2024武汉武昌区高三下学期二模数学试题含解析

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本试题共19题，满分150分，考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则 （ ）
A. B.
C. 展开式的常数项为D. 的展开式中各项系数的和为1
3. 已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A B. 5C. D.
4. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A. 288B. 144C. 96D. 25
5. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ）

A. cm3B. 33664 cm3C. 33792 cm3D. 35456 cm3
7. 已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为（ ）
A. 32B. 16C. D. 8
8. 设，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确是（ ）
A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性回归直线一定过样本点中心
C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强
D. 在残差散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 的最小值为2
C. D. 的最小值为2
11. 已知无穷数列中，是以10为首项，以为公差的等差数列，是以为首项，以为公式的等比数列，对一切正整数，都有.设数列的前项和为，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 不存在，使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________.
13. 函数的部分图象如图所示，则____________.

14. 已知动点的轨迹方程为，其中，则的最小值为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）已知，求最大值.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，.

（1）证明：；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
17. 已知函数.
(1)讨论单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
18. 已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为.平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
19. 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设，则，即，解得.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局.
（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.
①求甲获胜的概率；
②求.