高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像导学案及答案，共13页。


在塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图所示)．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板．这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．
问题 1通过上述实验，你对正弦函数图像的直观印象是怎样的？
2你能比较精确地画出y＝sin x在[0，2π]上的图像吗？
3以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin x，x∈[0，2π]图像的方法？你认为图像上哪些点是关键点？
[提示] 1正弦函数的图像是“波浪起伏”的连续平滑曲线．
2能，利用特殊角的三角函数的定义．
3五点作图法
y＝sin x的五点：0，0， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，π，0，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，2π，0．
知识点1 正弦函数的性质
1．正弦函数的零点是点吗？若不是，是什么？
[提示] 不是，是实数kπ，k∈Z．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)正弦函数在其定义域上是单调的．( )
(2)函数f(x) ＝eq \f(1,2)sin 3x是奇函数．( )
[答案] (1)× (2)√
2．函数y＝xsin x是( )
A．奇函数，不是偶函数
B．偶函数，不是奇函数
C．奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
B [f (－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x) ，所以y＝xsin x为偶函数，不是奇函数．]
3．若sin x＝2m－1且x∈R，则m的取值范围是________．
[0,1] [因为sin x＝2m－1，x∈R，所以－1≤2m－1≤1，所以0≤2m≤2,0≤m≤1，所以m的取值范围是[0,1]．]
知识点2 函数的周期性
(1)周期：对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f (x＋T)＝f(x) ，那么就称函数f(x) 为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x) ，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x) 的最小正周期．
2．对非零常数T，若存在x0，使f (x0＋T)＝f(x) ，那么T是函数的周期吗？为什么？
[提示] 不是，必须对定义域内的每一个值成立．
4．函数f(x) ＝3＋sin x的最小正周期是( )
A．eq \f(π,2) B．π
C．eq \f(3π,2) D．2π
D [函数的最小正周期T＝eq \f(2π,1)＝2π．]
知识点3 正弦函数的图像
(1)图像：
(2)对称性：对称轴x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，对称中心(kπ，0)，k∈Z．
(3)五点：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(1)作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数．
(2)在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接．
(3)五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点．
5．下列图像中，符合y＝－sin x在[0,2π]上的图像的是( )
A B
C D
D [把y＝sin x，x∈[0,2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0,2π]上的图像，故选D．]
类型1 正弦函数的性质及应用
角度1 正弦函数的周期性与奇偶性
【例1】 (1)函数y＝sin eq \f(1,2)x的最小正周期为________．
(2)函数f(x) ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋2x))＋x2sin x的奇偶性是______．
(1)4π (2)奇函数 [(1)令u＝eq \f(1,2)x，则y＝sin u是周期函数，且周期为2π．
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋2π))＝sin eq \f(1,2)x，
即sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋4π))＝sin eq \f(1,2)x．
所以y＝sin eq \f(1,2)x的周期是4π．
(2)f(x) ＝sin 2x＋x2sin x，
因为x∈R，f (－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x) ，
所以f(x) 是奇函数．]
1．定义法求函数的周期
紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意x都满足f (x＋T)＝f(x) 的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数．
2．判断函数奇偶性应把握好两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(x) 与f (－x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
eq \([跟进训练])
1．(1)函数y＝|sin x|，x∈R的最小正周期为________．
(2)若函数y＝2sin(x＋θ)为奇函数，则θ＝________．
(1)π (2)kπ，k∈Z [(1)设f(x) ＝|sin x|，
因为f (x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x) ，
所以y＝|sin x|的最小正周期为π．
(2)因为y＝2sin(x＋θ)为奇函数，则由f (－x)＋f(x) ＝0，可得θ＝kπ，k∈Z．]
角度2 利用单调性比较大小
【例2】 比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°和cs 160°；
(2)sin eq \f(7,4)和cs eq \f(5,3)．
[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．
[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°．
cs 160°＝cs(180°－20°)＝－cs 20°＝－sin 70°．
因为0°<14°<70°<90°，
所以sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cs 160°．
(2)因为cs eq \f(5,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，
又eq \f(π,2)y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,2)π))上是减函数，
所以sin eq \f(7,4)>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))＝cs eq \f(5,3)，
即sin eq \f(7,4)>cs eq \f(5,3)．
比较正弦值大小的方法
比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．
eq \([跟进训练])
2．下列关系式中正确的是 ( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°A [因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cs 77°＝cs(90°－13°)＝sin 13°，
由正弦函数的单调性得sin 11°即sin 11°角度3 正弦函数的值域与最值问题
【例3】 (对接教材P38例3改编)求下列函数的值域．
(1)y＝3＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))；
(2)y＝1－2sin2x＋sin x．
[解] (1)因为－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，
所以－2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤2，
所以1≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋3≤5，
所以1≤y≤5，即函数y＝3＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的值域为[1,5]．
(2)y＝1－2sin2x＋sin x，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,8)．
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤eq \f(9,8)，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(9,8)))．
与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法
(1)求形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x≤1)求解．
(2)求形如y＝asin2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令sin x＝t，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性．
eq \([跟进训练])
3．设|x|≤eq \f(π,4)，求函数f(x) ＝cs2x＋sin x的最小值．
[解] f(x) ＝cs2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(5,4)．
因为|x|≤eq \f(π,4)，
所以－eq \f(\r(2),2)≤sin x≤eq \f(\r(2),2)，
所以当sin x＝－eq \f(\r(2),2)时取最小值为eq \f(1－\r(2),2)．
类型2 正弦函数的图像
【例4】 用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1．
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．
[解] 按五个关键点列表：
描点连线得：
(1)由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，所以当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1．
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1(3)由图像可知y最大值为3，此时x＝－eq \f(π,2)；y最小值为－1，此时x＝eq \f(π,2)．
“五点法”作函数y＝rsin x＋l的图像
(1)列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数y＝rsin x＋l的五点．
(2)描点：将函数y＝rsin x＋l的五点在坐标系中描出来．
(3)连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接．
eq \([跟进训练])
4．用“五点法”画出函数y＝eq \f(1,2)＋sin x，x∈[0,2π]上的图像．
[解] 取值列表如下：
描点，并将它们用平滑的曲线连接起来．(如图)
类型3 正弦函数性质与图像的应用
【例5】 (1)函数f(x) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－sin x在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)求函数y＝eq \r(\r(3)－2sin x)的定义域、值域和零点．
判断零点个数的常用方法有哪些？
[提示] (1)直接法：直接解方程；
(2)定理法：根据零点的判定定理；
(3)图像法：转化为两函数图像的交点个数．
(1)B [令f(x) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－sin x＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)＝sin x，如图所示．
函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)与y＝sin x在[0,2π]上有两个交点，
故函数f(x) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－sin x有两个零点．]
(2)[解] 令eq \r(3)－2sin x≥0，即sin x≤eq \f(\r(3),2)，
解得eq \f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(7π,3)＋2kπ，k∈Z，
所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ，\f(7π,3)＋2kπ))，k∈Z．
因为－1≤sin x≤eq \f(\r(3),2)，
所以0≤eq \r(3)－2sin x≤eq \r(3)＋2，
所以0≤eq \r(\r(3)－2sin x)≤eq \r(\r(3)＋2)，
故函数的值域为[0，eq \r(\r(3)＋2)]．
令y＝eq \r(\r(3)－2sin x)＝0，
解得x＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z或x＝eq \f(7π,3)＋2kπ，k∈Z．
所以函数的零点为eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，或eq \f(7π,3)＋2kπ，k∈Z．
[母题探究]
(变条件)本例(2)中若将函数改为“f(x) ＝x2－sin x－eq \f(1,2)”，区间改为[－π，π]，则函数零点个数又是几个？
[解] 令f(x) ＝x2－sin x－eq \f(1,2)＝0，即x2－eq \f(1,2)＝sin x，如图：
函数y＝x2－eq \f(1,2)与y＝sin x在[－π，π]上有两个交点．
关于正弦函数性质、图像的应用
(1)周期性的应用：正弦函数是周期函数，可以先研究其在一个周期内的性质，再推广到定义域内．
(2)奇偶性的应用：先确定函数的奇偶性，只研究函数在[0，＋∞)上的性质，再利用奇偶函数的性质推广到(－∞，0]上．
(3)数形结合的应用：将问题转化为正弦函数与其他初等函数图像间的关系，利用图像解决问题．
eq \([跟进训练])
5．(1)函数y＝eq \r(2sinπ－2x－1)的定义域为( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)≤x≤2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))
B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)≤x≤kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))
D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)≤x≤kπ＋\f(5π,12)，k∈Z))))
(2)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2交点的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(1)D (2)B [(1)要使函数有意义，
则2sin(π－2x)－1≥0，
即sin 2x≥eq \f(1,2)，
则2kπ＋eq \f(π,6)≤2x≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，
则kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z．
即函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)≤x≤kπ＋\f(5π,12)，k∈Z))))．
(2)作出y＝1＋sin x在[0,2π]上的图像和y＝2的图像，
可知只有一个交点．]
1．(多选题)以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图像形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
ACD [观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，不关于x轴对称，故B错误．]
2．函数y＝2＋sin x的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [－1≤sin x≤1，故当sin x＝1时，y＝2＋sin x有最大值为3．]
3．函数y＝－2sin x－1的单调减区间是________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z [函数y＝－2sin x－1的单调减区间即正弦函数y＝sin x的单调增区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z．]
4．函数y＝－sin x＋1的对称中心是________，对称轴为________．
(kπ，1)，k∈Z x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z [由函数y＝－sin x＋1与正弦函数图像的关系可知，函数y＝－sin x＋1的对称中心为(kπ，1)，k∈Z，对称轴为x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z．]
5．方程sin x＝lg x的解的个数为________个．
3 [建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，再向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图像．
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图像，如图所示．
由图像可知方程sin x＝lg x的解有3个．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．正弦函数“五点法”作图时，是哪五个点？
[提示] 五点：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
2．求函数最小正周期的常用方法是什么？
[提示] (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x＋T)＝f(x) 成立的T．
(2)图像法，即作出y＝f(x) 的图像，观察图像可求出T，如y＝|sin x|．
3．你能由正弦函数图像说出正弦函数的性质吗？
[提示] 正弦函数的性质
1．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点)
2．能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图像．(难点)
1．借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．
2．通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．
定义域
与值域
定义域为R，值域为[－1,1]
当且仅当x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；
当且仅当x＝eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
单调性
单调增区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z
单调减区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z
零点
kπ，k∈Z
x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sin x
0
－1
0
1
0
y＝1－2sin x
1
3
1
－1
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝eq \f(1,2)＋sin x
eq \f(1,2)
eq \f(3,2)
eq \f(1,2)
－eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1,1]
最值
当x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期：2π
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上递增；
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上递减
零点
kπ(k∈Z)