2024年河南省信阳市罗山县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 在实数0，，，中，最大的数是（ ）
A. B. C. 0D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数比较大小，根据负数小于0，0小于正数，进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴最大．
故选A．
2. 春满中原“吉祥年”，老家河南“龙抬头”，2024年春节假期，河南省文旅系统充分挖掘整合优质文旅盛宴，我省春节假期累计接待游客5021.6万人次，数据“5021.6万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：5021.6万，
故选D．
3. 信阳是河南省南部的一座城市，被誉为中国唯一“永久宜居城市”，因其空气好、水质好、生活节奏慢、历史文化底蕴深厚著称，亭台曲桥的修建更是增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光，如图，修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A. 垂线段最短B. 两点之间，线段最短
C. 两点确定一条直线D. 平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线，两点之间线段最短是解答本题的关键．根据两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：“两点之间，线段最短”一般用来缩短路程，曲桥则是用此增加路程．
故选B．
4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】、
本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，先由平行线的性质得到，再由对顶角相等得到，则由三角形外角的性质可得．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选B．
5. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查单项式除单项式、幂的乘方、平方差公式、完全平方公式，据单项式除单项式、幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐项排除即可．
【详解】A.原式，不正确；
B.原式，正确；
C.原式，不正确；
D.原式，不正确.
故选：B．
6. 为了选拔二名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差．
根据表中数据，应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由平均数，方差作决策，先由平均数可得从甲和丙中选择一人参加比赛，再由丙的方差小于甲的方差，从而选择丙去参赛．
【详解】解：∵甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差小于甲的方差，
∴选择丙参赛，
故选：C．
7. 河南省教育厅高度重视安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率和概率公式，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图得到所有的组合情况，只有C卡片正面是轴对称图形，找出没有轴对称图形的情况，用概率公式计算即可求解．
【详解】把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图，如图：
共有12种情况，都是等可能性，这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的情况有6种（只有C卡片正面是轴对称图形），则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是．
故选：A．
8. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆．连接，根据，可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的外接圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9. 如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据图象即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵函数和的图象交点为，
∴当时，，
故选：．
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点A，B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，且，当B在x轴的正半轴上运动时，点A随之在y轴的正半轴上运动，菱形的形状保持不变，求在运动过程中，点D到点O的最大距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线，运用勾股定理，利用三角形三边关系找到何时距离为最大值是解题的关键．取的中点E连接、，作垂直的延长线于点F，求出，，然后利用三角形三边关系，当O，E，D在同一条直线上时，点D到点O的距离最大即可求解．
【详解】如图，取的中点E连接、，

，．
∴，
作垂直的延长线于点F，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
在运动过程中，当O，E，D在同一条直线上时，点D到点O的距离最大为．
故选B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个使式子有意义的m的值：_________．
【答案】3（答案不唯一，且均可）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数及分母不可为零是解题的关键．
根据二次根式非负性以及分母不为零即可得到结果，
【详解】由题意得，
解得：且，
故答案为：3（答案不唯一，且均可）．
12. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是_____元．
【答案】53
【解析】
【分析】设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：53
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键.
13. 关于的一元二次方程的实数根情况为______．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
14. 如图，小兰房间窗户是由六个边长均为米的正方形构成，小兰在窗户上方挂上了两个四分之一圆组成的装饰物，则窗户能射进阳光的部分的面积是_________．（窗框面积忽略不计，结果保留）

【答案】平方米
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算；根据题意分别计算出六个正方形面积的和、两个扇形面积的和，其差即为所求．
【详解】解：因为六个正方形的面积为（平方米），窗帘的面积为（平方米）．
所以窗户能射进阳光的部分的面积是平方米．
答案：平方米．
15. 如图，在中，，，，O为的中点，D为边上的动点，连接，将沿翻折得到，当时，线段的长为_________．
【答案】1或7
【解析】
【分析】分两种情况考虑，利用勾股定理，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识即可求解．
【详解】解：在中，由勾股定理，得．
∵O为CB的中点，
∴．
当时有如下两种情况：
①如图1，过O作交于点E，过作垂足为点N，
则，
∴，,
∴，
∴为的中位线，
∴．
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，即，得，
∴，，
故；
②如图2，过O作交AC于点E，与①同，有E是的中点，
∴，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
故．
答案：1或7．
【点睛】本题考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，折叠的性质，等腰三角形的判定，三角函数等知识，灵活运用这些知识是解题的关键；注意分类讨论、构造适当的辅助线．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，整式的乘法，减法，乘法公式，熟练掌握知识点以及运算法则是解题的关键．
（1）利用零指数幂，负整数指数幂，立方根的定义分别化简计算即可；
（2）利用平方差公式，完全平方公式化简，再合并即可．
【详解】解：（1）.
；
（2）
．
17. 电动车在楼道或室内充电存在重大安全隐患，某校综合实践活动小组为了解某社区电动车充电情况，在本社区有电动车的家庭中随机抽查了500户进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）若该社区共有3000户家庭中有电动车，请你估计不在公共充电处充电的家庭大约有多少户？因小区公共充电设备少而不在公共充电处充电的大约有多少户？
（2）根据调查结果，活动小组计划撰写调查报告，请你帮忙写出两条合理化建议．
【答案】（1）不在公共充电处充电的家庭大约有1680户，因小区公共充电设备少而不在公共充电处充电的大约有720户；
（2）见解析．
【解析】
【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，并从图中获取信息，然后再进行有关计算．
（1）用3000乘在B．楼道 C．家里所占的百分比和就可估计不在公共充电处充电的家庭数．再根据条形图计算出原因B．小区公共充电设备少，不够用在样本中的百分比，进而求出原因B的该社区总户数；
（2）根据调查结果提出合理、健康、积极的建议即可．
【小问1详解】
（户），
（户）
答：不在公共充电处充电的家庭大约有1680户，因小区公共充电设备少而不在公共充电处充电的大约有720户．
【小问2详解】
建议小区增加充电设备；建议加大“在楼道或家里充电存在重大安全隐患”的宣传力度．
18 已知线段．
（1）尺规作图：如图，作线段的垂直平分线，交于点O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）基础上，在上截取，且点C与D不重合，连接．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②延长到E，使，连接交于点F，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2）①四边形为菱形，理由见解析；②．
【解析】
【分析】（1）按作线段垂直平分线的步骤进行即可；
（2）对角线互相垂直的平形四边形是菱形证明即可；根据条件证明即可求解．
【小问1详解】
线段的垂直平分线，如图所示，
【小问2详解】
①解：四边形为菱形，
由作图知，垂直平分
∴
∵
∴四边形为平行四边形
∵
∴四边形为菱形；
②解∵四边形为菱形
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了作图：作线段垂直平分线，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，把握菱形的判定的关键．
19. 郑州市政府坚持以人民为中心的发展思想和“人民至上、生命至上”理念，未雨绸缪好过亡羊补牢，对京广路隧道考虑增加多种安全措施，排除安全隐患．根据各段隧道空间情况，在不影响交通的情况下，加装了大小、形状不一的19条人行逃生爬梯．如图1，起初工程师计划修建一段坡角为50°（即，）的爬梯，从安全角度再次考虑，工程师对爬梯的设计进行了修改，如图2，修建了、两段平行的爬梯，并在中间修建了1米的水平平台，点C、B、F三点共线，小明实地测量后得到为4米，为5米．
（1）求修改后的爬梯坡角比修改前坡角减缓了多少度？
（2）求修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：，，）
【答案】（1）修改后的爬梯坡角比修改前坡角减缓了5度；
（2）修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离为1.6米．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用；
（1）先构造平行四边形，可得，，再根据特殊角的三角函数求出，进而得出答案；
（2）根据求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：延长交于点G，如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：修改后的爬梯坡角比修改前坡角减缓了5度；
【小问2详解】
在中，，
∴（米），
∴（米）．
答：修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离为1.6米．
20. 在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是______．
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）直线与y轴交于D，与（1）中的函数交于E、F（E的横坐标小于F的横坐标）两点，点P是y轴上的点，的面积等于的面积，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数性质，反比例函数的应用，根据三角形的面积公式求出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意平面直角坐标系中画出该函数图象即可；
（3）求得于D，E，F的坐标，利用割补法求得，根据设点P的坐标为，则，利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2，
∴，
∴，
∴y关于x函数关系式是，
x的取值范围为，
∴y关于x的函数关系式是；
【小问2详解】
解：列表得：
描点，连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示．
；
【小问3详解】
解：联立，即，
解得或，
当时，；时，；时，；
∴，，，
∴，
设点P的坐标为，
∴，
由题意得，即，
解得或，
∴点P的坐标为或．
21. 为了解决初中生画图难、画图不准的问题，数学杨老师设计了初中专用套尺，并申请了国家专利，打印出来后，发现非常实战好用．为让厂大初中生受益，杨老师决定借贷万元投入生产，咨询了甲、乙两家工厂．甲工厂方案：制作模具需万元，另加收每套尺子的费用元；乙工厂方案：每套尺子的生产费用元，不收其他费用．杨老师分别计算后发现，这两个厂刚好都是用万元，且生产出来的尺子套数相同．
（1）求；
（2）如果杨老师采用了甲厂的方案，问共生产了多少套尺子？
（3）杨老师按元/套的价格售卖，去年因不会销售，仅售出千套，则今年至少卖出多少套才能开始盈利．
【答案】（1）的值为
（2）共生产了万套尺子
（3）今年至少卖出万套才能开始盈利
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用以及求代数式的值，找出等量关系及不等关系列方程和不等式是解题的关键．
（）根据两个厂刚好都是用万元，且生产出来的尺子套数相同列分式方程求解即可；
（）把，代入即可得解；
（）设今年卖出万套，根据两年的销售额之和不小于万元列不等式得求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，列方程得：
，
解得，
经检验是原分式方程的解，
答：的值为；
【小问2详解】
解：由（）知，代入中，得（万套），
答：共生产了万套尺子；
【小问3详解】
解：设今年卖出万套，根据题意列不等式得：
，
解得：，
答：今年至少卖出万套才能开始盈利．
22. 跳大绳是天家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状，有一次跳大绳，甲、乙两人的手、离地面高度都为1米，现以地面为轴，过点向地面作的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，米，绳子甩到最高处点离地面2.8米，此时所有点都处于同一平面内．
（1）求此时绳子所对应的抛物线表达式；
（2）身高1.55米的小红跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？
（3）若身高与小红相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？
【答案】（1）
（2）她离A点的水平方向上最小距离为0.5米，最大距离为5.5米
（3）此绳最多可容纳6人一起跳
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得抛物线解析式是解题关键．
（1）由抛物线的对称性确定顶点，设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）令，可得，求解即可获得答案；
（3）首先计算出满足条件的两点距离，结合同学之间的间距，即可获得答案．
【小问1详解】
解：根据题意，由抛物线的对称性可知顶点，
设抛物线解析式为，
把点代入中，
解得，
∴绳子所对应的抛物线表达式为；
【小问2详解】
当时，，整理得，
解得：，，
∴她离点的水平方向上最小距离为0.5米，最大距离为5.5米；
【小问3详解】
米，，
答：此绳最多可容纳6人一起跳．
23. 【综合与实践】
生活常识：一张纸的宽为21，长为，小明拿出了一张矩形纸，在长上点了一个点E，使，点F为宽边的动点，小明将沿翻折，点A落在点P处，分别延长、交纸的边于点M、N．
（1）如图1，当时，则的长为_________；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）当点N与矩形纸某一顶点重合时，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）求出，根据翻折可知：，，，再证明矩形是正方形，问题得解；
（2）先证明，即有，且，则有，再证明即可；
（3）先求出，，由折叠，，，分两种情况：①当点N与点C重合时，如图，设，求出，，根据可得，解方程即可；②当点N与点D重合时，可得中，，即有，．
【小问1详解】
在矩形中，，，，
∵，，
∴，
根据翻折可知：，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：在矩形中，，
由折叠，
∴
∴，
∵，
∴在中， ，
∴，
∴，
∴且，
∴，
在与中
∴；
【小问3详解】
在矩形ABCD中，，，
又∵，
∴，；
由折叠，，，
分两种情况：
①当点N与点C重合时，如图，设，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
解得；
②当点N与点D重合时，如图，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
综合①②，的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，问题的难点在第三问，画出图形，注意分类讨论，是解答本题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
155
150
155
150
方差
4.7
2.2
2.3
6.1
调查问卷
1．家里的电动车一般在何处充电（ ）
A．公共充电处 B．楼道 C．家里
如果你第1题没有选择A，请回答第2题．
2．（单选）电动车不在公共充电处充电的主要原因是（ ）
A．找不到公共充电设备，或不会使用 B．小区公共充电设备少，不够用
C．习惯在家里充电，省钱 D．楼道扯根电线充电，骑行比较方便
x
1
2
4
6
y
6
4
2
1