2024年高考第三次模拟考试题：数学（上海卷）（解析版）

这是一份2024年高考第三次模拟考试题：数学（上海卷）（解析版），共20页。试卷主要包含了测试范围，复数满足，则　　，若多项式，则　15　，已知数列是等比数列，且等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在
答题纸的相应位置直接填写结果．
1．方程的解集为，方程的解集为，已知，则 ，， ．
【分析】根据即可得出，且，从而得出关于，的方程组，解出，即可得出集合，，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：；
，；
；
解得；
则方程可以化简为，解得或，，；
方程可以化简为，解得，或1，，；
，，．
故答案为：，，．
【点评】考查交集、并集的定义及运算，一元二次方程的解法，元素与集合的关系．
2．复数满足，则 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为 ．
【分析】先求出直线的斜率，由此能求出直线的倾斜角大小．
【解答】解：是直线的一个法向量，
直线的斜率，
则直线的倾斜角大小为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的法向量、直线的斜率、直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．已知随机变量服从正态分布，，若，则 0.4 ．
【分析】根据正态分布的均值和方差画出略图，利用正态分布图的对称性即可求得．
【解答】解：由可得，
则，故，
所以．
故答案为：0.4．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：
由两组数据可以得到线性回归方程为，则 0.4 ．
【分析】求出样本中心点，代入回归方程即可求解．
【解答】解：根据题意可得，，，
又，所以，
故答案为：0.4．
【点评】本题考查线性回归直线方程的性质，方程思想，属基础题．
6．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为 ．
【分析】直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．
【解答】解：由题意，圆柱与圆锥的底面半径，圆柱与圆锥的高，
则圆锥的母线长为，
则圆锥的全面积为：；
圆柱的全面积为：．
圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥、圆柱的全面积，正确应用面积公式是解题的关键，考查计算能力，是基础题．
7．若多项式，则 15 ．
【分析】根据二项展开式定理，分别求出，的展开式，即可得出结论．
【解答】解：，
，
所以，，，
所以，
故答案为：15．
【点评】本题考查二项式定理，属于基础题．
8．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：，现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是 ．
【分析】先求出第70百分位数，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：，
则第70百分位数为75，
故选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
9．已知数列是等比数列，且．设，数列的前项和为，则 ．
【分析】根据等比数列的性质求得，根据等差数列的性质求得．
【解答】解：因为为等比数列，，
所以，
又，可得（为常数），
为等差数列，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
10．已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于 ．
【分析】根据的图象特点可确定的性质，由此可得的取值．
【解答】解：由图可知，函数过点和点，
即，又因为，所以，
结合正弦型函数的性质可知，，解得，
所以，解得，因为，所以，所以，
所以，即，，
解得，，因为，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，，，则曼哈顿距离，余弦距离，，，其中为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 ．
【分析】根据题意作出示意图形，可得点在正方形的边上运动，结合题意分析，的最大值，即可求出本题的答案．
【解答】解：设，由题意得：，即，
而表示的图形是正方形，其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当，取到最小值时，，最大，相应的有最大值．
因此，点有如下两种可能：
①点为点，则，可得，；
②点在线段上运动时，此时与同向，取，则，．
因为，所以的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、平面向量的夹角与数量积等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
12．已知实数，满足，则的最小值为 ．
【分析】设．，可知是定值，即可利用基本不等式的性质求解．
【解答】解：设，，可知，
则．
当且仅当，即，也即，时取等号．
故答案为：
【点评】本题主要考查了基本不等式性质的构造，确定是定值是解题的关键，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
13．“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解： “” “，，或，”，
“” “”，又“” “”，
“”是“”的必要而不充分条件．
故选：．
【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理应用．
14．如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，为的重心，则
A．B．
C．D．
【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
15．下列有关事件的说法正确的是
A．若（A）（B），则事件，为对立事件
B．事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大
C．若，为互斥事件，则（A）（B）
D．若事件，，满足条件（A）．和为互斥事件，则
【分析】利用互斥事件，对立事件的定义判断，利用举实例判断，利用条件概率公式判断．
【解答】解：，若事件，发生在不同的试验中，可能满足（A）（B），但事件，不对立，错误，
，抛掷一个骰子，设事件出现点数不超过，出现点数不小于，则与为互斥事件，
则事件与事件中至少有一个发生的概率，
与中恰有一个发生的概率，错误，
，若，为互斥事件，则（A）（B），正确，
，若（A），和为互斥事件，则，错误，
故选：．
【点评】本题考查对立事件、互斥事件的定义，条件概率公式的运用，属于中档题．
16．若在曲线上，若存在过的直线交曲线于点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是
A．曲线上所有点都是点
B．曲线上仅有有限多个点是点
C．曲线上所有点都不是点
D．曲线上有无穷多个点（但不是全部）是点
【分析】设出，利用相似三角形求得和的关系，设出的方程与椭圆方程联立求得的表达式，利用判别式大于0求得和的不等式关系，最后联立①②③求得的范围，进而通过时，，故此时不存在点，进而求得点的横坐标取值范围，判断出题设的选项即可．
【解答】解：由题意，、的位置关系对称，
于是不妨设，（此时．
由相似三角形，，
即，①
设，
与椭圆联立方程组，，
消得，
解得，②
△，，③
联立①②，得，而，
即，即，
而当时，，
故此时不存在点，
又因为的位置可以和互换（互换后即，
所以点的横坐标取值为，，．
故选：．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）如图①，在梯形中，，，，，，将沿边翻折至△，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交，于点，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【分析】（1）利用勾股定理可得，进而证得平面，所以，又因为，利用线面垂直的判定定理即可证得平面；
（2）过点作，垂足为，可证得平面，即垂线段的长度即为点到平面的距离，再利用三角形相似求出的长即可．
【解答】证明：（1）如图①，，，，，
，，
如图②，，，，
，
，
，且，，平面，
平面，
又平面，，
平面，且平面，，
又，且，平面，
平面．
解：（2）过点作，垂足为，由（1）知平面，
而平面，
，
且，，平面，平面，
则垂线段的长度即为点到平面的距离，
在△中，，，，
，
，
由已知得，则，
由（1）知，
，，
即点到平面的距离为．
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了点到平面距离的求解，属于中档题．
18．（14分）已知函数．
（1）求的最小正周期以及单调增区间；
（2）在中，若，，求周长的取值范围．
【分析】（1）运用三角函数的恒等变换，可得，再结合三角函数的周期公式和单调性，即可求解．
（2）由，可推得，再结合余弦定理和不等式公式，即可求解．
【解答】解：（1）
，
，
令，，解得，，
的单调递增区间为．
（2），
，
为三角形的内角，
，
由余弦定理可得，，
，即，
又，
，
，当且仅当时，等号成立，
又，
，，
周长的取值范围为，．
【点评】本题主要考查了余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
19．（14分）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
【分析】（Ⅰ）由20人中答对第5题的人数为4人，求出第5题的实测难度为0.2，由此能估计240人中实测答对人数．
（Ⅱ）的可能取值是0，1，2．分别求出相应概率，由此能求出的分布列和数学期望．
（Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．由题设条件推导出该次测试的难度预估是合理的．
【解答】解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为．（2分）
所以，估计240人中有人实测答对第5题．（3分）
（Ⅱ）的可能取值是0，1，2．（4分）；；．（7分）的分布列为：
（8分）．（10分）
（Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．
定义统计量，其中为第题的预估难度．并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．（11分）．（12分）
因为，
所以，该次测试的难度预估是合理的．（13分）
注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测
难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝
对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．
【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，是中档题．
20．（18分）已知椭圆与抛物线在第一象限交于点，，，分别为的左、右顶点．
（1）若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程；
（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值；
（3）设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标．
【分析】（1）由题意，根据焦距和求出椭圆方程和，从而得到，求出准线方程；
（2）先得到，和直线方程，分别联立后，得到相应的弦长，从而分两向量方向相同和相反求出答案；
（3）由三点共线得到和，从而表达出，，得到，换元后得到，结合二次函数图象性质求出最小值，得到方程，求出，进一步求出点的坐标．
【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，
所以，
解得，
则，
解得，
则椭圆，
因为，在第一象限，，
所以，
所以，
将点的坐标代入中，
解得，
则的准线方程为；
（2）因为点是和的一个共同焦点，
所以，
解得，，
则，，
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
设，，，，
由韦达定理得，，
所以，
联立，消去并整理得，
设，，，，
由韦达定理得，，
所以，
若方向相同，
此时，
若方向相反，
此时，
故；
（3）因为，，，三点共线，
所以，
解得，
同理，由，，，三点共线，
可得，
此时
，
因为，
所以，
所以，
又，
则，
因为，
令，
此时，
所以，
其中，
因为，
所以的开口向下，对称轴为，
其中，
故当时，取得最大值，
最大值为，
则的最小值为，
令，
解得，负值舍去，
所以，
解得，
此时，
又，
所以，
故点的坐标为．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21．（18分）已知函数满足，当时，．
（1）当，时，求函数的图像与轴所围成的图形面积；
（2）当，时，求函数的最大值；
（3）当，时，函数与的图像有交点，将从左向右的交点的横坐标依次记为，，，，数列是否可能为等比数列，若可能，请求出对应的值，若不可能请说明理由．
【分析】（1）根据函数的特点，分段求面积即可；
（2）估算的范围，函数的最大值为当时的最大值与中较大者，求最值即可；
（3）分和两种情况讨论，时直线交各段函数的最高点，
此时，符合题意；当时，求得，，，利用求解即可．
【解答】解：（1）因为函数满足，
又因为当，时，函数的图象与轴所围成的图形面积为：
，
当，时，函数的图象与轴所围成的图形面积为：
，
当，时，函数的图象与轴所围成的图形面积为：
，
当，时，函数的图像与轴所围成的图形面积为：
，
此时函数的图像与轴所围成的图形面积为：．
（2）当时，，（2），
由可得：
当，时，当时取；
当，时，当时取；
当，时，当时取；
经计算可知，，且，
所以当，时，函数的最大值为
当时的最大值与中较大者，
当时，
，
而，
所以当，时，求函数的最大值为．
（3）由，函数与的图象有交点，则，
由（2）知，当，时，当时取；
所以当时，直线交各段函数，满足等比数列的通项公式，成立；
当时，设时，设和的交点为，，
且，，
当时，设两交点为，，
由此时，
所以，，
当时，设交点为，，
且，，
若为等比数列，由前三项可得：，
所以，解得或，均舍去，
所以存在，使得数列为等比数列．
【点评】本题考查数列与函数的综合应用，考查综合应用知识的能力和计算能力，属难题．
2
3
4
5
6
3
7
9
10
11
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4
0
1
2