广东省湛江市2024届高三下学期二模考试数学试题（解析版）

这是一份广东省湛江市2024届高三下学期二模考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先解出集合，再利用交集的定义求解即可.
【详解】因为，解得，
故，所以.
故选：D
2．如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设上、下底面的半径分别为厘米，厘米，高为厘米），则该青铜器的容积约为（取）（ ）

A．立方厘米B．立方厘米
C．立方厘米D．立方厘米
【答案】D
【分析】根据圆台的体积公式计算可得.
【详解】依题意可得该青铜器的容积约为（立方厘米）.
故选：D
3．函数在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
【详解】因为，所以，所以，
故在上的值域为.
故选：B.
4．若复数的实部为，则点的轨迹是（ ）
A．直径为2的圆B．实轴长为2的双曲线
C．直径为1的圆D．虚轴长为2的双曲线
【答案】A
【分析】根据复数运算化简，并根据其实部为，结合曲线方程，即可判断.
【详解】因为，所以，即，
所以点的轨迹是直径为2的圆.
故选：A.
5．已知，则（ ）
A．B．C．15D．17
【答案】D
【分析】令得到展开式系数和，再写出展开式的通项，求出，即可得解.
【详解】令，得，
又展开式的通项为（且），
所以，所以.
故选：D
6．当，时，.这个基本不等式可以推广为当x，时，，其中且，.考虑取等号的条件，进而可得当时，.用这个式子估计可以这样操作：，则.用这样的方法，可得的近似值为（ ）
A．3.033B．3.035C．3.037D．3.039
【答案】C
【分析】根据给定的信息，求出的近似值，进而求出的近似值.
【详解】依题意，，则.
故选：C
7．已知函数，，则（ ）
A．当有2个零点时，只有1个零点
B．当有3个零点时，有2个零点
C．当有2个零点时，有2个零点
D．当有2个零点时，有4个零点
【答案】D
【分析】作出函数，图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与的图象的公共点的个数，结合图象可得答案.
【详解】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数，
作出，的大致图象，如图所示.
由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；
当有3个零点时，只有1个零点；
当有2个零点时，有4个零点.
故选：D
8．在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用线面角的定义，结合正切函数的和差公式得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】如图，设，
因为在矩形中，，所以，
因为底面，
所以分别是与底面所成的角，即，
所以.
因为，
所以，解得(负根舍去)，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将看作一个整体，结合题设条件得到关于的方程，从而得解.
二、多选题
9．广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ）

A．湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B．湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C．湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D．湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万
【答案】ACD
【分析】根据极差的计算判断A；根据图示即可判断B；根据百分位数以及中位数的计算判断C，D.
【详解】由图可知，湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为(万),A正确;
这6年的常住人口前3年呈递增趋势，后三年也递增，但后三年的常住人口低于前3年，B错误.
湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，
，所以第60百分位数为730.50万，中位数为（万），C，D均正确.
故选：ACD
10．已知函数的定义域为，不恒为零，且，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．在处取得极小值
D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据条件，通过适当的赋值，即可判断出选项ABD的正误，选项C，通过取特殊的函数，即可判断出选项的正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，令，得，解得或，
当时，令，则，则，这与不恒为零矛盾，所以，故选项A正确，
对于选项B，令，则，即，
即为偶函数，所以选项B正确，
对于选项C，取，满足题意，此时不是的极小值点，所以选项C错误，
对于选项D，令，得，
若，则，则，
则，所以选项D正确，
故选：ABD.
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】BC
【分析】利用两点距离公式将题干中复杂式子转化为几个点间的距离，结合抛物线的定义，作出图形，数形结合即可得解.
【详解】设，
易知点的轨迹是抛物线的上半部分，
抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，
对于AB，
，
所以的最小值为，故A错误，B正确；
对于CD，
，
所以的最小值是，故C正确，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是转化根号内的式子，联想到两点距离公式，从而数形结合即可得解.
三、填空题
12．若向量，，//，则 ， .
【答案】 9
【分析】利用平面向量的坐标运算求解第一空，利用对数的运算性质求解第二空即可.
【详解】因为//，所以，解得，
所以.
故答案为：；
13．财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米.
【答案】204
【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出的边长关系，解方程求解即可.
【详解】设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，所以.
因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米.
由余弦定理，可得，
即，解得.
故答案为：204
14．已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用椭圆的定义构造齐次不等式求解离心率范围即可.
【详解】因为，所以，
则，所以，
则，又.
所以C的离心率的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
15．甲､乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为，且每局的胜负相互独立，
(1)求该比赛三局定胜负的概率；
(2)在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）分析三局定胜负的情况，利用独立事件的概率公式即可得解；
（2）根据题意得到的可能取值，再根据相应取值的比赛情况求得对应概率，从而得到的分布列，进而求得其数学期望，从而得解.
【详解】（1）该比赛三局定胜负意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢，
则该比赛三局定胜负的概率为.
（2）依题意，的可能取值为2，3，4，
则，，
，
则的分布列为
故.
16．如图，在直三棱柱中，，，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，则为的中点，连接，则，根据线面平行的判定定理证明即可.
（2）建系，利用二面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）
连接交于点，则为的中点，
连接，因为为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为，为的中点，所以，且，
因为以为直径的球的表面积为，
所以，解得，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，竖直向上为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量为，
则，
令，得，
，设平面的法向量为，
则，
令，得，
因为，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17．在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，
(1)计算；
(2)设数列满足，求的通项公式；
(3)设排列满足，求，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解；
（2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解；
（3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，
与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，
所以.
（2）由（1）中的方法，同理可得，
又，所以，
设，得，
所以，解得，则，
因为，
所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，
所以，则.
（3）因为，
所以，
所以，
所以.
18．双曲线上一点到左､右焦点的距离之差为6，
(1)求双曲线的方程，
(2)已知，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，
【答案】(1)
(2)是定值，定值为
【分析】（1）利用双曲线的定义与点在双曲线上得到关于的方程，解之即可得解；
（2）假设直线方程，联立双曲线方程得到，再由题设条件得到直线与的方程，推得两者的交点在定直线上，从而得解.
【详解】（1）依题意可得，解得，
故双曲线的方程为.
（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，消去，得，
则，，
设，则，
又，
直线，直线，
联立，
两式相除，得
，
即，解得，
所以点在定直线上，
因为直线与直线之间的距离为，
所以点到直线的距离为定值，且定值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，且，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用到数的几何意义，即可求得答案；
（2）设，，，原不等式即为，利用的单调性，继而转化为，继而再构造函数，利用函数的单调性证明结论.
【详解】（1）由，得，
则，，.
故曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）证明：由，，且，不妨设，，，
则证明等价于证明，，
即证，从而构造函数，利用其调性证明结论.
令，则，当时，，在单调递减，
故，，即，，
则
，
要证，
只需证.
令，则，
令，得.
令，，则，
令，，则在上恒成立，
则，则在上恒成立，则在上单调递增.
当时，，则，
则，在单调递减，
当时，，则，
则，在单调递增.
因为，所以，即在上恒成立，
从而.
【点睛】难点点睛：本题查了导数的几何意义的应用以及利用导数证明不等式，难点就在于不等式的证明，解答时要将原不等式转化为，继而构造函数，利用单调性证明成立.
2
3
4