人教版九年级下册26.1.1 反比例函数随堂练习题

这是一份人教版九年级下册26.1.1 反比例函数随堂练习题，文件包含专题03反比例函数与一次函数的交点问题专项培优训练教师版docx、专题03反比例函数与一次函数的交点问题专项培优训练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
试卷说明：本套试卷结合人教版数学九年级下册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）（2023春•长春期中）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜2B．﹣2＜x＜0或x＞2
C．x＜﹣2或x＞2D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为﹣2．
观察函数图象，发现：
当x＜﹣2或0＜x＜2时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．
故选：A．
2．（2分）（2023秋•蒙城县月考）如图，直线x＝t与反比例函数y＝，y＝﹣的图象交于点A、B，直线y＝2t与反比例函数y＝，y＝﹣的图象交于C，D，其中常数t，k均大于0，点P，Q分别是x轴、y轴上任意点，设△PCD和△QAB的面积分别为S1，S2，则下列结论：①S1＝2t；②S2＝2k；③S1＝2S2；④S1＝S2；⑤S2＝2S1；⑥S1，S2均为定值．正确的有（ ）
A．②④⑥B．①②③C．④⑥D．⑤⑥
解：设AB与x轴的交点为M，CD与y轴的交点为N，连接OA、OB、OC、OD，
∵直线x＝t与反比例函数y＝，y＝﹣的图象交于点A、B，
∴AB∥y轴，
∴S2＝S△AOB，
∵S△AOB＝S△AOM+S△BOM，S△AOM＝k，S△BOM＝×3k＝k，
∴S2＝S△AOB＝+k＝2k，
同理证得S1＝S△COD＝2k，
∴S△PCD＝S△ABQ，
∴S1＝S2，
故选：A．
3．（2分）（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p﹣m与q﹣n的积为负数时，t的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1
解：∵y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴k1＝k2．
令k1＝k2＝k（k＞0），则y＝k1x＝kx，＝．
将点A（t，p）和点B（t+2，q）代入y＝kx，得；
将点C（t，m）和点D（t+2，n）代入y＝，得．
∴p﹣m＝kt﹣＝k（t﹣），q﹣n＝k（t+2）﹣＝k（t+2﹣），
∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣）（t+2﹣）＜0，
∴（t﹣）（t+2﹣）＜0．
∵（t﹣）（t+2﹣）＝•＝＜0，
∴＜0，
∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．
①当t＜﹣3时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＜﹣3不符合要求，应舍去．
②当﹣3＜t＜﹣2时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，
∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．
③当﹣2＜t＜0时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴﹣2＜t＜0不符合要求，应舍去．
④当0＜t＜1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，
∴0＜t＜1符合要求．
⑤当t＞1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＞1不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．
故选：D．
4．（2分）（2023•西山区二模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1），则当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
​
A．x＜﹣2或x＞1B．﹣2＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1
解：直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1），
由图象可知，当y1＞y2时，﹣2＜x＜0或x＞1；
故选：C．
5．（2分）（2023春•翠屏区期末）如图直线y＝kx+b与双曲线的交点A（2，3）、B（n，2），则△AOB的面积为（ ）
​
A．1.5B．2C．2.5D．3
解：因为点A在反比例函数图象上，
则m＝2×3＝6．
所以反比例函数表达式为．
又点B在反比例函数图象上，
则，得n＝3．
所以B（3，2）．
将A，B两点坐标代入y＝kx+b得，
，解得．
故一次函数表达式为y＝﹣x+5．
令一次函数与x轴的交点为C，
将y＝0代入y＝﹣x+5，得x＝5，
即C（5，0）．
所以．
．
故．
故选：C．
6．（2分）（2023春•偃师市校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，则k的值是（ ）
A．﹣2B．C．D．
解：分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为M，N，过点A作BN的垂线，垂足为F，
因为四边形AMNF为矩形，
所以FN＝AM，AF＝MN．
又A（﹣3，m），B（n，2），
BF＝2﹣m，
又AE＝2﹣m，
所以AE＝BF．
又∠AGE＝∠BGF，∠AEG＝∠BFG＝90°，
所以△AEG≌△BFG（AAS）．
所以AG＝BG，EG＝FG．
所以AG+GF＝BG+GE，
即BE＝AF．
又A，B两点在上，
所以k＝﹣3m＝2n．
则m＝．
所以BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2+，MN＝n+3．
即BE＝AF＝n+3．
又∠AEB＝90°，
所以∠AEM+∠BEN＝90°，
又∠AME＝∠BNE＝90°，
所以∠BEN+∠EBN＝90°，
所以∠AEM＝∠EBN，
则△AME∽△ENB．
所以＝，
所以ME＝．
在Rt△AME中，
m2+＝（2﹣m）2，
解得m＝．
所以k＝﹣3m＝．
故选：B．
7．（2分）（2023春•宁武县期中）如图所示，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，m+3）和CD上的点E，且OB﹣CE＝1，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣3），则OF的长为（ ）
A．4.5B．5C．5.4D．6
解：∵A（m，m+3），四边形ABCD是正方形，
∴OB＝m，AB＝BC＝m+3，
∴OC＝m+3+3＝2m+3．
∵OB﹣CE＝1，
∴CE＝m﹣1，
∴E（2m+3，m﹣1），
∵点A和点E都在反比例函数图象上，
∴m（m+3）＝（2m+3）（m﹣1），
解得m1＝3，m2＝﹣1（舍去），
∴E（9，2）．
设直线GE的解析式为y＝kx+b，
则，
∴，
∴，
当y＝0时，，
解得x＝5.4，
∴OF的长为5.4．
故选：C．
8．（2分）（2023•南关区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，DB⊥x轴于点B，AC所在直线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，已知直线AC的解析式为y＝x+b，矩形ABCD的面积为120，则k的值是（ ）
A．﹣20B．C．﹣40D．
解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，设AC与y轴交于点G，
∵DB⊥x轴，
∴AM∥FB，DB∥GO，
∴△EAM∽△EFB，△GOF∽△EBF，
∴EM：AM＝EB：FB，GO：FO＝EB：FB，
∴EM：AM＝GO：FO，
∵直线AC的解析式为y＝x+b，
∴G（0，b），F（﹣b，0），
∴OG＝b，OF＝﹣b，
∴EM：AM＝GO：FO＝，
设EM＝3a，则AM＝4a，
∴EF＝5a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AE＝EB＝5a，
∵矩形ABCD的面积为120，
∴2×BD•AF＝120，即10a•4a＝120，
解得a2＝3，
根据题意，点A，E同时在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
则E（，5a），A（﹣4a，5a﹣3a），即A（﹣4a，2a）．
∴k＝（﹣4a）•2a，
解得k＝﹣＝﹣40．
故选：C．
9．（2分）（2023•衡山县二模）方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y＝交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（ ）
A．0＜x0＜1B．1＜x0＜2C．2＜x0＜3D．3＜x0＜4
解：依题意得方程x3+3x﹣2＝0的实根是函数y＝x2+3与y＝的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，
∴它们的交点在第一象限，
当x＝1时，y＝x2+3＝4，y＝＝2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝6，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
…
∴x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围0＜x＜1．
故选：A．
10．（2分）（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：法一、设A（m，k2m），B（2m，2k2m），
∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，k2m），B′（2﹣2m，2k2m）在反比例函数图象l1y＝（x＞0）上，
∴k1＝k2m（2﹣m）＝2k2m（2﹣2m），
解得，m＝，
∴＝m（2﹣m）＝．
法二、由对称性可得函数l2的解析式为：y＝﹣，
令k2x＝﹣，整理得，k2x2﹣2k2x+k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2﹣2k2x+k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m+n＝2①，mn＝，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝，n＝，
∴mn＝＝．
故选：A．
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.
11．（2分）（2023秋•莱州市期中）如图，直线AB与反比例函数交于点B，与x轴和y轴分别交于点A和点D，BC⊥AC于点C，若点D是线段AB的中点，∠DAO＝30°，OA＝1，则k的值为 ﹣ ．
解：在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝1，
∴OD＝OA＝，
∵BC⊥AC于点C，
∴OD∥BC，
∵点D是线段AB的中点，
∴BC＝2OD＝，CO＝AO＝1，
∴B（﹣1，），
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣，
故答案为：﹣．
12．（2分）（2023•灌云县校级模拟）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞0）的图象于A，B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，连接CD，若S△BCD＝5，则a的值为 10 ．
解：连接OB，
∵BD⊥y轴，
∴S△BOD＝|a|，
∵BD∥x轴，
∴S△BCD＝S△BOD＝|a|，
∵S△BCD＝5，
∴＝5，
∵a＞0，
解得：a＝10，
故答案为：10．
13．（2分）（2023•潮阳区一模）如图​，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B（3，n）两点，则不等式k1x+b＞的解集是 x＜0或1＜x＜3 ．
解：从函数图象看，当x＜0或1＜x＜3时，一次函数y＝k1x+b的图象在反比例函数y＝的图象的上方，
故不等式k1x+b＞的解集为x＜0或1＜x＜3
故答案为：x＜0或1＜x＜3．
14．（2分）（2023春•东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b交坐标轴于A、B点，点C（﹣4，2）在线段AB上，以BC为一边向直线AB斜下方作正方形BCDE．且正方形边长为5，若双曲线y＝经过点E，则k的值为 3 ．
解：过点B作直线l平行于x轴，过点C作CM⊥l，过点E作EN⊥l，垂足分别为M，N，如图所示：
∴∠M＝∠N＝90°，
∴∠MCB+∠CBM＝90°，
∵BCDE是正方形，
∴BC＝BE＝5，∠CBE＝90°，
∴∠CBM+∠NBE＝90°，
∴∠MCB＝∠NBE，
∴△CMB≌△BNE（AAS），
∴MB＝NE，MC＝BN，
∵C点坐标为（﹣4，2），
∴MB＝4，
∴NE＝4，
在Rt△MBC中，由勾股定理，得
MC＝3，
∴BN＝3，
∴BO＝3+2＝5，
∴E点纵坐标为BO﹣NE＝5﹣4＝1，
∴E点坐标为（3，1），
将E点坐标代入y＝，
得 k＝3．
故答案为：3．
15．（2分）（2023春•德清县期末）如图，一次函数y＝k1x+b（k1和b均为常数且k1＞0）与反比例函数（k2为常数且k2＜0）的图象交于A，B两点，其横坐标为1和2.5，则关于x的不等式的解集是 x＜0或1＜x＜2.5 ．
解：关于x的不等式变形得，，
∴当x＜0时，反比例函数图象左边一支在x轴上方，一次函数图象在x轴下方，则；
∵一次函数y＝k1x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其横坐标为1和2.5，
∴当1＜x＜2.5时，反比例函数图象右边一支在一次函数图象上方，；
综上所示，关于x的不等式的解集是x＜0或1＜x＜2.5，
故答案为：x＜0或1＜x＜2.5．
16．（2分）（2023春•翠屏区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x与双曲线交于点A，B、C分别是x、y轴上的点，且∠BAC＝90°，若四边形OBAC的面积为5，则k＝ ﹣5 ．
​
解：过点A作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M和N，
因为点A在直线y＝﹣x上，
则令A（a，﹣a）．
所以AM＝AN，
又AM⊥x轴，AN⊥y轴，∠MON＝90°，
故四边形AMON是正方形．
又∠BAC＝90°，
所以∠BAM+∠MAC＝90°，
又∠MAC+∠NAC＝90°，
所以∠BAM＝∠CAN．
又AM＝AN，∠AMB＝∠ANC，
所以△ABM≌△ACN（ASA）．
则S△ABM＝S△ACN．
所以S正方形AMON＝S四边形ABOC＝5．
故﹣a•（﹣a）＝5，得．
即A（，）．
将A点代入得，
k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
17．（2分）（2023春•威海期末）如图，一次函数与反比例函数，相交于点A，点B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△BDP∽△ACP，则点P的坐标为 （，） ．
解：联立方程组得，解得，；
∴A（4，），B（1，2）；
∵△BDP∽△ACP，
∴＝＝＝＝2，
∴此时，△BDP≌△ACP，
∴点P是线段AB的中点．
∴xP＝（xB+xA）＝（4+1）＝，
yP＝（yB+yA）＝（）＝，
∴P（，）．
故答案为：（，）．
18．（2分）（2022•江北区模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则sin∠AMP的值为 ．
解：由消去y得到，x2﹣2ax+k＝0，
∵直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即4a2﹣4k＝0，
∴k＝a2，
解方程组得到，，
∴B（a，a），
令y＝0，得y＝﹣x+2a＝0．
解得x＝2a，
∴A（2a，0），
过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．
由题意，B（a，a），A（2a，0），
∴OH＝BH＝AH＝a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，
∵∠OJH＝∠BJK，
∴∠HOJ＝∠HBP，
∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，
AP＝BJ，
∵∠AHB＝90°，HB＝HA，
∴∠PAM＝∠JBM＝45°，
∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，
∴∠BJM＝∠APM，
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM＝AM，∠BMJ＝∠AMP，
∴M（a，a），
∴BM＝，
设直线OM的解析式为：y＝kx，则，
∴，
∴直线OM的解析式为：y＝x，
∴J（a，a），
∴JH＝PH＝a，
∴BP＝OJ＝，
∵∠OHJ＝∠OKP＝90°，∠HOJ＝∠KOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴，即，
∴KP＝，
∴BK＝BP﹣KP＝，
∴sin∠AMP＝sin∠BMK＝＝．
故答案为：．
19．（2分）（2022•仪征市校级模拟）如图，反比例函数图象l1的表达式为，图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为 ．
解：∵图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，即f（x）与f（2﹣x）关于直线x＝1对称，
∴反比例函数l2为：y＝，
∵直线y＝k2x与l2交于A，B两点，
∴，
整理得：x2﹣2x+＝0，
∴xA+xB＝2，xAxB＝（根与系数的关系），
∵A为OB中点，
∴2xA＝xB，
∴xA+2xA＝2，
∴xA＝，xB＝，
∴＝xAxB＝×＝．
故答案为：．
20．（2分）（2022•包头三模）如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE+∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，
∴ED＝4﹣，DF＝3﹣，
∴＝＝；
∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故答案为．
三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．
21．（6分）（2023秋•霍邱县校级月考）如图，已知反比例函数的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m），在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．
解：∵A（﹣2，3）在的图象上，
∴，k＝﹣6，
又点B（1，m）在的图象上，m＝﹣6，即B（1，﹣6），
将点A，B的坐标代入y＝ax+b，得，
解得，
∴直线的表达式为y＝﹣3x﹣3，
设直线y＝﹣3x﹣3与x轴的交点为E，
当y＝0时，0＝﹣3x﹣3，
解得x＝﹣1，
即E（﹣1，0），
分别过点A，B作x轴的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，
，
又S△PAB＝18，即，
∴PE＝4，
当点P在原点右侧时，P（3，0），
当点P在原点左侧时，P（﹣5，0）．
综上分析可知，点P的坐标为：（3，0）或（﹣5，0）．
22．（6分）（2023秋•霍邱县期中）如图，一次函数A，B是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（4，m），线段AB的延长线交x轴于点C．
（1）求m的值和该反比例函数的函数关系式．
（2）求△AOC的面积．
解：（1）∵A（2，4）在反比例函数y＝（k＞0）图象上，
∴k＝2×4＝8；
把B（4，m）代入 得，
解得m＝2；
∴m＝2，该反比例函数的函数关系式为；
（2）设直线AB的函数关系式为 y＝ax+b，
把 A（2，4），B（4，2）分别代入得，
解得，
∴直线AB的函数关系式为y＝﹣x+6，
∴当y＝0 时，x＝6，
∴点C的坐标为（6，0），
∴，即△AOC的面积为12．
23．（8分）（2023•肇东市校级模拟）如图，平面直角坐标系中，反比例函数y＝（n≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交于点A（1，m），B（﹣3，﹣1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出kx+b＞的解集；
（3）已知直线AB与y轴交于点C，点P（t，0）是x轴上一动点，作PQ⊥x轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值．
解：（1）点B（﹣3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣3×（﹣1）＝3，
∴反比例函数的关系式为y＝，
当x＝1时，m＝＝3，
∴点A（1，3），
把A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝x+2，
答：反比例函数关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x+2；
（2）由图象可知，不等式kx+b＞的解集为x＞1或﹣3＜x＜0；
（3）一次函数的关系式为y＝x+2与y轴的交点C（0，2），即OC＝2，
当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2，
即S△COP+S△POQ＝2，而S△POQ＝|k|＝，
∴×|t|×2+＝2，
即|t|＝，
∴t＝
因此t＝时，使以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2．
24．（8分）（2023秋•高新区月考）已知A（﹣4，﹣4），B（2，8）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
解：（1）∵B点（2，8）在反比例函数的图象上，
∴m＝2×8＝16，
∴反比例函数解析式为，
∵A点（﹣4，﹣4），B点（2，8）在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式y＝kx+b可得：，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4．
（2）在y＝2x+4中，令x＝0可得y＝4，
∴C点坐标为（0，4），
∴OC＝4，
又∵A为（﹣4，﹣4），B为（2，8），
∴A到OC的距离为4，B到OC的距离为2，
∴，
即S△AOB＝12．
（3）∵由一次函数与反比例函数的图象可知，
当﹣4＜x＜0或x＞2时反比例函数图象在一次函数图象的下方，
∴当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值大于反比例函数的值，
即不等式的解集是﹣4＜x＜0或x＞2．
25．（8分）（2022秋•嘉陵区校级期末）如图，已知A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围．
解：（1）把B（﹣1，4）代入反比例函数y＝得，m＝﹣4，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
把知A（n，﹣2）代入y＝﹣得，n＝2，
∴A（2，﹣2），
把A（2，﹣2），B（﹣1，4）代入y＝kx+b得，
，解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+2，
即反比例函数解析式为y＝﹣，一函数解析式为y＝﹣2x+2；
（2）设直线与y轴的交点为C，当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，
∴点C的坐标是（0，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
＝×2×2+×2×1＝3；
（3）当kx+b＜时，相应的x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞2．
26．（8分）（2023秋•雁塔区校级期中）如图所示，直线y1＝kx+b与反比例函数的图象交于点P（2，a），Q（8，1），与坐标轴交于A、B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出不等式的解集；
（3）连接PO、QO，求三角形POQ的面积．
解：（1）把Q（8，1）代入y2＝得：m＝8×1＝8，
∴反比例函数的解析式为y2＝；
把P（2，a）代入y2＝得：2a＝8，解得a＝4，
∴P（2，4）．
把P（2，4），Q（8，1）分别代入y1＝kx+b得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为y1＝﹣x+5；
（2）当x＞0时，不等式kx+b＜的解集0＜x＜2或x＞8；
（3）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D，
则PC＝4，QD＝1，CD＝OD﹣OC＝8﹣2＝6，
∴S△POQ＝S△POC+S梯形PCDQ﹣S△OQD＝S梯形PCDQ＝＝15．
答：三角形POQ的面积为15．
27．（8分）（2023春•海陵区期末）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象分别交y轴、x轴于A、B两点，点C为反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上一点，过点C分别作x轴、y轴的平行线交直线AB于点D、F，直线CD交y轴于点E．连接OD，将OD绕着点D逆时针旋转90°后得到线段DG．
（1）若k＝1，OE＝，求点F的坐标；
（2）求点G的横坐标；
（3）是否存在一个k的值，使得无论点C位于反比例函数图象上何处时，总有点O、G、F三点在同一直线上？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵k＝1，OE＝，