人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式第1课时导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式第1课时导学案，共9页。


“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．
“南京眼”的桥身的完美对称 辽宁“生命之环”的完美对称
问题 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？
[提示] π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称．
知识点1 诱导公式eq \(①)
sin(α＋k·2π)＝sin α(k∈Z)，
cs(α＋k·2π)＝cs α(k∈Z)，
tan(α＋k·2π)＝tan α(k∈Z)．
1．cs 390°＝________．
eq \f(\r(3),2) [cs 390°＝cs(30°＋360°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)．]
知识点2 角的旋转对称
如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC；
则射线OB是角α＋θ的终边，射线OC是角α－θ的终边，所以角α＋θ的终边和角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线对称．
1．角的正负与旋转方向之间的关系是什么？
[提示] 将射线逆时针方向旋转得到正角，顺时针方向旋转得到负角．
知识点3 诱导公式eq \(②)
sin(－α)＝－sin α，
cs(－α)＝cs α，
tan(－α)＝－tan α．
2．角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cs(－α)，sin(－α))与点P(cs α，sin α)有怎样的关系？
[提示] 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称．
2．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝________．
eq \r(2) [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))
＝cs eq \f(17,4)π＋sin eq \f(17,4)π＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,4)))
＝cs eq \f(π,4)＋sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)．]
知识点4 诱导公式eq \(③)
sin(π－α)＝sin α，
cs(π－α)＝－cs α，
tan(π－α)＝－tan α．
3．角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cs(π－α)，sin(π－α))与点P(cs α，sin α)有怎样的关系？
[提示] 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称．
知识点5 诱导公式eq \(④)
sin(π＋α)＝－sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，
tan(π＋α)＝tan α．
4．角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P4(cs(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cs α，sin α)呢？
[提示] 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称；P4与P也关于原点对称．
3．化简：eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)＝________．
1 [eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)＝eq \f(cs αtanπ＋α,sin α)
＝eq \f(cs α·tan α,sin α)＝eq \f(sin α,sin α)＝1．]
类型1 给角求值问题
【例1】 (对接教材P30例题改编)求下列各三角函数式的值．
(1)cs 210°；
(2)sin eq \f(11,4)π；
(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(43π,6)))；(4)cs(－1 920°)．
[解] (1)cs 210°＝cs(180°＋30°)＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2)．
(2)sin eq \f(11π,4)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(3π,4)))＝sin eq \f(3,4)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)．
(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(43π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(7π,6)))＝－sin eq \f(7π,6)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)．
(4)cs(－1 920°)＝cs 1 920°
＝cs(5×360°＋120°)
＝cs 120°＝cs(180°－60°)＝－cs 60°＝－eq \f(1,2)．
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“ 负化正” ：用公式②或③来转化．
(2)“ 大化小” ：用公式①将角化为0°到360°间的角．
(3)“ 小化锐” ：用公式③或④将大于90°的角转化为锐角．
(4)“ 锐求值” ：得到锐角的三角函数后求值．
eq \([跟进训练])
1．求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°； (2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．
[解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2)．
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)
＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2)．
(2)法一：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))＝cs eq \f(31π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(7π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)．
法二：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(5π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)．
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1．
类型2 给值(式)求值问题
【例2】 (1)已知cs(－70°)＝k，那么tan 110°＝( )
A．eq \f(\r(1－k2),k) B．－eq \f(\r(1－k2),k)
C．－eq \f(k,\r(1－k2))D．eq \f(k,\r(1－k2))
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值．
(1)B [因为cs(－70°)＝k，
所以sin(－70°)＝－eq \r(1－cs2－70°)＝－eq \r(1－k2)，
所以tan(－70°)＝eq \f(sin－70°,cs－70°)＝eq \f(－\r(1－k2),k)．
所以tan 110°＝tan(180°－70°)＝tan(－70°)＝eq \f(－\r(1－k2),k)．]
(2)[解] 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3)．
解决给值求值问题的策略
(1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
eq \([跟进训练])
2．已知sin β＝eq \f(1,3)，cs(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A．1 B．－1 C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
D [因为cs(α＋β)＝－1，所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
所以sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－eq \f(1,3)．]
类型3 三角函数式的化简
【例3】 化简下列各式．
(1)eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,csα－πsin5π－α)；
(2)eq \f(\r(1＋2sin 290°cs430°),sin 250°＋cs790°)．
[解] (1)原式＝eq \f(\f(sin2π－α,cs2π－α)·sin－αcs－α,csπ－αsinπ－α)
＝eq \f(－sin α－sin αcs α,cs α－cs αsin α)＝－eq \f(sin α,cs α)＝－tan α．
(2)原式＝eq \f(\r(1＋2sin360°－70°cs360°＋70°),sin180°＋70°＋cs720°＋70°)
＝eq \f(\r(1－2sin 70°cs 70°),－sin 70°＋cs 70°)＝eq \f(|cs 70°－sin 70°|,cs 70°－sin 70°)
＝eq \f(sin 70°－cs 70°,cs 70°－sin 70°)＝－1．
三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cs2α＝tan eq \f(π,4)．
eq \([跟进训练])
3．化简下列各式．
(1)eq \f(csπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cs－π－α)；
(2)eq \f(cs 190°·sin－210°,cs－350°·tan－585°)．
[解] (1)原式＝eq \f(－cs α·sin α,－sinπ＋α·csπ＋α)＝eq \f(cs α·sin α,sin α·cs α)＝1．
(2)原式
＝eq \f(cs180°＋10°·[－sin180°＋30°],cs－360°＋10°·[－tan360°＋225°])
＝eq \f(－cs 10°·sin 30°,cs 10°·[－tan180°＋45°])
＝eq \f(－sin 30°,－tan 45°)＝eq \f(1,2)．
1．sin 690°的值为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
C [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－eq \f(1,2)．]
2．点P(cs 2 022°，sin 2 022°)落在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
C [2 022°＝6×360°－138°，
所以cs 2 022°＝cs(－138°)＝cs 138°<0，
sin 2 022°＝sin(－138°)＝－sin 138°<0，
所以点P在第三象限．]
3．已知sin(π＋α)＝eq \f(4,5)，且α是第四象限角，则cs(α－2π)的值是( )
A．－eq \f(3,5) B．eq \f(3,5)
C．±eq \f(3,5)D．eq \f(4,5)
B [sin α＝－eq \f(4,5)，又α是第四象限角，
所以cs(α－2π)＝cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5)．]
4．eq \f(cs360°＋α·sin360°－α,cs－α·sin－α)的化简结果为________．
1 [原式＝eq \f(cs α·sin－α,cs α·sin－α)＝1．]
5．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(2),4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))的值为________．
－eq \f(\r(14),4) [因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(2),4)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝±eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)))＝±eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),4)))eq \s\up12(2))＝±eq \f(\r(14),4)，
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，
所以eq \f(π,6)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,3)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(14),4)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(14),4)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能概括一下诱导公式①～④的特征吗？
[提示] 诱导公式①～④可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数名不变，符号看象限”．
2．如何应用诱导公式①～④把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
[提示] 利用公式①～④可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
1．掌握诱导公式①②③④，并会用公式求任意角的三角函数值．(重点)
2．会用诱导公式①②③④进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明．(重点、难点)
1．通过诱导公式①②③④的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．
2．借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养．