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广东省深圳市深圳中学2024届高三下学期高考适应性测试数学试卷(无答案)
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这是一份广东省深圳市深圳中学2024届高三下学期高考适应性测试数学试卷(无答案)，共5页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，已知双曲线，已知，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，若，则的值为（ ）
A.，2B.C.，，2D.，2
2.若复数，则（ ）
A.0B.C.1D.2
3.已知不重合的平面，及不重合的直线，，则（ ）
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，，则D.若，，，则
4.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
5.一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，，4，5，6，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.设、、为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为，的方差，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.D.与的大小关系与，，的取值有关
7.已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（ ）
A.B.2C.D.3
8.已知，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A.事件与是互斥事件B.事件与是对立事件
C.事件与是互斥事件D事件与相互独立
10.正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面B.平面
C.异面直线与所成角为60°D.平面截正方体所得截面为等腰梯形
11.已知的内角，，的对边分别是，，，则（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，，成等比数列，则
D.若，，成等差数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为__________.（用数字作答）
13.若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”，记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为.则_________.
14.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为.则的值是_________；的数学期望是_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知椭圆的左焦点，点在椭圆上.经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：；
16.（15分）某食品公司研发一种新饮料，需要研究牛磺酸的含量（单位：mg）与某指标值（单位：m）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验、统计得到一组数据（），其中，分别表示第次试验中牛磺酸的含量和相应的指标值.且
，，，，.
（1）已知该组数据中与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程；
（2）该公司要用与两套设备同时生产该种新饮料，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产饮料的不合格率为0.009，设备生产饮料的不合格率为0.006，且设备与生产的饮料是否合格相互独立
（ⅰ）从该公司生产的饮料中随机抽取一件，求所抽饮料为不合格品的概率；
（ⅱ）在该新饮料检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备生产的概率.
参考公式：，.
17.（15分）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）证明：.
18.（17分）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为（图②）.
（1）求图②中液面所形成的椭圆的离心率并证明你的结论；
（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求角的最大值；
（3）现需要倒出的溶液体积不少于，当时，能实现要求吗？请说明理由.
19.（17分）根据代数基本定理，给定正整数，方程有个复数根，分别是，，这些根称为次单位根，此时有.当与互质时，称为次本原单位根.次本原单位根的另一个等价定义是，若，且不存在小于的正整数使得，则称复数为次本原单位根，给定正整数，我们定义级分圆多项式，其中，，…，是全部次本原单位根.
（1）写出，，，并化简.
（2）若是质数（或称素数），求出并化成最简形式.
（3）探究是否存在正整数，和使得对任意复数恒成立.
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，若，则的值为（ ）
A.，2B.C.，，2D.，2
2.若复数，则（ ）
A.0B.C.1D.2
3.已知不重合的平面，及不重合的直线，，则（ ）
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，，则D.若，，，则
4.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
5.一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，，4，5，6，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.设、、为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为，的方差，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.D.与的大小关系与，，的取值有关
7.已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（ ）
A.B.2C.D.3
8.已知，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A.事件与是互斥事件B.事件与是对立事件
C.事件与是互斥事件D事件与相互独立
10.正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面B.平面
C.异面直线与所成角为60°D.平面截正方体所得截面为等腰梯形
11.已知的内角，，的对边分别是，，，则（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，，成等比数列，则
D.若，，成等差数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为__________.（用数字作答）
13.若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”，记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为.则_________.
14.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为.则的值是_________；的数学期望是_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知椭圆的左焦点，点在椭圆上.经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：；
16.（15分）某食品公司研发一种新饮料，需要研究牛磺酸的含量（单位：mg）与某指标值（单位：m）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验、统计得到一组数据（），其中，分别表示第次试验中牛磺酸的含量和相应的指标值.且
，，，，.
（1）已知该组数据中与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程；
（2）该公司要用与两套设备同时生产该种新饮料，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产饮料的不合格率为0.009，设备生产饮料的不合格率为0.006，且设备与生产的饮料是否合格相互独立
（ⅰ）从该公司生产的饮料中随机抽取一件，求所抽饮料为不合格品的概率；
（ⅱ）在该新饮料检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备生产的概率.
参考公式：，.
17.（15分）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）证明：.
18.（17分）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为（图②）.
（1）求图②中液面所形成的椭圆的离心率并证明你的结论；
（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求角的最大值；
（3）现需要倒出的溶液体积不少于，当时，能实现要求吗？请说明理由.
19.（17分）根据代数基本定理，给定正整数，方程有个复数根，分别是，，这些根称为次单位根，此时有.当与互质时，称为次本原单位根.次本原单位根的另一个等价定义是，若，且不存在小于的正整数使得，则称复数为次本原单位根，给定正整数，我们定义级分圆多项式，其中，，…，是全部次本原单位根.
（1）写出，，，并化简.
（2）若是质数（或称素数），求出并化成最简形式.
（3）探究是否存在正整数，和使得对任意复数恒成立.
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