4x1x2 或 MN=1+1k2y1+y22−4y1y2 ;
(2) 通径: (1)过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦,长度为: 2b2a ;
(2)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦,长度为: 2b2a ;
(3) 题设: 若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 C:y2=±2px 的焦点 F ,且与 C 交于两点 Mx1,y1、N x2,y2 ,其中 k=tanθ ,则
(1) MN=x1+x2+p=2psin2θ; (2) 1MF+1NF=1p1−csθ+1p1+csθ=2p ;
(4) 题设: 若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 C:x2=±2py 的焦点 F ,且与 C 交于两点 Mx1,y1、N x2,y2 ,其中 k=tanθ ,则
(1) MN=y1+y2+p=2psin2θ+π2=2pcs2θ; (2) 1MF+1NF=2p ;
18 、面积问题:
涉及面积的计算问题, 常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式,或把 待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和.
(1) 椭圆焦点三角形面积: S△F1PF2=b2tanθ2 (点 P 在椭圆上, θ=∠F1PF2 )
(2) 双曲线焦点三角形面积: S△FPF2=b2tanθ2 点 P 在双曲线上, θ=∠F1PF2
(1)题设: 若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 C:y2=±2px 的焦点 F ,且与 C 交于两点 Mx1,y1、N x2,y2 ,其中 k=tanθ ,则:
S△MON=12×p2×MN⋅sinθ=p22sinθ.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
(2) 题设: 若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 C:x2=±2py 的焦点 F ,且与 C 交于两点 Mx1,y1、N x2,y2 ,其中 k=tanθ ,则:
S△MON=12×p2×MN⋅sinθ+π2=p22sinθ+π2=p22csθ.
19、距离公式:
假设 AxA,yA,BxB,yB ,则 A,B 之间的距离:
AB=xA−xB2+yA−yB2=1+kAB2xA−xB=1+1kAB2yA−yB
20 、抛物线中的弦长公式:
(1) 已知抛物线 y2=2pxp>0 ,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,那么 AF=x1+p2BF=x2+p2,AB=AF+BF=x1+x2+p
(2) 已知抛物线 x2=2pyp>0 ,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,那么同理: AB=y1+y2+p
21 、圆锥曲线题目中的条件往往与坐标无关, 那么具体如何转化为坐标表达:
下面举出常见的案例
已知直线 AB 与某曲线相交,设 Ax1,y1,Bx2,y2,M2,0,O 为原点,将下列问题换为关于 x1
,x2,y1,y2 的坐标表达式
情形一: 当遇到 OA⊥OB 可转化为 OA⋅OB=0⇔x1x2+y1y2=0
遇到 MA⊥MB 或者 AM=2MB 怎么办?
情形二: 遇到 MA=MB 可转化为 x1−22+y2=x2−22+y22
情形三: 遇到 A,B,M 三点共线可转化为 kMA=kMB⇔y1x1−2=y2x2−2 情形四: 遇到 ∠AMB 为锐角 ⇒MA⋅MB>0
情形五: M 在直线 AB 上, AM=2BM⇒1+1k2y1−0=21+1k2y2−0( 弦长公式 )
情形六: △AOM 的面积等于 ΔBOM 的面积的 2 倍 ⇒y1=2y2
情形七: ∠AMO=∠BMO⇒kAM+kBM=0⇔y1x1−2+y2x2−2=0
情形八: AB 的中垂线过点 M
答: AM=BM⇔x1−22+y12=x2−22+y22
或者取 AB 的中点为 M0 ,则 kABkMM0=−1,M0 代入直线 AB 的方程等号成立.
情形九: 点 M 在以 AB 为直径的圆上转化为 MA⋅MB=0
若点 M 在以 AB 为直径的圆内转化为 MA⋅MB<0
情形 +:T1,0,Ax1,y1,Bx2,y2 三点共线,则 TATB=y1y2弦长公式
情形十一: 设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,直线 AB 的倾斜角为 α ,则 ABsinα=y1−y2 ,
ABcsα=x1−x2,
情形十二: 若 I 是 △ABC 的内心,则 AI⋅ABAB=AI⋅ACAC
设 Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3 ,则 ΔABC 的重心坐标 x1+x2+x33,y1+y2+y33
情形十三: 点 M,N 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴上, ∠OQM=∠ONQ⇔ 正切值相等 ⇔OMOQ=OQON
情形十四: y2=2px 在 Ax1,y1 处的切线方程为 yy=px1+px
x2=2py 在 Ax1,y1 处的切线方程 x1x=py1+py
情形十五: MA 与圆 C 相切于点 A,MB 与圆 C 相切于点 B ,求 ∠AMB
答: sin∠AMC=半径MC 半径 ∠AMC=12∠AMB ,也可尝试正切入手
情形十六: △AOM 中, ∠AOM>∠AMO⇔AM>OA (正弦定理)
情形十七: OAcs∠AOB=OA⋅OBOB数量积与投影
可以看出: 上述案例转化后的落脚点都是长度、垂直、平行、向量表示、三点[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
共线、直线方程。这是因为我们的长度有距离公式的坐标表达, 像垂直、平行、
向量都可转化为相应的坐标表达。对于角度的处理, 我们往往借助三角函数,
可以把角度转化为长度表达. 有时候还需要借助几何分析: 如初中三角函数定义,
相似三角形, 圆的相关几何定理, 平行四边形的性质等。
22 、韦达定理公式和硬解定理:
1. 一元二次方程公式
(1) 求根公式设 x1、x2 是二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,则有 x1,2=−b±b2−4ac2a .
注(1)推导方法一般利用配方法,即 ax+b2a2+4ac−b24a=0 ; (2)记忆方法或者结合对称轴和判 别式,简记为 x1,2=−b±Δ2a .
(2) 韦达定理设 x1、x2 是二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,则有 x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca .
拓展公式(1) x1−x2=x1+x22=x1+x22−4x1x2=−ba2−4ca=b2−4aca=Δa .
(2) x1x2+x2x1+2=x1+x22x1x2=b2ac ,即 b2=x1x2+x2x1+2ac .
注(2)的用法见后面的非对称韦达定理专题.
2. 硬解定理一一此处以直线和椭圆方程的联立为例进行说明
联立 x2a2+y2b2=1Ax+By+C=0 消去 y ,可得: a2A2+b2B2x2+2AC⋅a2x+a2C2−b2B2=0 .
(1) 韦达定理 x1+x2=−2AC⋅a2a2A2+b2B2,x1x2=a2C2−b2B2a2A2+b2B2 .
注 (1) a2A2+b2B2 ,等效判别式的前半部分; 消去 y 时,都有 a2;x1+x2 中的 −2AC 强记一下; x1x2 中 的 C2−b2B2 ,消去谁就减去谁.
(2) 如果是消去 x ,只需要把公式中的字母中的 a、A 分别换为 b、B 即可,而分母和 C 均不用变!
即 y1+y2=−2BC⋅b2a2A2+b2B2,x1x2=b2C2−a2A2a2A2+b2B2 .
(3)考试的时候, 可以先写出韦达定理, 再逆推出联立的方程!! (2) 完全判别式 Δx=4a2b2⋅B2⋅a2A2+b2B2−C2 ,
注(1)一定要和 “等效判别式” Δ′=a2A2+b2B2−C2 区分开! ! 对于等效判别式,可以借助三角函数 进行记忆.
(2)判别式中的 B2 ,消去谁就留谁! 故消去 x ,对应的判别式为: Δy=4a2b2⋅A2⋅a2A2+b2B2−C2 .
(3) 弦长公式弦长 =2a2b2A2+B2a2A2+b2B2−c2a2A2+b2B2
注(1)公式的分母都是 a2A2+b2B2;a2b2A2+B2a2A2+b2B2 ,这部分是一顺写.
(2)记忆口诀这个公式有点“二”,小方积、大方和,大方小方成对去虐单 C 方,虐完 C 方去下方.
(3)公式的好处传统的弦长公式有两个,一定要注意区分两者的区别!!, 因此, 熟记上述弦长公式, 可以避免由于用错弦长公式而带来的错误!!!!
消 y 版: 弦长 =1+k2⋅x1−x2=1+k2⋅Δxa=2a2b2A2+B2a2A2+b2B2−c2a2A2+b2B2 ;
消 x 版: 弦长 =1+1k2⋅y1−y2=1+1k2⋅Δya=2a2b2A2+B2a2A2+b2B2−c2a2A2+b2B2 .
(4)和判别式串联显然利用(3)中的公式,也可轻松逆推出判别式 Δx 或 Δy .
(5)易错提醒如果是椭圆, 公式中绝对值符号可以直接拿掉! 但是, 对于双曲线, 绝对值符号不能 省略!! 同时,直线和双曲线的渐近线二合一方程 “ x2a2−y2b2=0 ”,也不能用此弦长公式!!!
(4) 求根公式写出通式,利用上面韦达定理和判别式相应代入即可! 不过,实际没啥用!!
x1,2=−b±Δx2a=−−2AC⋅a2±4a2b2⋅B2⋅a2A2+b2B2−C22a2A2+b2B2
=AC⋅a2±a2b2⋅B2⋅a2A2+b2B2−C2a2A2+b2B2
y1,2=−b±Δy2a=−−2BC⋅b2±4a2b2⋅A2⋅a2A2+b2B2−C22a2A2+b2B2
=BC⋅b2±a2b2⋅A2⋅a2A2+b2B2−C2a2A2+b2B2
请思考如果是直线和双曲线联立,即 x2a2−y2b2=1Ax+By+C=0 ,此时又当如何?[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
分析由于 x2a2−y2b2=x2a2+y2−b2=1 ,只需要将 −b2 替换上面的 b2 即可,也就是 b2 的前面添个负 号 !! 其实,如果把上述推导过程中的 a2、b2 分别换为 m、n ,则更显然 ! !
易错提醒对于直线和双曲线的渐近线二合一方程 “ x2a2−y2b2=0 ” 联立,即 x2a2−y2b2=0Ax+By+C=0 ,上
述硬解定理是不成立的!!
使用说明硬解定理以前在网络上还是很流行的, 所以本人在此给出一个简单总结, 其中包含的公 式有很多, 但是, 个人认为, 只有那个弦长公式还有点实用性, 毕竟解析几何大题中, 经常用到弦 长公式, 考试之时, 可以作为检验之用! 同时, 弦长公式有口诀, 也不是很难记忆! !
至于韦达定理公式, 实际上也没啥大用, 毕竟把直线和圆锥曲线联立, 这个过程并不复杂;
至于完全判别式公式, 实际解题时, 往往 “等效判别式”就足够用的了, 因此, 也么啥用.
23 、直线方程复杂时的换元联立:
比如联立 y=kx−x0+y0x2a2+y2b2=1 ,显然会很复杂,
因此,可以令 m=y0−kx0 ,再联立 y=kx+mx2a2+y2b2=1 就简单很多了.
24 、两种点差法:
点差法: 中点点差法和对称点点差法
(1) 设 AB 是椭圆 x2a2+y2b2=1 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, C 是椭圆上一点,且弦 BC (也叫椭圆的直径) 过椭圆的中心 O ,则有: kOM⋅kAB=kAB⋅kAC=−b2a2 .
证明设 Ax1,y1,Bx2,y2,C−x2,−y2,Mx0,y0 ,
则 x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1 作差可得: y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=y1−y2x1−x2⋅y0x0=−b2a2 ,即 kAB⋅kAC=kOM⋅kAB=−b2a2 ,
故得证.
注(1)对于 kOM⋅kAB=−b2a2 ,这个性质一般称为有心圆锥曲线的 “垂径定理”,一般也称作 “中点点 差法”!
(2) 对于 kAB⋅kAC=−b2a2 ,一般称作“对称点点差法”,第三定义就是此形式的一个特例.
(3)当点 A、B 不断接近,直至为同一点 M 时,设点 M 处的切线为 l ,此时亦有 kOM⋅kl=−b2a2 !
(2) 设 AB 是双曲线 x2a2−y2b2=1 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, C 是双曲线上一点, 且弦 BC 过双曲线的中心 O ,则有: kOM⋅kAB=kAB⋅kAC=b2a2 .
(3) 如图,设 AB 是抛物线 y2=2px 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,设 Mx0,y0 ,则有: (1) kAB=py0 ; (2) kOM⋅kAB=px0 .
易错提醒 1 由于 “ AB 是不平行于对称轴的弦”,因此,在使用点差法解题之时,需要讨论斜率为 0 和斜率不存在两种情况!!
易错提醒 2 点差法是形式化的定义, 与有心圆锥曲线的焦点在哪个轴没有关系! !
25、中点弦和弦中点轨迹
1. 中点弦的轨迹方程
(1) 在椭圆 x2a2+y2b2=1 中,若弦 AB 的中点为 Mx0,y0 ,弦 AB 称为中点弦,则中点弦的方程是: xx0a2+yy0b2=x02a2+y02b2 ,是直线方程!
注当中点 M 无限接近椭圆时,则 x02a2+y02b2→1 ,亦即 xx0a2+yy0b2→1 ,可以理解为割线 AB 变为切 线 AB .
(2) 在双曲线 x2a2−y2b2=1 中,若弦 AB 的中点为 Mx0,y0 ,弦 AB 称为中点弦,则中点弦的方程 是: xx0a2−yy0b2=x02a2−y02b2 ,是直线方程!
注双曲线中点弦存在定理: 若 Mx0,y0 不是原点,则双曲线 x2a2−y2b2=1 存在以 Mx0,y0 为中点 的中点弦的充要条件是点 M 的坐标满足: x02a2−y02b2<0 或 x02a2−y02b2>1 ,其中, x02a2−y02b2>1 对应 的是双曲线的内部, x02a2−y02b2<0 可以理解为 “退化双曲线的外部”.
如图所示,只要点 M 不在阴影 (含边界,除去原点) 内,就一定存在中点弦; 下面给出两个证法,[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
同时, 可以结合下面具体的例题共同理解.
证法一对 x2a2+y2−b2=1xx0a2−yy0b2−x02a2−y02b2=0 ,利用等效判别式 (和椭圆刚好相反),即
Δ′=a2⋅x0a22+−b2⋅y0b22−x02a2−y02b22=x02a2−y02b2−x02a2−y02b22<0,
解得 x02a2−y02b2>1 或 x02a2−y02b2<0 .
证法二注意到中点弦 xx0a2−yy0b2=x02a2−y02b2 对应的极点为 x0x02a2−y02b2,y0x02a2−y02b2 ,欲使得中点弦 和双曲线恒有两个公共点,只须极点 x0x02a2−y02b2,y0x02a2−y02b2 在双曲线的外部即可,即
x0x02a2−y02b22a2−y0x02a2−y02b22b2<1.
(3) 在抛物线 y2=2px 中,若弦 AB 的中点为 Mx0,y0 ,弦 AB 称为中点弦,则中点弦的方程是:
yy0−px+x0=y02−2px0,是直线方程!
2. 弦中点的轨迹方程
(1) 过椭圆 x2a2+y2b2=1 内点 Px0,y0 的弦 AB ,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是:
x2a2+y2b2=xx0a2+yy0b2,仍为椭圆!
注性质的证明是很简单的, 利用点差法即可! 当然, 也可以利用上面的中点弦方程进行分析: 设弦 AB 的中点为 Mx1,y1 ,则以 M 为中点的中点弦 AB 的方程为: xx1a2+yy1b2=x12a2+y12b2 ,
代入点 Px0,y0:x0x1a2+y0y1b2=x12a2+y12b2 ,即中点 M 的轨迹方程是:
x2a2+y2b2=xx0a2+yy0b2.
(2) 过双曲线 x2a2−y2b2=1 内点 Px0,y0 的弦 AB ,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是:
x2a2−y2b2=xx0a2−yy0b2,仍为双曲线!
(3) 过抛物线 y2=2px 内点 Px0,y0 的弦 AB ,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是: y2−yy0=p(x− x0 ,仍为抛物线!
注 (1) 下面是中点弦方程和弦中点方程的二合一版本, 实质也是替换法则的应用! 由于满足替换 法则 (极点极线), 因此, 必然也和极点极线有着内在的联系!!
(1)椭圆: x2a2+y2b2=xx0a2+yy0b2=x02a2+y02b2 ; (2)双曲线: x2a2−y2b2=xx0a2−yy0b2=x02a2−y02b2 ;
(3)抛物线: y2−2px=yy0−px+x0=y02−2px0 .
(2) 实际上,更一般的,对于一般式的二次曲线 φ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 ,
不妨记 φx,y=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 ,
φx,y,x0,y0=Axx0+B⋅x0y+xy02+Cyy0+D⋅x+x02+E⋅y+y02+F ,则二次曲线的中点弦、 弦中点方程分别为:
φx,y,x0,y0=φx0,y0 (直线)、 φx,y=φx,y,x0,y0 (仍为同类型的二次曲线).
(3) 此外以椭圆为例, 如果从位似共心椭圆的角度进行分析, 上述替换规律是很显然的! 如图所 示,外部椭圆 x2a2+y2b2=1 和内部椭圆 x2a2+y2b2=x02a2+y02b2 是一对位似共心椭圆,过内部椭圆上 一点 Mx0,y0 作切线交外部椭圆于 A、B 两点,根据位似共心椭圆的背景 (参见后面专题总结) 可知: M 是 AB 的中点,因此,利用替换法则,易知直线 AB 的方程即为 xx0a2+yy0b2=x02a2+y02b2 . 26 、对称点点法差法 vs 斜率和积商 vs 定点
1. 斜率和二次曲线上定点之间的关系
过二次曲线 ψ 上一定点 M 做两条直线交 ψ 于 A、B 两点,两条直线的斜率分别为 k1、k2 ,且 k1、k2 满足: λk1+k2+μk1k2+γ=0 ,则直线 AB 恒过定点.
2. 高中常见的类型
(1) 椭圆过椭圆 x2a2+y2b2=1 上任一点 Px0,y0 引两条弦 PA、PB ,
(1)若 kPA⋅kPB=λλ≠b2a2 ,则直线 AB 恒过定点 λa2+b2λa2−b2x0,−λa2+b2λa2−b2y0 .[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
(2) 若 kPA+kPB=λλ≠0 ,则直线 AB 恒过定点 a2x0−2a2y0λ,−a2y0−2b2x0λ .
(2) 双曲线过双曲线 x2a2−y2b2=1 上任一点 Px0,y0 引两条弦 PA、PB ,
(1)若 kPA⋅kPB=λλ≠−b2a2 ,则直线 AB 恒过定点 λa2−b2λa2+b2x0,−λa2−b2λa2+b2y0 .
(2) 若 kPA+kPB=λλ≠0 ,则直线 AB 恒过定点 a2x0−2a2y0λ,−a2y0+2b2x0λ .
(3) 抛物线过抛物线 y2=2px 上任一点 Px0,y0 引两条弦 PA、PB ,
(1)若 kPA⋅kPB=λλ≠0 ,则直线 AB 恒过定点 x0−2pλ,−y0 .
(2) 若 kPA+kPB=λλ≠0 ,则直线 AB 恒过定点 x0−2y0λ,2pλ−y0 .
3. 特例: 斜率和为零
过圆雉曲线上任一点 Px0,y0 引两条弦 PA、PB ,若直线 PA、PB 的斜率互为相反数,即 kPA+ kPB=0 ,则直线 AB 的斜率为定值,定值为点 P 处切线斜率的相反数.
例如,对于椭圆 x2a2+y2b2=1 ,则 kAB=b2a2x0y0 ; 对于抛物线 y2=2px ,则 kAB=−py0 .
背景根据结论: 圆锥曲线上的四点共圆, 则斜率互补! ! 可参见后面的四点共圆专题)
如图所示,则有 kAB+kCD=0kDA+kCB=0 ,当 C、D 两点不断接近,直至重合为一点 P 时,则 kCD 即为椭圆在 点 P 处切线的斜率 kP ,即 kAB+kP=0kPA+kPB=0 . 26 、定比点差法:
1. 定比分点:
若 AM=λMB ,则称点 M 为点 A、B 的 λ 定比分点.
(1) 当 λ>0 时,点 M 在线段 AB 上,称为内分点;
(2)当 λ<0λ≠−1 时,点 M 在线段 AB 的延长线或反向延长线上,称为外分点.
(3)补充定义: 当 λ=−1 时,对应的定比分点可以认为是无穷远的点. 已知点 Ax1,y1,Bx2,y2,AM=λMB ,则 OM=OA+λOB1+λ ,即 Mx1+λx21+λ,y1+λy21+λ . 3. 点差法 (有心圆锥曲线)
若点 Ax1,y1,Bx2,y2 均在有心圆锥曲线 x2a2±y2b2=1 上,分别代入点的坐标,然后作差可得:
x12a2±y12b2=1x22a2±y22b2=1⇒x1+x2x1−x2a2±y1+y2y1−y2b2=0.
4. 定比点差法
(1) 若点 Ax1,y1,Bx2,y2 均在有心圆锥曲线 x2a2±y2b2=1 上,分别代入点的坐标,此时,变形其 中的一个式子,两边同时乘以 λ2 ,作差可得:
x12a2±y12b2=1λ2x22a2±λ2y22b2=λ2⇒x1+λx2x1−λx2a2±y1+λy2y1−λy2b2=1−λ2.
为了和定比分点的坐标公式的形式保持一致,将右边的 1−λ2 ,拆成 1+λ1−λ ,并移到左边, 同时进一步组织变形可得:
x1+λx21+λ⋅x1−λx21−λa2±y1+λy21+λ⋅y1−λy21−λb2=1.
(2) 对于抛物线 y2=2px ,变形方法类似,不过需要进行添项和减项:
y12=2px1λ2y22=2pλ2x2⇒y1+λy2y1−λy2=px1+λx2−λx1−λ2x2+x1−λx2+λx1−λ2x2,
=p1−λx1+λx2+1+λx1−λx2
此时,左右两边再同时除以 1+λ1−λ ,变形可得:
y1+λy21+λ⋅y1−λy21−λ=px1+λx21+λ+x1−λx21+λ.
注(1)对于抛物线的定比点差法, 实际上是逆推得到的, 猜想理由如下:
注意到 (1) 中的 x1+λx21+λ⋅x1−λx21−λa2±y1+λy21+λ⋅y1−λy21−λb2=1 和替换法则 xx0a2±yy0b2=1 是一致
的,因此,可以猜想: yy0=px+x0 和 y1+λy21+λ⋅y1−λy21−λ=px1+λx21+λ+x1−λx21+λ 也是一致的,经[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
验证, 这个猜想也是成立的!!
(2)也正是基于上述的一致性, 因此, 和极点极线有关的题目, 尤其是和定比分点或者和调和点列 有关的题目, 一般都可以尝试利用定比点差法进行处理!
(3)定比点差法是一种变形技巧, 没有超纲, 因此, 使用定比点差法解题, 不用担心被扣分!
定比点差法的一般变形公式
椭圆以椭圆 x2a2+y2b2=1 为例,设点 Ax1,y1、Bx2,y2 为椭圆上的点,且 AM=λMB,Mx0,y0 , 则:
由 AM=λMB 得: x0=x1+λx21+λy0=y1+λy21+λ ,即 λx2=x01+λ−x1λy2=y01+λ−y1 . (1),利用定比点差法得:
x12a2+y12b2=1λ2x22a2+λ2y22b2=λ2⇒x1+λx2x1−λx2a2+y1+λy2y1−λy2b2=1−λ2,
即 x0x1−λx2a2+y0y1−λy2b2=1−λ ,代入(1),消去 λx2、λy2 ,整理可得:
2x0x1a2+y0y1b2−1=x02a2+y02b2−1⋅1+λ⋯2,
如果消去 x1、x2 ,整理可得: 2x0x2a2+y0y2b2−1=x02a2+y02b2−1⋅1+1λ . [实际上,由于 BM= 1λMA ,结合(2),显然只需要将 x2、1λ 分别替换 x1、λ 即可得到该式. ]
至此, 我们得到一组对偶公式:
2x0x1a2+y0y1b2−1=x02a2+y02b2−1⋅1+λ2x0x2a2+y0y2b2−1=x02a2+y02b2−1⋅1+1λ.
(1) 记 φx,y=x2a2+y2b2−1,φx,y,x0,y0=xx0a2+yy0b2−1 ,则椭圆的对偶公式为:
2φx1,y1,x0,y0=φx0,y0⋅1+λ2φx2,y2,x0,y0=φx0,y0⋅1+1λ.
(1) 如果我们令 x0=0 或 y0=0 就可以得到定比点差法的轴上点公式,具体见后文; (2) 对于这三个式子: λx2=x01+λ−x1λy2=y01+λ−y12x0x1a2+y0y1b2−1=x02a2+y02b2−1⋅1+λ ,我们可以发现,点 Ax1,y1 、
Bx2,y2 的坐标都可以用只含有 x1 (或 y1 ) 的式子表示出来,这也为消参法求轨迹方程等问题提供 了可行性.
(3) 在前面的基础上,如果我们继续设点 Cx3,y5、Dx4,y4 为椭圆上的点,且 CM=μMD ,则有
2x0x3a2+y0y3b2−1=x02a2+y02b2−1⋅1+μ⋯3,
由(2) -(3)得: 2x0x1−x3a2+y0y1−y3b2=x02a2+y02b2−1⋅λ−μ ,
如果 λ=μ ,则 AC//BD ,且 x0x1−x3a2+y0y1−y3b2=0 ,即 y1−y3x1−x3⋅y0x0=−b2a2 ,联想到中点点差 法,显然,直线 AC 与以点 M 为中点的中点弦平行; 反之,也是成立的!
更多相关内容, 可参见后面的极点极线章节之椭圆的平行弦模型.
抛物线在上面椭圆的基础上,我们也可以大胆猜测,对于抛物线 y2=2px ,设点 Ax1,y1、Bx2,y2 为抛物线上的点,且 AM=λMB,Mx0,y0 ,则亦有对偶公式:
2y0y1−px0+x1=y02−2px0⋅1+λ2y0y2−px0+x2=y02−2px0⋅1+1λ,
经验证, 上式也是成立的, 因此, 此对偶公式也可以推广到一般形式的二次曲线. 5. 极点极线 vs 调和点列
此处以椭圆为例进行说明, 双曲线和抛物线类似处理.
例过异于原点的点 Px0,y0 引椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的割线 PAB ,其中点 A、B 在椭圆上, Q 是割线 PAB 上的一点,证明: P、Q 调和分割 A、B 的充要条件是点 Q 在定直线 xx0a2+yy0b2=1 上.
分析此处的必要性选用定比点差法进行证明,而充分性是构造关于定比 λ 的二次方程 + 韦达定 理进行证明. 实际上,必要性也可以利用构造关于定比 λ 的二次方程 + 韦达定理进行证明.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
此外, 对于 “充分性” 和 “必要性”, 不要搞混了!!
先证明必要性: 即如果 P、Q 调和分割 A、B ,则点 Q 在定直线 xx0a2+yy0b2=1 上.
易知 P、Q 调和分割 A、B 等价于条件: AP=λPB,AQ=−λQB ,易知 λ≠±1 ,显然,可以利用定 比点差法轻松证明.
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 x0=x1+λx21+λy0=y1+λy21+λ⋯(1),xQ=x1−λx21−λyQ=y1−λy21−λ⋯(2)
由 x12a2+y12b2=1λ2x22a2+λ2y22b2=1⇒x1+λx2x1−λx2a2+y1+λy2y1−λy2b2=1−λ2 ,两边同时除以 1−λ2 ,
可得: x1+λx21+λ⋅x1−λx21−λa2+y1+λy21+λ⋅y1−λy21−λb2=1⋯ (3),
将(1)(2)代入(3),可得 x0⋅xQa2+y0⋅yQb2=1 ,故点 Q 在定直线 xx0a2+yy0b2=1 上.
再证明充分性: 即如果点 Q 在定直线 xx0a2+yy0b2=1 上,则 P、Q 调和分割 A、B ,即证明 AP=λPBAQ=−λQBλ≠±1 成立.
注意到调和点列的共轭性,即 “若 P、Q 调和分割 A、B ,则亦有 A、B 调和分割 P、Q′′ ,同时,为了 利用直线的定比分点式方程 (也就是为了构造关于 λ 的二次方程),故转化证明:
AP=λPBAQ=−λQB⇔PA=λ1AQPB=λ2BQ 满足 λ1+λ2=0 ,其中 λ1、λ2≠±1 .
设 Ax1,yh,Bx2,y2,Qx3,y3 ,则 x3x0a2+y3y0b2=1 ,即 b2x0x3+a2y0y3−a2b2=0 ;
PA=λ1AQ⇒x1=x0+λ1x31+λ1y1=y0+λ1y31+λ1⋯(1),PB=λ2BQ⇒x2=x0+λ2x31+λ2y2=y0+λ2y31+λ2⋯(2)
将(1)代入椭圆方程: b2x32+a2y52−a2b2λ12+2b2x0x3+a2y6y6−a2b2λ1+b2x02+a2y62−a2b2=0 .
同理,将(得(2)代入椭圆方程: b2x32+a2y32λ22+2b2x0x3+a2y0y5−a2b2λ2+b2x02+a2y02−a2b2= 因此, λ1、λ2 是关于 λ 的二次方程
b2x32+a2y32−a2b2λ2+2b2x0x3+a2y0y3−a2b2λ+b2x02+a2y02−a2b2=0
的两个根,故 λ1+λ2=2b2x0x3+a2y4y3−a2b2b2x32+a2y32−a2b2=0 . [显然,必要性也可以利用这个式子说明!!!
因此, PAAQ=PBBQ ,即 PAPB=AQBQ ,即 APPB=AQQB ,即 AP=λPBAQ=−λQB 得证.
27 、圆锥曲线统一的极坐标方程
圆锥曲线的统一定义与一个定点 (焦点) 的距离和一条定直线 (准线) 的距离的比等于常数 e( 离心率) 的点的轨迹.
圆锥曲线的统一极坐标方程如图所示, 以椭圆的左焦点 (双曲线的右焦点、抛物线的焦点) 为极 点,过点 F 作相应准线 l 的垂线,垂足为 H ,设 HF=p ,并以 FH 的反向延长线为极轴建立极坐 标系.
设圆锥曲线的点为 Pρ,θ ,点 P 在准线 l 上的投影为点 P′ ,则 PP′=HF+PFcsθ ,
故 e=PFPP′=PFHF+PFcsθ=ρp+ρcsθ ,可得 ρ=ep1−ecsθ ,此即为圆锥曲线的统一极 坐标方程.
相关说明 (1) p 的几何意义焦点到对应准线的距离,即焦准距,对于椭圆和双曲线, p=b2c ,抛物 线相同!
(2) e 是离心率当 01 时,方程表示双曲线; 当 e=1 时,方程表示 抛物线.
(3) 统一极坐标方程对应的极点和极轴方向(1)焦点都在 x 轴上, 椭圆是以左焦点为极点抛物线是以右焦点为极点双曲线是为极点 ,极 轴方向与 x 轴正方向同向; (2)焦点在 y 轴上类似.
注从图像上看,统一开口朝着 x 轴或 y 轴的正方向! θ 是焦半径到 x 轴或 y 轴的正方向的角 (4) 当然, 对于椭圆和双曲线, 也可以选择另一个焦点作为极点, 但是, 此时的极坐标方程会有变[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
化! 譬如,以椭圆为例,以右焦点为极点,极轴方向与 x 轴正方向同向,此时极坐标方程:
ρ=ep1+ecsθ.
分析如图,如果极轴方向与 x 轴反方向同向,则极坐标方程和上面的类似,应该是 ρ= ep1−ecsα ,但是,此时的极轴方向与 x 轴正方向同向,故 ρ=ep1−ecsπ−θ=ep1+ecsθ .
因此, 一定要注意把握极坐标的实质, 不要被选取的焦点所迷惑, 注意极角方向始终和圆锥曲线 的开口方向一致,不要被 x、y 轴的正方向所干扰.
(5) 圆锥曲线的极坐标方程, 也可以理解为焦半径的倾斜角公式!
(5) 请思考如果焦点在 y 轴,以焦点为极点, x 轴的正方向为极轴的正方向,此时又是如何?
分析和上面的分析类似,把角度进行相应的替换即可,譬如,以椭圆为例,(1)若焦点在 y 轴的负半 轴, 则
ρ=ep1−ecsα=ep1−ecsθ−π2=ep1−esinθ;
(2) 若焦点在 y 轴的正半轴,则 ρ=ep1+esinθ .
(5) 焦点在 x 轴上的圆锥曲线的焦半径形式汇总
(1)椭圆的极坐标:
x2a2+y2b2=1a>b>0⇒ρ=ep1−ecsαP到左焦点的距离,即曲线开口朝正方向ρ=ep1+ecsαP到右焦点的距离,即曲线开口朝负方向
(2)双曲线的极坐标相对复杂一点, 但是, “右右”和“左左”和上面的规律是一致的.
x2a2−y2b2=1a>0,b>0
⇒ρ=ep1−ecsα曲线开口朝正方向ρ=ep1+ecsαρ=ep1−ecsα右右,即P在右支,到右焦点的距离ρ=−ep1−ecsα右左,即P在右支,到左焦点的距离ρ=ep1+ecsα左左,即P在左支,到右焦点的距离ρ=−ep1+ecsα左右,即P在左支,到右焦点的距离 (3)抛物线的极坐标 y2=2pxp>0⇒ρ=p1−csα . 28 、焦弦常数
焦弦常数设点 P 为椭圆或双曲线上任一点,过焦点 F1、F2 分别作弦 PA、PB ,设 PF1=λF1A,PF2 =μF2B ,连结 AF2、BF1 交于点 Q ,则:
(1) λ+μ=2a2+c2a2−c2=21+e21−e2 ;
(2) QF1+QF2=2aλ+μ−11+λ+μ ,即点 Q 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆.
证明 (1) 1PF1+1AF1=2ep⇒1+λ=2ep⋅PF11PF2+1BF1=2ep⇒1+μ=2ep⋅PF2⇒2+λ+μ=2ep×2a⇒λ+μ=21+e21−e2 .
(2) 如图,作 CF2//BF1 交 PA 于点 C ,则 PF1F1A⋅AQQF2⋅F2BBP=PF1F1A⋅AF1F1C⋅F1CPF1=1( 实际上,就是 对 △PAF2 和割线 BQF1 利用梅氏定理),即:
λ⋅2a−AF1−QF2QF2⋅11+μ=1,解得QF2=λ2a−AF11+λ+μ.
同理可得: QF1=μ2a−BF21+λ+μ ,故
QF1+QF2=2aλ+μ−λAF1+μBF21+λ+μ=2aλ+μ−PF1+PF21+λ+μ=2aλ+μ−11+λ+μ .
推广如果将焦点 F1、F2 换成 M1−m,0、M2m,0 ,则 λ+μ=2a2+m2a2−m2 .
证明对 PM1=λM1APM2=μM2A ,利用定比点差法易得: 2xp=−m−a2m+−m+a2mλ2xp=m+a2m+m−a2mμ ,后略.
28 、焦点弦的弦长公式:
焦点弦的弦长公式:
(1) 对于椭圆, AB=ep1−ecsθ+ep1−ecsπ+θ=2ep1−e2cs2θ .
(2) 对于双曲线, 分成两种情况:
(1)若 A、B 在双曲线同一支上, AB=ep1−ecsθ+ep1−ecsπ+θ=2ep1−e2cs2θ ;[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
(2) 若 A、B 在双曲线不同支上, AB=−ep1+ecsθ−ep1−ecsθ=−2ep1−e2cs2θ .
(3) 对于抛物线, AB=p1−csθ+p1−csπ+θ=2psin2θ .
29 、题型: AF=λFB
性质已知圆雉曲线 ψ 的离心率为 e ,过焦点 F 的弦 AB 与 ψ 的焦点所在的轴的夹角为 θ ,且 AF= λFB ,则有:
(1) 当焦点 F 内分弦 AB 时,有 e⋅csθ=1−λ1+λ ;
设直线 AB 的斜率为 k ,则有:
(1) e1+k2=1−λ1+λ (焦点 F 在 x 轴); (2) e1+1k2=1−λ1+λ (焦点 F 在 y 轴).
(2) 当焦点 F 外分弦 AB 时 (此时曲线为双曲线),有 e⋅csθ=1+λ1−λ ,即 e1+k2=1+λ1−λ . 设直线 AB 的斜率为 k ,则有:
(1) e1+k2=1+λ1−λ (焦点 F 在 x 轴); (2) e1+1k2=1+λ1−λ (焦点 F 在 y 轴).
证明 AF=λFB⇔AF=λFB (内分) 或 AF=−λFB (外分),利用极坐标方程即可轻松证 明, 具体过程略.
注(1)注意到 θ 是夹角,不是直线的倾斜角!
(2)对于双曲线,要先判断弦 AB 和双曲线的位置关系,是交于单支还是双支;
(3)上面的公式可能很多,但是,考试中,一般都是焦点在 x 轴的情况,且内分,因此,可以熟记公式
e⋅csθ=e1+k2=1−λ1+λ,
而且分母的结构类似, 便于记忆. 至于其他的公式, 可以在此公式的基础上,进行相应的修改即 可.
(4)如果可以预先知道 λ 和 1 的大小关系,可以先去掉公式中的绝对值符号.
(5)当然了, 如果记不住上面的公式, 那就老老实实利用极坐标公式求解!! ! 个人并不推荐记忆这些公式!!
30 、原点为极点的极坐标系:
在直角坐标系中,如果以原点为极点,极轴与 x 轴的正方向同向,建立极坐标系,根据极坐标和直 角坐标系的转换关系: x=ρcsθy=ρsinθ ,可得圆雉曲线在两个坐标系下的对应方程形式如下:
椭圆: x2a2+y2b2=1⇔1ρ2=cs2θa2+sin2θb2 ;
双曲线: x2a2−y2b2=1⇔1ρ2=cs2θa2−sin2θb2 ;
抛物线: y2=2px⇔ρ=2pcsθsin2θ .
此时, ρ 的几何意义是: 圆锥曲线的上的点到原点的距离.
原点极坐标系的使用说明: 特征条件,夹角是 π2 .
注原点极坐标系和三角函数的的定义是相通的, 因此, 解题时, 也可以直接以三角函数定义的形 式书写, 具体参考例题.
31 、直线参数方程基础知识
1. 直线参数方程的标准式
过点 P0x0,y0 ,倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程是: x=x0+tcsα,y=y0+tsinα ( t 为参数). 其中,直线 l 的方 向向量为 csα,sinα ,斜率为 tanα,α 为倾斜角,且 0≤α<π .
(1) 设 Px,y 为直线上任意一点,参数 t 的几何意义是从点 P0 到点 P 的位移,可以用有向线段 P0P 的数量,即有向距离来表示:
(1)数量上有: P0P=t ;
(2)方向上有: 当点 P 在点 P0 的上方时, t>0 ; 当点 P 在点 P0 的下方时, t<0 ; 当点 P 和点 P0 重合 时, t=0 .
(2) 若 P1、P2 为直线 l 上的任意两点,且对应的参数的值分别为 t1、t2 ,则
P1P2=t2−t1,P1P2=t2−t1.
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
[说明: P1P2=t2−t1 可类比向量坐标的运算理解; P1P2=t2−t1⇔ 弦长公式. ]
(3) 若 P1、P2、P3 是直线上的点,所对应的参数分别为 t1、t2、t3 ,则 P1P2 中点 P3 的参数为 t3= t1+t22 ,即 P0P3=t1+t22 . [利用(2)易得: P1P3=t3−t1=P3P2=t2−t3 ]
(4) 若 P0 为 P1P2 的中点,则 t1+t2=0,t1⋅t2<0 . [注意区分 (3) (4) 这两种情况!]
(5) 直线 l 上的点与对应的参数 t 是不是一对应关系?
我们把直线 l 看作是实数轴,以直线 l 向上的方向为正方向,以定点 P0 为原点,以原坐标系的单位 长为单位长,这样参数 t 便和这条实数轴上的点 P 建立了一一对应关系.
2. 直线参数方程的一般式
过点 P0x0,y0 ,斜率为 k=ba 的直线的参数方程是: x=x0+at,y=y0+bt ( t 为参数).
其中,直线的方向向量为 a,b,aa2+b2,ba2+b2 (方向向量的单位向量); PP0=a2+b2 . t ; 点 P1、P2 对应的参数分别为 t1、t2 ,则 P1P2=a2+b2⋅t2−t1 .
3. 直线参数方程的标准式 vs 一般式
(1) 参数 t 的含义不同一般式 x=x0+aty=y0+bt 中的参数 t 是不具有标准式 x=x0+tcsαy=y0+tsinα 中参数 t 的 几何意义,只有将一般式化为 x=x0+aa2+b2ty=y0+ba2+b2t ,此时的参数 t 才具有几何意义!
(2) 距离 (弦长) 公式的区别正是因为参数 t 的含义不同,也造成了距离公式的不同! 设点 P1、P2 对应的参数的值分别为 t1、t2 ,则有:
(1) 如果用的标准式,则 P1P2=t2−t1=t1+t22−2t1t2 ;
(2) 如果用的一般式,则 P1P2=a2+b2⋅t2−t1=a2+b2t1+t22−2t1t2 .
这对于初学直线参数方程的人来说, 是一个很常见的易错点, 因此, 在解题之时,一定要先看清题 目所给出的直线参数方程的形式, 然后再选取相应的距离公式进行求解! 分析很多时候,直线方程要和曲线方程联立,而参数式方程中的 csα,sinα 往往是分数,甚至是 含有根号的式子, 一旦联立, 势必整理化简和运算比较鸡肋耗时间!!! 但是, 使用一般式方程就没 有上述弊端,因为 a、b 可以尽量化成整数使用,故一般式的实战性更强!! 可参考例题理解.
但是,也不是绝对的,有时为了避免讨论斜率,还是用含有 csα、sinα 的直线参数方程比较好,一 步到位. 此外, 最关键的一点, 如果用了一般式, 一定不要用错距离公式! ! 4. 直线参数方程的适用题型和联立使用技巧
一般情况下,如果涉及到与定点 P0 有关的线段的长度关系时,则用参数法较为简单.
过定点 P0x0,y0 ,且倾斜角为 α 的直线 l 的标准参数方程为: x=x0+tcsα,y=y0+tsinα(t 为参数 )⋯ (1), 曲线 C 的方程为: Fx,y=0⋯ (2),它们相交于 A、B 两点.
把 (1) 代入 (2),整理得 at2+bt+c=0 ,设 A、B 两点对应的参数的值分别为 t1、t2 ,则: Δ>0t1+t2=−bat1t2=ca; 弦长 AB=t1−t2=Δa;P0A⋅P0B=t1t2;P0A+P0B=t1+t2 . 此外,设线段 AB 的中点为 M ,则 M 对应的参数的值为 t1+t22 ,亦即 P0M=t1+t22 . 注如果是选择直线的一般式方程 x=x0+at,y=y0+bt ( t 为参数) 进行联立,则只须在上述距离的前面乘 以 a2+b2 即可.
32 、三角形和四边形的坐标面积公式:
三角形在 △ABC 中,已知 AB=x1,y1,AC=x2,y2 ,则 △ABC 的坐标面积公式为
S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=12AB2AC2−AB⋅AC2=12x1y2−x2y1.
四边形在四边形 ABCD 中, AC 和 BD 是对角线,且 AC=x1,y1,BD=x2,y2 ,则四边形的面积 为
SABCD=12AC⋅BD⋅sinθ=12AC2BD2−AC⋅BD2=12x1y2−x2y1,
其中 θ 为 AC 与 BD 的夹角.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&33: (2020 年高考数学课标 I 卷 ) 已知 A、B 分别为椭圆 E:x2a2+y2=1a>1 的 左、右顶点, 例&34: (2021. 全国乙卷) 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点 F 到准线的距离为 2 . G 为 E 的上顶点, AG⋅GB=8,P 为直线 x=6 上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 (1) 求 C 的方程;
E 的另一交点为 D . (2) 已知 O 为坐标原点,点 P 在 C 上,点 Q 满足 PQ=9QF ,求直线 OQ 斜率的最大值.
(1) 求 E 的方程;
(2) 证明: 直线 CD 过定点.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&35: (2020 年北京卷 20) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 过点 A−2,−1 ,且 a=2b .
(I) 求椭圆 C 的方程:
(II) 过点 B−4,0 的直线 l 交椭圆 C 于点 M,N ,直线 MA,NA 分别交直线 x=−4 于点 P
, Q . 求 PBBQ 的值. 例&36: (2021 年高考全国乙卷理科) 已知抛物线 C:x2=2pyp>0 的焦点为 F ,且 F 与圆 M:x2
+y+42=1 上点的距离的最小值为 4 .
(1) 求 p ;
(2) 若点 P 在 M 上, PA,PB 是 C 的两条切线, A,B 是切点,求 △PAB 面积的最大值.
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例37: (2021. 全国甲卷) 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O . 焦点在 x 轴上,直线 l:x=1 交 C 于 P , Q 两点,且 OP⊥OQ . 已知点 M2,0 ,且 ⊙M 与 l 相切.
(1) 求 C,⊙M 的方程;
(2) 设 A1,A2,A3 是 C 上的三个点,直线 A1A2,A1A3 均与 ⊙M 相切. 判断直线 A2A3 与 ⊙M 的 位置关系, 并说明理由.
例&38: (2021 新高考 1 卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F1−17,0、F217,0,MF1− MF2=2 ,点 M 的轨迹为 C .
(1) 求 C 的方程;
(2) 设点 T 在直线 x=12 上,过 T 的两条直线分别交 C 于 A、B 两点和 P,Q 两点,且 TA⋅ TB=TP⋅TQ ,求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&39: (2021 ⋅ 新高考 II ) 已知椭圆 C 的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0 ,右焦点为 F2,0 ,且高 心率为 63 .
(I) 求椭圆 C 的方程;
(II) 设 M,N 是椭圆 C 上的两点,直线 MN 与曲线 x2+y2=b2x>0 相切. 证明: M,N,F 三点共线的充要条件是 MN=3 . 例&40: (2019. 新课标 III ) 已知曲线 C:y=x22,D 为直线 y=−12 上的动点,过 D 作 C 的两条切 线,切点分别为 A,B .
(1) 证明: 直线 AB 过定点。;
(2) 若以 E0,52 为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求四边形 ADBE 的面积.[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&41: (2017 年高考数学新课标 I 卷) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 ,四点 P11,1,P20,1 ,P3−1,32,P41,32 中恰有三点在椭圆 C 上.
(1) 求 C 的方程;
(2) 设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 -1, 证明: l 过定点.
例&42: (2019 年高考数学课标全国 II 卷) 已知点 A−2,0,B2,0 ,动点 Mx,y 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 −12 . 记 M 的轨迹为曲线 C .
(1) 求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线;
(2) 过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点,点 P 在第一象限, PE⊥x 轴,垂足为 E ,连结 QE 并 延长交 C 于点 G .
(i) 证明: △POG 是直角三角形; (ii) 求 △POG 面积的最大值.
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
一般地,求函数 y=fx 在区间 [a,b] 上的最大值和最小值的步骤如下:
(1) 求函数 y=fx 在区间 a,b 上的极值;
(2) 将函数 y=fx 的各极值与端点处的函数值 fa,fb 比较,其中最大的一个是最大值,其中 最小的一个是最小值. 说明:
(1)可以学会使用的符号: (1) fxmax=max{fp,fq}=⋯,Qfxmin=min{fp,fq}=⋯ . (2)若函数 y=fx 在区间 a,b 上无极值点,则它必为单调函数;
(3)若函数 y=fx 在区间 a,b 上只有唯一极值点,则它必为最值点; 7、零点
函数 Fx=fx−gx 有零点或者方程 fx=gx 有解:
(1) (代数法) 根据极值正负,画图观察函数 Fx=fx−gx 图像与 X 轴交点情况;
(2) (几何法) 作图要准确。方程 fx=gx ,两个函数图像有交点。
零点定理: 设函数 fx 在闭区间 [a,b] 上连续,且 fa⋅fb<0 . 那么在开区间 a,b 内至少 有函数 fx 的一个零点,即至少有一点 ξa<ξ8、利用分离参数法来确定不等式 fx,λ≥0,x∈D,λ为实参数 恒成立中参数 λ 的取值范围的 基本步骤:
(1) 将参数与变量分离,即化为 gλ≥fx (或 gλ≤fx ) 恒成立的形式;
(2)求 fx 在 x∈D 上的最大 (或最小) 值;
(3)解不等式 gλ≥fxmax (或 gλ≤fxminmin ),得 λ 的取值范围.
9、利用函数性质求解恒成立问题, 常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。因含有参 数, 大多要分类讨论.
(1) ∀x∈D ,均有 fx>A 恒成立,则 fxmin>A ;
(2) ∀x∈D ,均有 fxgx 恒成立,则 Fx=fx−gx>0,∴Fxmin>0 ;
(4) ∀x∈D ,均有 fx(5) ∀x1∈D,∀x2∈E ,均有 fx1>gx2 恒成立,则 fxmin>gxmax ;
(6) ∀x1∈D,∀x2∈E ,均有 fx1对于参数不能单独放在一侧的, 即不能用分离参数法解决问题时, 可以利用函数图象来解:
利用数形结合解决恒成立问题, 应先构造函数, 作出符合已知条件的图形, 再考虑在给定区间上 函数与函数图象之间的关系, 得出答案或列出条件, 求出参数的范围.
1. 对于一次函数 fx=kx+b,x∈[m,n] 有:
fx>0 恒成立 ⇔fm>0fn>0,fx<0 恒成立 ⇔fm<0fn<0
2. 对于二次函数 fx=ax2+bx+ca≠0 ,
fx>0 在 x∈R 上恒成立 ⇔a>0 且 Δ<0;fx<0 在 x∈R 上恒成立 ⇔a<0 且 Δ<0 .
10、一阶导数 f′x 的正负说明原函数 fx 的增减性,二阶导数 f′′x 的正负说明一阶导数 f′x 的增减性.
11、函数凹凸性定义及性质:
设 fx 在区间 I 上连续,如果对 I 上任意两点 x1,x2 ,[琴生不等式]
(1) 凹函数: fx1+x22≤fx1+fx22⇔fx 在 I 上的图形是 (向上) 凹的 ⇔f′′x≥0 (即切 线的斜率递增).
(2) 凸函数: fx1+x22≥fx1+fx22⇔fx 在 I 上的图形是 (向上) 凸的 ⇔f′′x≤0 (即切 线的斜率递减).
12、切线型不等式:
过函数 y=fx 图象上一点 x0,y0 作切线: y−y0=f′x0x−x0 ,即 y=f′x0x−x0+y0 , 则在切点 x0 附近的一侧或两侧: f′x0x−x0+y0≥fx . (或 f′x0x−x0+y0≤fx .[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
许多函数型不等式都符合这个模型, 也可利用这个模型构造函数型不等式, 为解题服务.
如: (1) sinx0 .
(3) ex≥x+1; (4) xx+1≤ln1+x≤xx>−1 . [不等式(4)比较重要.]
[切线型不等式, 最值型不等式, 极值型不等式, 单调型不等式等函数型不等式, 常为数列求和型 不等式服务. 在切点、最值点、极值点附近放缩, 放缩幅度比较适宜.]
13 、三次函数及其性质:
形如 fx=ax3+bx2+cx+da≠0 的函数叫做三次函数,其中 x 是自变量, a,b,c,d 是常数。它 具有以下性质:
性质一: 定义域为 R . 性质二: 值域为 R ,函数在整个定义域上没有最大值、最小值.
性质三: 单调性和图象.
三次函数求导以后是二次函数, f′x=3ax2+2bx+c ,它的零点个数决定了三次函数的极值情 况与单调区间, 三次函数及其对应的导函数全部共六种图像:
当 a>0 时,先看二次函数 f′x=3ax2+2bx+c,Δ=4b2−12ac=4b2−3ac
(1) 当 Δ=4b2−12ac=4b2−3ac>0 ,即 b2−3ac>0 时, f′x 与 x 轴有两个交点 x1,x2,fx 形 成三个单点区间和两个极值点 x1,x2 ,图像如图 1,2 .
(2) 当 Δ=4b2−12ac=4b2−3ac=0 ,即 b2−3ac=0 时, f′x 与 x 轴有两个等根 x1,x2,fx 没 有极值点图像如图 3,4 . 高中数学解答题常考公式及答题模板
(3) 当 Δ=4b2−12ac=4b2−3ac<0 ,即 b2−3ac<0 时, f′x 与 x 轴没有交点, fx 没有极值 点, 图像如图 5,6 .
图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 图 6
当 a<0 时,同理先看二次函数 f′x=3ax2+2bx+c,..Δ=4b2−12ac=4b2−3ac
(1) 当 Δ=4b2−12ac=4b2−3ac>0 ,即 b2−3ac>0 时, f′x 与 x 轴有两个交点 x1,x2,fx 形 成三个单点区间和两个极值点 x1,x2 .
(2) 当 Δ=4b2−12ac=4b2−3ac=0 ,即 b2−3ac=0 时, f′x 与 x 轴有两个等根 x1,x2,fx 没 有极值点.
(3) 当 Δ=4b2−12ac=4b2−3ac<0 ,即 b2−3ac<0,f′x 与 x 轴没有交点 fx 没有极值点.
性质四: 三次方程 fx=0 的实根个数
对于三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da、b、c、d∈R且a≠0 ,其导数为 f′x=3ax2+2bx+c 当 b2−3ac>0 ,其导数 f′x=0 有两个解 x1,x2 ,原方程有两个极值 x1,x2=−b±b2−3ac3a . (1) 当 fx1⋅fx2>0 ,原方程有且只有一个实根,图像如图 13,14.
(2) 当 fx1⋅fx2=0 ,则方程有 2 个实根,图像如图 15,16.
(3) 当 fx1⋅fx2<0 ,则方程有三个实根,图像如图 17.
图 13
图 14
图 15
图 16
图 17
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
性质五: 奇偶性
对于三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da、b、c、d∈R且a≠0 .
(1) fx 不可能为偶函数; (2) 当且仅当 b=d=0 时是奇函数.
性质六: 对称性
(1) 结论一: 三次函数是中心对称曲线,且对称中心是 −b3a,f−b3a ;
证 1 : fx=ax3+bx2+cx+d=ax+b3a3+c−b23ax+b3a+f−b3a
易知 gx=ax3+c−b23ax 是奇函数,图象关于原点对称, fx 关于点 −b3a,f−b3a 对称. f′x=3ax2+2bx+c,∵a>0 ∴ 当 x=−b3a 时, f′x 取得最小值,显然 y=f′x 图象关于 x =−b3a 对称.
证 2 : 设 y=fx 的图象关于点 m,n 对称,任取 y=fx 图象上点 Ax,y ,则 A 关于 m,n 的 对称点 A′2m−x,2n−y 在 y=fx 图象上 2n−y=a2m−x3+b2m−x2+c2m−x+d , ∴y=ax3−6ma+bx2+12m2a+4mb+cx−8m3a+4m2b+2mc+d−2m
∴b=−6ma−bc=12m2a+4mb+cd=−8m2a+4m2b+2mb+d−2n⇒m=−b3an=f−b3a ,由上又可得以下结论:
(2) 结论二: 其导函数为 f′x=3ax2+2bx+c=0 对称轴为 x=−b3a ,所以对称中心的横坐标也 就是导函数的对称轴,可见, y=fx 图象的对称中心在导函数 y=f′x 的对称轴上,且又是两 个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点;
(3) 结论三: y=fx 是可导函数,若 y=fx 的图象关于点 m,n 对称,则 y=f′x 图象关于直 线 x=m 对称.
(4) 结论四: 若 y=fx 图象关于直线 x=m 对称,则 y=f′x 图象关于点 m,0 对称.
(5) 结论五: 奇函数的导数是偶函数, 偶函数的导数是奇函数, 周期函数的导数还是周期函数.
(6) 结论六: 已知三次函数 fx=ax3+bx2+cx+d 的对称中心横坐标为 x0 ,若 fx 存在两个极 值点 x1,x2 ,则有 fx1−fx2x1−x2=−a2x1−x22=23f′x0 .
性质七: 切割线性质
(1) 设 P 是 fx 上任意一点 (非对称中心),过点 P 作函数 fx 图象的一条割线 AB 与一条切线 PTP点不为切点,A,B,T 均在 fx 的图象上,则 T 点的横坐标平分 A、B 点的横坐标如图 18.
图 18
图 19
图 20
推论 1: 设 P 是 fx 上任意一点 (非对称中心),过点 P 作函数 fx 图象的两条切线 PM、PN 切 点分别为 M、P ,则 M 点的横坐标平分 P、N 的横坐标,如图 19.
推论 2 : 设 fx 的极大值为 M ,当成 fx=M 的两根为 x1,x2x11. 对称中心: −b3a,f−b3a ;
2. 极大值到对称中心距离为 Δx ,极小值到对称中心距离为 Δx ,极小值等值点到极大值距离为 Δx ,极大值等值点到极小值距离为 Δx;3 . 对称中心为极值与极值等值点的三等分点 (三次函数 性质七).
14 、同构:
1. 同构式问题中通常构造亲戚函数 xex 与 xlnx ,常见模型有:
(1) ax>lgax⇒exlna>lnxlna⇒xlna⋅exlna>xlnx=lnx⋅elnx⇒xlna>lnx⇒a>e16 ;
(2) eλx>lnxλ⇒λeλx>lnx⇒λx⋅eλx>xlnx⇒λx⋅eλx>lnx⋅elnx⇒λx>lnx⇒λ>1e ;
(3) eax+ax>lnx+1+x+1=elnx+1+lnx+1⇒ax>lnx+1[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
2. 构法特点: 观察式子结构的特征, 结合 “变脸”、“改头换面” (也即指对互化), 构法通常有:
(1) 乘法同构,即乘 x 同构,如 lna⋅exlna>lnx⇔xlna⋅exlna>lnx⋅elnx ;
(2) 加法同构,即加 x 同构,
如ax>lgax⇔ax+x>lgax+x=algax+lgax,
再比如 eλx>lnxλ⇒eλx+x>lnxλ+x=eλ⋅lnxλ+lnxλ .
(3) 两种构法的区别:
(1)乘法同构,对变形要求低,找亲戚函数 xex 与 xlnx 易实现,但构造的函数 xex 与 xlnx 均不是单 调函数;
(2)加法同构, 要求不等式两边互为反函数, 构造后的函数为单调函数, 可直接由函数不等式求参 数范围;
如 ax>lgax⇔ax+x>lgax+x 恒成立中, y=ax 与 y=lgax 互为反函数,只需 ax>x 即可.
3. 指、对互反中的反函数对称 –即关于 y=x 的对称.
如 ax>lgax 中, y=ax 与 y=lgax 互为反函数, ax>lgax⇔ax>xa>1 ,数形结合,直观高 效.
15 、巧用放缩法, 常用的放缩公式 (考试时需给出证明过程)
第一组: 对数放缩
(放缩成一次函数) lnx≤x−1,lnx−1,ln1x≥−x+1x>0
(放缩成双撒函数) lnx<12x−1xx>1,lnx>12x−1x0lnx1,lnx>x−1x0说明: 不等式 1−1x≤lnx≤x−1x>0 两端点的中值为 121−1x+x−1=12x−1x ,
进而得到 “取中” 不等式.
(放缩成二次函数) lnx≤x2−x,ln1+x≤x−12x2−12x−1x+1x>1,lnx<2x−1x+102x1+xx>0,ln1+x<2x1+xx<0 第二组: 指数放缩 (放缩成一次函数) ex≥x+1,e−x≥1−x,ex>x,ex≥ex , (放缩成类反比例函数) ex≤11−xx≤0,e−x≤1x+1x>−1,ex<−1xx<0 , (放缩成二次或三次函数) ex≥1+x+12x2x>0,ex≥1+x+12x2+16x3 , 第三组: 指对放缩 ex−lnx≥x+1−x−1=2 第四组: 三角函数放缩 sinx0,sinx≥x−12x2,1−12x2≤csx≤1−12sin2x . 第五组: 以直线 y=x−1 为切线的函数 y=lnx,y=ex−1−1,y=x2−x,y=1−1x,y=xlnx . 第六组: 以直线 y=x 为切线的函数 y=sinx,y=tanx . 第七组: 以直线 y=x+1 为切线的函数 y=ex,y=−1x−1 . 不等式链: 1−1x≤2x−1x+1≤lnx≤12x−1x≤x−1[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
16 、找点问题中常见函数模型之间的关系: 找点问题中的常见函数模型之间的关系
17、极值点偏移问题综述:
图一
图二
图三
概念明晰: 对于函数 y=fx,x0 为函数的一个极值点,在 x0 附近,任取 x1满足 fx1=fx2=aa=0时,x1,x2为函数零点
1. 极值点居中 (未偏): 如图一,若 x0=x1+x22 ,则称极值点居中 (未偏);
2. 极值点偏移: 若 x0≠x1+x22 ,则极值点偏移;
(1) 如图二,若 x0(2) 如图三,若 x0>x1+x22 ,则称极值点左偏;
处理方法 (双元化单元):
一般需证明 x1+x2><2x0 或 x1⋅x2>1. F′x=f′x+f′2x0−x><0 ,则 Fx 单调递增 (减);
2. Fx0=0 ,则 Fx1=fx1−f2x0−x1<>0 ,即 fx1<>f2x0−x1
3. fx2=fx1<>f2x0−x1 ,根据 fx 在 x0,+∞ 单调增 (减),则 x2<>2x0−x1
4. 得到结论: x1+x2<>2x0
方法二 (对称构造 2): Fx=fx0+x−fx0−x 或 Fx=fxx0−fx0x ,具体步骤如下:
1. F′x=f′x0+x+f′x0−x><0 ,则 Fx 单调递增 (减);
2. F0=0 ,则 Fx1−x0=fx1−f2x0−x1<>0 ,即 fx1<>f2x0−x1
3. fx2=fx1<>f2x0−x1 ,根据 fx 在 x0,+∞ 单调增 (减),则 x2<>2x0−x1
4. 得到结论: x1+x2<>2x0
方法三: (增量替换 1): t=x2−x1
方法四: (增量替换 2 ): t=x2x1
方法五: 对均不等式 (含有对数或指数时用): 对数均值定义 La,b=a−blna−lnba≠baa=b
对均不等式: a,b>0,ab≤a−blna−lnb≤a+b2 (当且仅当 a=b 取等号)
对均不等式证明 (齐次化):
先证 a−blna−lnb≤a+b2 : 不妨设 0即证 ab−1ab+1−lnab2>0 ,令 x=ab∈0,1,fx=x−1x+1−lnx2 ,
则 f′x=2x+12−12x=−x−122xx+12<0 ,则 fx>f1=0 ,则 a−blna−lnb≤a+b2 .
再证 ab即证 lnab−ab−1ab>0 ,令 x=ab∈0,1,fx=2lnx−x2−1x ,则 f′x=2x−x2+1x2=
−x−12x2<0,
则 fx>f1=0 ,则 ab0,ab≤a−blna−lnb≤a+b2 (当且仅 当 a=b 取等号)
18 、泰勒公式知识:
泰勒中值定理: 如果 fx 在含有 x0 的某个开区间 a,b 内具有 n+1 阶的导数,则对任一 x∈(a ,b),有
fx=fx0+f′x0x−x0+f′′x02!x−x02+⋯+fnx0n!x−x0n+Rnx ,此公式称为 n 阶泰 勒公式;
其中 Rnx=fn+1ξn+1!x−x0n+1 ( ξ 介于 x0 于 x 之间),称为拉格朗日型余项; 或 Rnx=[(x− x0)n ,称为皮亚诺型余项;
若 x0=0 ,则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式,
即 fx=f0+f′0x+f′′02!x2+⋯+fn0n!xn+0xn .
其中 Rnx=fn+1θxn+1!xn+10<θ<1 或 Rnx=xn 。
利用泰勒公式证明不等式: 若函数 fx 在含有 x0 的某区间有定义,并且有直到 n−1 阶的各阶 导数,又在点 x0 处有 n 阶的导数 fnx0 ,则有公式
fx=fx0+f′x01!x−x0+f′′x02!x−x02+⋯+fnx0n!x−x0n+Rnx
在上述公式中若 Rnx≤0 (或 Rnx≥0 ),则可得
fx≥fx0+f′x01!x−x0+f′′x02!x−x02+⋯+fnx0n!x−x0n
或 fx≤fx0+f′x01!x−x0+f′′x02!x−x02+⋯+fnx0n!x−x0n 1. ex=1+x1!+x22!+x33!+⋯+xnn!+xn+1n+1!eθx ,其中 0<θ<1 ;
2. ln1+x=x−x22!+x33!−⋯+−1n−1xnn!+Rn ,其中 Rn=−1nxn+1n+1!11+θxn+1 ;
3. sinx=x−x33!+x55!−⋯+−1k−1x2k−12k−1!+Rn ,其中 Rn=−1kx2k+12k+1!csθx ;
4. csx=1−x22!+x44!−⋯+−1k−1x2k−22k−2!+Rn ,其中 Rn=−1kx2k2k!csθx ;
19、洛必达法则及其解法: 洛必达法则: 设函数 fx、gx 满足:
(1) limx→afx=limx→agx=0 ;
(2) 在 U∘a 内, f′x 和 g′x 都存在,且 g′x≠0 ;
(3) limx→af′xg′x=A ( A 可为实数,也可以是 ±∞ ). 则 limx→afxgx=limx→af′xg′x=A .
20 、拐点偏移问题综述
拐点的概念: 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数, 则二阶导数在拐点处异号或不存在。
若函数 fx 在 x=x0 处二阶导数为零,三阶导数不为零,则称 x=x0 是 1 函数 fx 的拐点。
如函数 fx=x3 ,其一二三阶导数分别为 f′x=3x2,f′′x=6x,f′′′x=6 ,则函数 fx=x3 在 x
=0 处的二阶导数存在,三阶导 k 数不为零, x=0 就是函数 fx=x3 的拐点; 在 x=0 的左侧, fx 是上凸函数,在 x=0 的右侧, fx 是下凹函数。
拐点偏移: 设 x=x0 是函数 fx 的拐点,若函数 fx 的图形与直线 y=fx0+m 和 y=fx0− m 分别交于 Ax1,fx0+h、Bx2,fx0−h 两点,则 AB 的中点为 Mx1+x22,fx0 ,称 x1+x22=x0 为拐点居中; x1+x22x0 为拐点右偏。[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&43: (2021. 全国 ) 设函数 fx=lna−x ,已知 x=0 是函数 y=xfx 的极值点.
(1) 求 a ;
(2) 设函数 gx=x+fxxfx . 证明: gx<1 . 例&44 : (2021 年浙江卷) 设 a,b 为实数,且 a>1 ,函数 fx=ax−bx+e2x∈R .
(1) 求函数 fx 的单调区间;
(2) 若对任意 b>2e2 ,函数 fx 有两个不同的零点,求 a 的取值范围;
(3) 当 a=e 时,证明: 对任意 b>e4 ,函数 fx 有两个不同的零点 x1,x2 ,满足 x2>blnb2e2x1+ e2b . (注: e=2.71828⋯ 是自然对数的底数)[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&45: (2021 年高考全国甲卷理科) 已知 a>0 且 a≠1 ,函数 fx=xaaxx>0 .
(1) 当 a=2 时,求 fx 的单调区间;
(2) 若曲线 y=fx 与直线 y=1 有且仅有两个交点,求 a 的取值范围. 例&46: (2021. 全国) 已知函数 fx=x1−lnx .
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 设 a,b 为两个不相等的正数,且 blna−alnb=a−b ,证明: 2<1a+1b例&47: (2020 年高考数学课标 III 卷理科 ) 设函数 fx=x3+bx+c ,曲线 y=fx 在点 12,f12 处的切线与 y 轴垂直.
(1) 求 b .
(2) 若 fx 有一个绝对值不大于 1 的零点,证明: fx 所有零点的绝对值都不大于 1 . 例&48: (2021 年高考全国乙卷理科) 设函数 fx=lna−x ,已知 x=0 是函数 y=xfx 的极值 点.
(1) 求 a ;
(2) 设函数 gx=x+fxxfx . 证明: gx<1 .[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&49: (2020 年高考数学课标 II 卷) 已知函数 fx=sin2xsin2x .
(1) 讨论 fx 在区间 0,π 的单调性;
(2) 证明: fx≤338 ;
(3) 设 n∈N* ,证明: sin2xsin22xsin24x⋯sin22nx≤3n4n . 例&50: (2018 年高考数学课标 III 卷) 已知函数 fx=2+x+ax2ln1+x−2x .
(1) 若 a=0 ,证明: 当 −10 时, fx>0 ;
(2) 若 x=0 是 fx 的极大值点,求 a .
[脚踏实地才能仰望星空, 不忘初心方能遇见更好的自己!]
例&51: (2020 年新高考山东卷数学). 已知函数 fx=aex−1−lnx+lna .
(1) 当 a=e 时,求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2) 若 fx≥1 ,求 a 的取值范围.
例&52: (2018 全国卷 1 理 21) 已知函数 fx=1x−x+alnx .
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 若 fx 存在两个极值点 x1,x2 ,证明: fx1−fx2x1−x2周期
奇偶性
对称中心
对称轴
性 质
y=Asinωx+ϕ
T=2πω
奇函数 ⇔φ=kπ . 偶函数 ⇔φ=kπ+π2
kπ−ϕω,0
x=kπ+π2−ϕ/ω
图
y=Acsωx+φ
T=2πω
奇函数 ⇔φ=kπ+π2 偶函数 ⇔φ=kπ
kπ+π2−ϕ/ω,0
x=kπ−ϕ/ω
y=Atanωx+φ
T=πω
奇函数 ⇔φ=kπ
kπ2,0
k∈Z
角 α 中边上任意一点 P 为 x,y ,设 OP=r 则: sina=yr,csα=xr,tanα=yx; y=Atanx 定义域: xx≠π2+kπ,k∈Z
图 象 变 变 选
平移
上下平移
y=fx 图象平移 k 得 y=fx+k 图象, k>0 向上, k<0 向下。
左右平移
y=fx 图象平移 φ 得 y=fx+φ 图象, φ>0 向左, φ<0 向右。
伸缩
x 轴方向
y=fx 图象各点把横坐标变为原来 w 倍得 y=f1wx 的图象。
y 轴方向
y=fx 图象各点纵坐标变为原来的 A 倍得 y=Afx 的图象。
对称
中心对称
y=fx 图象关于点 a,b 对称图象的解析式是 y=2b−f2a−x
轴对称
y=fx 图象关于直线 x=a 对称图象的解析式是 y=f2a−x 。
an+1>an
an+1−an>0
an+1an>1,an>0 或 an+1an<1,an<0
单调增数列
an+1an+1−an<0
an+1an<1,an>0 或 an+1an>1,an<0
单调减数列
an+1=an
an+1−an=0
an+1an=1
常数列
表 面 积
表面积
体积
棱柱
Se=Sw+2Sft
表面积 即空间 几何体 暴露在 外的所 有面的 面积之 和。
V=S底⋅h商
V佳=13S⋅h ↑S=S′ Vij=13S′+ S′S+Sh ↓S′=0 V注=13S⋅h
棱雉
Se=Se|+Sgt
V=13S成⋅h商
棱台
V=13S′+S′S+Sh
圆柱
S⊕=2πr2+2πrh
V=πr2h
圆锥
S±=πr2+πrl
V=13πr2h
圆台
S±=πr′2+r2+r′l+rl
V=13πr′2+r′r+r2h
球
Ssk=4πR2
V绿=43πR3
性质定理
平行 关 系
线面
判定定理:平面外的一条直线与此 平面内的一条直线平行,则该直线 与此平面平行. a⊄α,b⊂α,a//b⇒a//α
性质定理:一条直线与一个平面平行,则 过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行. a⊬α,a⊆β,α∩β=b⇒a//b
面面
判定定理: 一个平面内的两条相 交直线与另一个平面平行,则这两 个平面平行.
性质定理:如果两个平行平面同时和第三 个平面相交,那么它们的交线平行.
a⊂β,b⊂β,a∩b=Pa//α,b//α⇒β//α
α // β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a // b
棱 柱 概 念
概念
有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线互相平行,这样 的多面体叫棱柱。两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高
长方体
底面是矩形的直平行六面体是长方体;
正方体
棱长都相等的长方体叫正方体;
平行六面体
底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体;
直棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱;
侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;
底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱;
底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱;
{平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体};
棱 锥
概念
有一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形, 这样的多面体叫棱锥;
正棱 锥
如果一个棱锥底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样棱锥叫 正棱雉;
正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高( 叫侧高)也相等;
正棱锥的相对的棱互相垂直;
1)侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影为底面外心; (2)侧棱两两垂直 (两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心; (3)斜高长相等且顶点在底上在底面内 顶点在底上射影为底面内心.
正四面体全面积 S=3a2 ; 体积 V=212a3 ; 对棱间的距离正四面体内任一点到各面距离之和为 h=6 aa.外接球半径 R=64a ; 内切球 r=612ad=22a;
线
判定定理: 一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直,则该直线与此 平面垂直.
性质定理:垂直于同一个平面的两条直线 平行.
m⊂α,n⊂α,m∩n=P a⊥m,a⊥n
a⊥αb⊥α⇒a//b
垂 直 关 系
面
判定定理:一个平面过另一个平面的 垂线,则这两个平面垂直.
性质定理:两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
l⊥β,l⊂α⇒α⊥β
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
从 n 个不同元
按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
排列的定义
素中取出 m(m
元素的一个排列
组合的定义
≤n) 个元素
合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合
排列数
组合数
定 义
从 n 个不同元素中取出 m(m ≤n,m,n∈N′) 个元素的所 有不同排列的个数
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n,m,n∈ N*) 个元素的所有不同组合的个数
公 式
Amn=nn−1n−2⋯(n−
Cnm=AnmAmm
m+1)=n!n−m!
=nn−1n−2⋯n−m+1m!
性 质
Ann=n!,0!=1
Cn0=1,Cnm=Cnn−m,Cnm+Cnm−1=Cn+1m
二项式定理
a+bn=Cn0an+Cn1an−1b1+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbnn∈N*
二项展开式的通项公式
Tk+1=Cnkan−kbk, 它表示第 k+1 项
二项式系数
二项展开式中各项的系数 Cnkk∈{0,1,2,⋯,n}
随机 变量 及分 布列
概念
随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量,所有取值可以一一列出的 随机叫做离散型随机变量。
分布 列
离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格。
性质
1pi≥0i=1,2,⋯,n;2p1+p2+⋯+pn=1
事件 的独 立性
条件 概率
概念: 事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率, PB∣A=TADDAA 。
性质: 0≤PB∣A≤1 . B,C 互斥, PB∪C∣A=PB∣A+PC∣A .
独立 事件
事件 A 与事件 B 满足 PAB=PAPB ,事件 A 与事件 B 相互独立。
离 变 量 及
n 次 独立 重复 试验
F次试验中事件 A 发生的概率为 p ,在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好 发生 k 次的概率为 PX=k=Cnkpk1−pn−k,k=0,1,2,⋯,n 。
典型 分布
超几 何分 布
PX=k=CMkCN−Mn−kCNn,k=0,1,2,⋯,m , 其中 m=min{M,n} ,且 n≤N ,且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N* . “
二项 分布
分布列为: PX=k=Cnkpk1−pn−k,k=0,1,2,⋯,n,X∼Bn,p 。 数学期望 EX=np 、方差 DX=np1−pn=1时为两点分布]
正态 分布
φx=−1G−xe−2a2 图象称为正态密度曲线,随机变量 X 满足 P(a数字 特征
数学 期望
EX=x1p1+x2p2+⋯+xipi+⋯+xnpnEaX+b=aEX+b
方和 标准 差
方差: DX=i=1nxi−EX2pi ,标准差: σX=DXDaX+b=a2DX
9. 95
10. 12
9. 96
9. 96
10.01
9. 92
9. 98
10.04
10. 26
9. 91
10. 13
10. 02
9. 22
10. 04
10. 05
9. 95
A 地区
B 地区
4 5
6
7
8
9
满意度评分
低于 70 分
70 分到 89 分
不低于 90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
x
y
w
i=18xi−x2
i=18wi−w2
i=18xi−xyi−y
i=18wi−wyi−y
46.6
563
6.8
289. 8
1. 6
1469
108. 8
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
高中数学解答题常考公式及答题模板
专题六:导数
说是 fx0 函数 fx 的一个极大值。记作 yR, KR=fx0 ,如果对 x0 附近所有的点,都有 fx>f
1、概念: fx 在点 x0 处的导数 f′x0=limλ→∞Jx0+Δx−jx0Λ∞
x0 ,就说是 fx0 函数 fx 的一个极小值。记作 y2+1=fx0 。极大值和极小值统称为极值。
2、几何意义:
极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小
(1) “在”点 x1,y1 处的切线: i 斜率 =k=f′x1 ii 切线 y−y=f′x1x−x1
. 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小; 函数的极值点一定出现在区间的内部, 区
曲线 y=fx 在点 Px0fx0 处的切线的斜率是 f′x0 ,切线的方程是 y−y0=f′x0x−x0 .
间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区
(2) “过”点 x1,y1 在曲线上 y0=fx0 切线:
间的端点
i 设切点 x0,y0 ; ii 求切线方程; iii列方程组: 切点 x0,y0 在曲线上 y0=fx0 ; 切点在切线 y−y1
一般地,求函数 y=fx 的极值的方法是: 解方程 f′x=0 . 当 f′x0=0 时:
=f′x0x−x1 上; iv 解方程组,得 x0 ,求切线.
(1) 如果在 x0 附近的左侧 f′x0>0 ,右侧 f′x0<0 ,那么 fx0 是极大值; [左增右减]
3、基本公式:
(2) 如果在 x0 附近的左侧 f′x0<0 ,右侧 f′x0>0 ,那么 fx0 是极小值. [左减右增]
(1) C=0; (2) xn′=nxn−1 ; (3) sinx′=csx ; (4) csx′=−sinx ; (5) ax′=axlna ; (6)(c") =ex ; (7)
说明: (1) 若 fx 在 x=a 处取得极值 b ,则 fa=b 且 f′a=0 .
(2) 显然单调函数无极值;
4、函数的单调性:
(3) 设 p:f′x0=0,q:fx 在 x=x0 处取得极值,则 p 是 q 的必要不充分条件.
(1)若 f′x>0 ,则 fx 为增函数; 若 f′x<0 ,则 fx 为减函数;
利用导数研究函数极值的具体步骤 (熟练之后, 有些步骤可以简化):
若 f′x 的符号不确定，则 fx 不是单调函数。
第一步: 确定函数 fx 的定义域; 定义域为 R 时,可省略不写; 为求导方便,解析式可适当整理;
(2)若函数 y=fx 在区间 a,b 上单调递增,则 f′x≥0 ,反之等号不成立; 若函数 y=fx 在区
第二步: 求 f′x 并可适当整理; 尽量将 f′x 整理成 x−x1,x−x2,⋯,x−xn 之积商形式;
间 a,b 上单调递减,则 f′x≤0 ,反之等号不成立
第三步: 解出方程 f′x=0 在定义域内的所有实数根;
求函数的单调区间的具体步骤是:
第四步: 将函数 f′x,fx 变化情况标注在数轴上下; (数轴先标注出定义域及 f′x=0 的根)
(1)确定 fx 的定义域; (2)计算导数 f′x ; (3)求出 f′x=0 的根;
若 f′x=0 无偶次重根且 fx 无间断点,则在各区间上, f′x 的正负、 fx 的增减性交替出现!
(4)用 f′x=0 的根将 fx 的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 f′x 的符号,进
第五步: 确定 fx 的极值.
而确定 fx 的单调区间;
6 、最值:
5、极值: 函数的极值定义: 设函数 fx 在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近所有的点,都有 fx一般地,如果在区间 [a,b] 上的连续函数一定存在最大值和最小值,最大值和区间端点值和区间 内的极大值中的最大者, 最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者. 一
图像
a>0
a<0
Δ>0
Δ≤0
Δ>0
Δ≤0