2024广州普通高中高三冲刺训练（三）数学试卷含答案

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答案：B【详解】因为复数，所以对应的点为，位于第二象限．
3.答案：B【详解】因为为等差数列，，所以，所以.
4.【答案】C【详解】选项A：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误；选项B：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误；选项C：因为，又，所以，故是的一个充分条件，故C正确；
当满足与相交时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故D错误；
5.【答案】D【详解】由题意知，抛物线的准线方程为，又因为，
则点，又因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以双曲线的离心率
6.【答案】C【详解】由，得，
于是，即，
由，，得，则或，
即或（不符合题意，舍去），所以.故选：C
7.【答案】D【详解】设正四面体的棱长为，则其内切球、棱切球、外接球的半径分别为．由题意知，球的球心落在正四面体的几何中心，即内切球、棱切球、外接球公共的球心，又球的半径为定值。当球是正四面体的外接球时，棱长最小，此时，得．当球是正四面体的内切球时，最大，此时，得
故正四面体的棱长的取值范围为．故选：D.
8.【答案】A【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由中线长公式，中线长，
9答案：BCD
10.答案：ACD【详解】对A：由题意可知的定义域为，，
令，解得，当时，，当时，，故A正确；
对B：当时，取得极大值为，故B错误；
对C：由上分析可作出的图象，要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，由图可知，，所以实数的取值范围为，故C正确.
对D：设曲线在处的切线经过坐标原点，则切线斜率，解得，，所以切线斜率，所以切线方程为，故D正确.
11.答案：ABD【详解】对于A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
又，，则，所以，故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，易证，又，
，即，，，故B正确；
对于C，分两种情况：当点都在第一象限，设，，
由焦半径公式可得，，，
令，
设，且，
，当且仅当时取得最小值.
当点在第二象限时，设，，
则，，所以，
同理令，且，，
所以，当且仅当时取得最小值，
综上，面积的最小值为，故C错误；
对于D，当点都在第一象限，，，
则，所以，即，，
当点在第二象限时，同理可得，即，，
综上，的面积大于，故D正确. 故选：ABD.
12.【答案】20 【详解】由，
令可得，，∴．
在 中，令，可得，
∴
13.【答案】【详解】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，
，，
故．
14.【答案】【详解】不等式，即，
设，，
设，，所以单调递增，且，，
所以存在，使，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，
当时，，当时，，
不等式有整数解，即有整数解，
若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，所以无整数解，不符合题意，
当时，因为，显然是的两个整数解，符合题意，
综上可知，.
15.【详解】（1）解：由题意知：数列是公差为的等差数列，
当时，，所以，整理得：， 分
又当时，， 分
因为满足上式， 分
所以，故数列的通项公式为 分
（2）解：由（1）知，可得， 分
故； 分
解法1：由，可得， 分
即，则， 分
又由， 分
当且仅当时取等号，故实数的取值范围为． 分
解法2：由， 分
可得， 分
当，即时，， 分
则，故实数的取值范围为． 分
16. 分
，，， 分
， 分
延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM，
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM 分
证明：取AD的中点E，连接PE，，E是AD的中点，
，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，，平面ABCD， 分
,,即 分
以点B为坐标原点，以直线BA、BM分别为轴，以过点B作平面ABCD的的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 分
则，，，，
，，， 分
设，则， 分
设平面PCD的法向量为，则，即，
令，得， 分
设平面CDN的法向量为，则，
即
令，可得， 分
夹角的余弦值为
，， 分
解得：或， 分
即在直线l上存在点N，的夹角的余弦值为，
此时或 分
17、【详解】（1）设最低正常使用零下温度的第60百分位数为，
由直方图可知最低正常使用零下温度在的频率为0.4，
在的频率为0.65，因此最低正常使用零下温度的第60百分位数一定在内，分
则有，解得，
所以最低正常使用零下温度的第60百分位数为28℃． 分
（2）①由题意可知的可能值是0,1,2,3，， 分
； 分
； 分
； 分
，
所以的分布列为
分
②由题意可知，设抽到类锂电池的数量为，则， 分
若抽到块的可能性最大，
则，， 分
即 分
即解得， 分
由于，故． 分
18、【详解】（1）解：设所求轨迹E上的任意点为(x,y)，与x2+y2=2对应的点为(x1,y1)，
根据题意，可得x=x1y=22y1，即x1=xy1=22y，
代入方程x2+y2=2，可得x2+(22y)2=2，整理得x22+y2=1，
所以曲线E的轨迹方程为x22+y2=1. - ------5分
（2）方法一：解：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，
设直线AC的方程为x=ty+1−−−−−−−6分，
联立方程组x=ty+1x22+y2=1，整理得(t2+2)x2+2ty−1=0，−−−−−−−8分
则y1+y3=−2tt2+2,y1y3=−12+t2−−−−−−−9分，
又因为t=x1−1y1,点A(x1,y1)在椭圆x22+y2=1上；
所以y3=−12+t21y1 = −y12y12+（x−1）2=y12x1−3；−−−−−−−11分
x3=ty3+1=x1−1y1y12x1−3+1=3x1−42x1−3，−−−−−−−12分
C(3x1−42x1−3,y12x1−3)，同理可得D(3x2−42x2−3,y22x2−3)，−−−−−−−13分
又因为P,A,B三点共线，可得y1x1+2=y2x2+2，−−−−−−−14分
即x2y1−x1y2=2(y2−y1)，−−−−−−−15分
所以kCD=y22x2−3−y12x1−33x2−42x2−3−3x1−42x1−3=2(x2y1−x1y2)+3(y2−y1)x2−x1=7(y2−y1)x2−x1=4kAB，−−−−−−−16分
所以tanαtanβ=kABkCD=17.−−−−−−−17分
方法二：解：设直线AC的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，
联立方程组y=k(x−1)x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，
则Δ=(−4k2)2−4(1+2k2)(2k2−2)>0，且x1+x3=4k21+2k2,x1x3=2k2−21+2k2，
可得32x1+x3−x1x3=2+4k21+2k2=2，所以x3=3x1−42x1−3，
可得y3=y1x1−1⋅(3x1−42x1−3−1)=y12x1−3，
所以C(3x1−42x1−3,y12x1−3)，下同方法一。
19、【详解】（1）根据题意可知，不等式在上恒成立，
设，则，，
设，则，，则，
若，存在区间，使在区间上单调递减；
则，则在区间上单调递减，
则，不满足题意，故，即.
下证明：当时，不等式成立，因为，，
设，则，
设，则，所以在上单调递增，
则，则成立，
故在上单调递增，则，所以恒成立，得证，
综上知，. 分
（2）当时，，设，
则，则函数单调递增，，单调递增，
，，
在上单调递减，上单调递增，
又，，
，，
，.
由于，，，，
由于在上单调递增，.
累加得. 分
（3）要证即证.
即证.，设
，时，在上单调递增，即在上单调递增，
设，，
由于在上单调递增，，，在单调递增.
又，时
因此恒成立，
原不等式恒成立，得证. 分0
1
2
3
0.064
0.288
0.432
0.216