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    浙江省培优联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

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    浙江省培优联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

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    这是一份浙江省培优联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题,共9页。试卷主要包含了已知随机变量,且,则,在中,,,,则,已知,则,已知双曲线,下列函数是偶函数的是,设,则下列命题正确的是等内容,欢迎下载使用。
    浙江培优联盟研究院
    注意事项:
    1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.等差数列满足,公差为2,则( )
    A.96B.90C.84D.78
    3.已知,,是三条不重合的直线,,,是三个不重合的平面,则下列结论正确的是( )
    A.若,,则B.若,,,,则
    C.若,,则D.若,,则
    4.已知随机变量,且,则( )
    A.0.04B.0.48C.0.5D.0.96
    5.在中,,,,则( )
    A.B.C.D.
    6.已知生男孩和生女孩是等可能的,现随机选择一个有三个孩子的家庭,且该家庭有女孩,则三个小孩都是女孩的概率为( )
    A.B.C.D.
    7.已知,则( )
    A.B.C.D.
    8.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,点在的右支上,与的一条渐近线平行,交的另一条渐近线于点,若,则的离心率为( )
    A.B.C.2D.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.下列函数是偶函数的是( )
    A.B.
    C.D.
    10.设,则下列命题正确的是( )
    A.B.C.D.
    11.已知直线:与圆:相交于,两点,下列说法正确的是( )
    A.若圆关于直线对称,则
    B.的最小值为
    C.当时,对任意,曲线:恒过直线与圆的交点
    D.若,,,(为坐标原点)四点共圆,则
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.已知函数,则__________.
    13.已知,,均为平面单位向量,且两两夹角为120°,则__________.
    14.圆锥的底面半径为1,母线长为2,在圆锥体内部放入一个体积最大的球,该球的表面积为__________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(13分)
    某高校实行提前自主招生,老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答,至少答对3个才能通过初试,已知某学生能答对这6个试题中的4个.
    (1)求该学生能通过自主招生初试的概率;
    (2)若该学生答对的题数为,求的分布列以及数学期望.
    16.(15分)
    如图,在四棱锥中,平面,,,,.
    (1)证明:平面.
    (2)若为线段的中点,求平面与平面的夹角的余弦值.
    17.(15分)
    设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为.
    (1)当切线与直线垂直时,求实数的值;
    (2)当时,求的最大值.
    18.(17分)
    已知在椭圆:上,的左焦点在抛物线的准线上,为的左顶点,直线,分别与另交于,两点,直线,的斜率之积为.
    (1)求的方程;
    (2)求面积的最大值.
    19.(17分)
    已知的数列满足,,成公差为1的等差数列,且满足,,成公比为的等比数列;的数列满足,,成公比为的等比数列,且满足,,成公差为1的等差数列.
    (1)求,.
    (2)证明:当时,.
    (3)是否存在实数,使得对任意,?若存在,求出所有的;若不存在,请说明理由.
    浙江培优联盟2024年5月联考高二数学参考答案
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.13.214.
    完整解析:
    1.D【解析】集合,.
    2.C【解析】由题知数列是公差为2的等差数列,,.
    3.A【解析】对于A选项,由平行的传递性可知A选项成立;
    对于B选项,直线,不一定相交,故不成立;
    对于C选项,与相交时也有可能成立,故C错误;
    对于D选项,直线不一定在平面外,故不成立.
    4.D【解析】.
    5.C【解析】因为,,,所以.
    6.B【解析】用表示女孩,表示男孩,则样本空间.分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件和事件,则,,.
    7.D【解析】,.
    8.A【解析】令,由对称性,不妨设直线的方程为,
    由解得,,即点的坐标为,
    由为的中点,,得为的中点,则点的坐标为,
    代入双曲线的方程,有,解得,所以双曲线的离心率为.
    9.BCD【解析】只有选项B,C,D满足偶函数.
    10.ACD【解析】,直接计算即可.
    11.BC【解析】直线:过点,圆:,即,圆心为,半径.
    对于A选项,若圆关于直线对称,则直线过圆心,所以,故A错误.
    对于B选项,圆的圆心为,半径为4,圆心到直线的距离的最大值为,所以的最小值为,故B正确.
    对于C选项,当时,直线:,曲线:,即,就是过直线与圆的交点的曲线方程,故C正确.
    对于D选项,若,,,四点共圆,设此圆为圆,圆的圆心为,的中点为,所以的垂直平分线方程为:,所以,圆的方程为,整理得,直线是圆和圆的交线,所以直线的方程为,将点坐标代入上式得,解得,所以直线即直线的斜率为,所以,故D错误.
    12.【解析】.
    13.2【解析】.
    14.【解析】球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径,即半径为,所以球的表面积.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.解:(1)该学生通过自主招生初试的概率,
    (2)该学生答对题的数量的可能取值为2,3,4,则,,,
    所以的概率分布列为

    16.(1)证明:取的中点,连接,易知,
    ∴四边形为平行四边形,
    ∵,
    ∴四边形为矩形,
    ∵,∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵平面,平面,
    ∴,
    又,
    ∴平面.
    (2)解:以为坐标原点,分别以,,为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.,,,,,,.
    设平面的法向量为,
    则即取,
    平面的一个法向量,
    设平面与平面的夹角为,
    则,
    所以平面与平面的夹角的余弦值为.
    17.解:(1),.
    因为切线与直线垂直,,
    所以.
    (2),当时,,
    所以切线方程为.
    令得,令得,
    因为,所以.

    所以当时,,递增,
    当时,,递减,
    所以.
    18.解:(1)∵椭圆:过点,∴.
    ∵抛物线的准线方程为,∴,,
    ∴椭圆的标准方程为.
    (2)由题意可知,直线的斜率不为0,设,,直线的方程为,联立消去,得,
    所以,
    得,,
    则,,
    因为,所以,即,
    所以,
    即,解得或.
    因为当时,直线的方程为,则直线经过点,不符合题意,所以,满足,此时直线的方程为,所以直线过定点,记直线与轴的交点为,则点坐标为.
    当时,,,

    令,,则,所以在上单调递增,所以,
    当且仅当,即时,的面积取得最大值.
    19.(1)解:由题意得,,,,,,,.
    (2)证明:,,
    ∴,则,
    ∴是首项为,公比为的等比数列,∴.
    ∵,∴,即.
    注:本小题也可分别求出数列,的通项公式,再作差比较.
    (3)解:存在满足条件.
    当时,,显然不是减数列,∴.
    下证,当时,不能满足条件.
    ,,∴.
    由(2)得,,又,∴,从而.
    考虑子数列,,∵,,
    则,则,
    ∴是首项为,公比为的等比数列,
    ∴.
    若,则当时,,即,
    ∴不满足条件.
    综上,满足条件的只有1个,即.题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    选项
    D
    C
    A
    D
    C
    B
    D
    A
    题号
    9
    10
    11
    选项
    BCD
    ACD
    BC
    2
    3
    4

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