2024年中考数学考前冲刺复习专题02求最值中的几何模型(含答案)

这是一份2024年中考数学考前冲刺复习专题02求最值中的几何模型(含答案)，共47页。试卷主要包含了浙江）等内容，欢迎下载使用。
题型解读
模型01 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型．在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；②两点之间，线段最短； ③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识．
模型02 建桥选址模型
建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．
模型03 胡不归模型
胡不归PA＋k·PB”型的最值问题：当k等于1时，即为“PA＋PB”之和最短问题，可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k不等于1时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路．此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类，一般分为两类研究．即点P在直线上运动和点P在圆上运动．其中点P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题．
模型构建
模型01 将军饮马模型
考｜向｜预｜测
将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中高档题为主．本题考查的是轴对称－－最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
（1）点A.B在直线m两侧
两点连线，线段最短
例1.（2023·四川）
1．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为 ．
（2）点A.B在直线同侧
例2.（2022·安徽）
2．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（ ）
A．6B．6C．3D．3
模型02 建桥选址模型
考｜向｜预｜测
建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
答｜题｜技｜巧
（1）两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA＋PQ＋QB的最小值为AB．
例1.（2022·湖北）
3．如图，在中，，，，以为边向左作等边，点为中点，连接，点分别为上的动点．求的最小值为 ．
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA＋PQ＋QB的最小值为AB’．
例2.（2023·山东）
4．如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为 ．
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A.B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点P、Q，则PA＋PQ＋QA的最小值为A’B’．
例3．（2023.浙江）
5．如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ．
模型03 胡不归模型
考｜向｜预｜测
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握．本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握．在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短．
答｜题｜技｜巧
例1.（2023·江苏）
6．如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于 ．
强化训练
（2023·江苏扬州）
7．如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ）
A．B．C．D．
（2023.浙江）
8．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．

（2022·安徽）
9．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ．
（2023·广东）
10．如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
（2023·江苏）
11．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．

（2023·浙江）
12．已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点（Fermat pint）．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则（ ）
A．B．C．6D．
（2023·浙江）
13．如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（ ）

A．B．C．D．
（2023·四川）
14．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
（2023·湖南）
15．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A.B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
（2023·陕西）
16．在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．
问题提出：
(1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接与，使的值最小．

问题探究：
(2)如图2所示，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接和，则的最小值是___________；

问题解决：
(3)某地有一如图3所示的三角形空地，已知，P是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点分别是边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．

通关试练
（2023·山东）
17．如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．
（2023·上虞市）
18．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15B．30C．45D．60
（2023·山东）
19．如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
（2023·四川）
20．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
（2023·湖北）
21．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ．
（2023·北京）
22．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为 .

（2023·广东）
23．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为 ．
（2023·广东）
24．如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
（2023·内蒙古）
25．如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是 ．
（2023·浙江）
26．如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．

（2023·广东）
27．如图所示，已知O为坐标原点，矩形（点A与坐标原点重合）的顶点D.B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点E．

(1)求点坐标．
(2)试在x轴上找点P，使的长度最短，请求出这个最短距离．
（2023·吉林）
28．数学兴趣活动课上，小致将等腰的底边与直线重合．
（1）如图(1)，在中，，点在边所在的直线上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现的最小值是____________．
（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当最短时，如图(2)，在中，作平分交于点点分别是边上的动点，连结小致尝试探索的最小值，小致在上截取使得连结易证，从而将转化为转化到（1）的情况，则的最小值为 ；
（3）解决问题：如图(3)，在中，，点是边上的动点，连结将线段绕点顺时针旋转，得到线段连结，求线段的最小值．
（2023·河南）
29．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．

(1)观察发现
如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短．
作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______．
(2)实践运用
如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值．
(3)拓展迁移
如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值．
第一步：
观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移
第二步：
同侧做对称点变异侧，异侧直接连线
第三步：
结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点
第四步：
利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型
第一步：
观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；
第二步：
分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）
第三步：
周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；
第四步：
利用有理数的运算解题
第一步：
构造与kPB相等的线段，将“PA＋kPB”型问题转化为“PA＋PC”型；
第二步：
借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；
第三步：
利用“垂线段最短”原理构造最短距离；
第四步：
数形结合解题
参考答案
1．6
【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．
【详解】解：连接BE，与AD交于点M．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴B.C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，
则BE就是EM+CM的最小值．
∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线
∴BE=AD=6，
∴EM+CM的最小值为6，
故答案为：6．
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置．
2．D
【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，这样AP＋PQ转化为AP＋PE即可得出答案．
【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BP＝BP，BE＝BQ，
∴△BPQ≌△BPE（SAS），
∴PE＝PQ，
∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，
当AP＋PE＝AH时最小，
在Rt△ABH中，
AB＝6，∠ABC＝60°，
∴AH＝AB•cs60°＝，
∴AP＋PQ的最小为，
故选：D．
【点拨】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到BD的另一侧．
3．4
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质．根据题意，连接，先证，，故，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，点为中点，
∴
∵
∴
∴是等边三角形
是等边三角形
，
垂直平分
同理可得：垂直平分
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，
故的最小值为4．
故答案为：4．
4．10
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵直线是中边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为，
∴的最小值为，
即的周长的最小值为10，
故答案为：10．
5．
【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质．作点关于的对称点，则，作点关于的对称点，则，则，当四点共线时，最小,具体见详解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，则，
作点关于的对称点，则，
∴
当四点共线时，最小，
连接，
∵
则,
∴
∵,
过作垂直的延长线交于点，
∴
在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知，
则，
∴
即的最小值为．
故答案为：．
6．
【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得，即，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，再利用解直角三角形，即可求得．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵，
∴∠EDP=∠DAB=45°，
∴，
∴，
∴，
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
7．D
【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，据此判断即可．
【详解】解：由选项D中图可知：
作点关于直线的对称点，连接交于点，
由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，的距离最短，
故选：D
8．
【分析】过E作，交于，连接交于，连接，推出为中点，求出和关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案．
【详解】解：过E作，交于，
，，
，
，
，
是边上的中线，是等边三角形，
，
，
，
，
和关于对称，
连接交于，连接，
则此时的值最小，
∵是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
9．5
【分析】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，当C.M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，由题意可知△OCD是等边三角形，则CD＝5即为所求．
【详解】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，
∴CM＝MP，NP＝DN，
∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，
∴当C.M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，
∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OP，
∵P（5，0），
∴OP＝5，
∴CD＝5，
∴△PMN的周长最小值为5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了图形的对称、等边三角形的判定与性质、两点间线段最短等知识，作点P分别关于OA.OB的对称点是关键，把求三角形周长的最小值转化为两点间线段的长度．
10．####7.2
【分析】过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，先根据角平分线的性质得到，进而根据证明，再根据证明，然后根据证明，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，此时取最小值，如图所示．
在中，．
∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
延长，交于F，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是，
故答案为．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，

则此时最小，过点B作交延长线于点E，
∵，，．
∴，，
∴，，
在中，
，
则的最小值为．
故答案为：．
12．B
【分析】此题主要考查了解直角三角形．过点D作于点M，过E.F分别作，则，点P就是费马点，，，求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点M，过E.F分别作，则，点P就是费马点，，，
等腰直角三角形中， ，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
13．A
【分析】延长，过点B作交于点P，根据平行四边形的性质得出，结合勾股定理可得，，最后根据即可求解．
【详解】解：延长，过点B作交于点P，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，则，
同理可得：，
∴，
∴当点E.P、B在同一条直线上时，的值最小，
∵，
∴．
故选：A．

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，以及垂线段最短．
14．D
【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，
∴，
∵
＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为12，
故选：D．
【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
15．(1)
(2)，图和理由见解析
【分析】（1）作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接，先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论；
（2）作点C关于直线的对称点，作于N，交于M，连接，根据等边三角形的性质解答．
【详解】（1）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接，
由勾股定理得， ，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值．
故答案为：；
（2）解：如图3，作点C关于直线的对称点，作于N，交于M，连接，
则，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点拨】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
16．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）作点关于的对称点，连接得到交点即为所求，
（2）利用正方形的性质，得到，从而得到答案，
（3）利用等腰三角形的性质，作两次轴对称，得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，当P点在如图所示的位置时，的值最小；

（2）解：如下图所示，

∵四边形是正方形，
∴垂直平分，
∴，
由题意易得：，
当D.P、E共线时，在中，根据勾股定理得，．
（3）解：如下图所示，分别作点P关于，的对称点，连接，交，于点，连接，此时周长的最小值等于．

由轴对称性质可得，，
∴，
在中，
即周长的最小值等于．
【点拨】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键．
17．A
【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得出点，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，可知当时，取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，设交于点，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，
∵，，
∴，,
∴是等腰直角三角形，
∴此时是直角三角形，且是斜边，
∵,
∴，
∴的对角线的最小值是，
故选：A．
【点拨】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18．B
【分析】分别作点P关于OA.OB的对称点C.D，连接CD，分别交OA.OB于点M、N，连接、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】分别作点P关于OA.OB的对称点C.D，连接CD，
分别交OA.OB于点M、N，连接、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故选：B．
【点拨】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．
19．B
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，
∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，
∴BE＝，
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，
∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△EFA（AAS），
∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，
故选B．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
20．B
【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解．
【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，
此时PM+PC最小，连接CP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AC⊥BD，
∴C和A关于BD对称，
∴AP=PC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM=30°，
∴BM=1，
∴AM=，
∴PM+PC=AM=．
故选B．
【点拨】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置．
21．18
【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．
【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，
∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，
∵△PMB周长=PM+PB+BM，
∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，
∵PM=PC，
∴满足PC+PB最小即可，
显然，当P、B.C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，
此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，
∴△PMB周长最小值即为BC+BM，
此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，
由题意，AD为∠BAC的角平分线，
∴DS=DT，
∵，，
∴，
即：，
∴，
解得：AB=14，
∵AM=AC=6，
∴BM=14-6=8，
∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，
故答案为：18．
【点拨】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．
22．3
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
【详解】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
【点拨】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
23．3
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,
∴∠DAC＝∠CAB＝30°,
∴PE＝AP;
∵∠DAF＝60°,
∴∠ADF＝30°,
∴AF＝AD＝×6＝3;
∴DF＝3;
∵AP+PD＝PE+PD,
∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,
PE+DP的值最小，最小值为DF的长,
∴AP+PD的最小值为3.
故答案为：3.
【点拨】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.
24．
【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点．根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B.E.F三点共线时，，此时的值最小，为BF．再证四边形是矩形，由矩形的性质可知，，在
中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值．
【详解】
如图，作，连接，过B点作的延长线与G点，
，且，
，
，
．
，
∴当B.E.F三点共线时，，此时的值最小，为．
，
．
又，，
∴四边形是矩形，
，，
，
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键．
25．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，
∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，
∴△ADB是等边三角形，
∵∠MAE=30°，
∴AM=2ME，
∵MD=MB，
∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为8，
∴DE=，
∴2DE=8．
∴MA+MB+MD的最小值是8．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
26．18
【分析】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，则且，于是为平行四边形，故；根据“两点之间线段最短”，最短，即最短，也就是最短，据此求解即可．
【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C，
则且，于是为平行四边形，

故，
当时，最小，也就是最短，
∵（米），（米），（米）
∴在中，（米），
∴的最小值为：（米）
故答案为：18 ．
【点拨】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
27．(1)；
(2)的长度的最短距离为．
【分析】（1）由点坐标，求得矩形的边长，连接，与交于点，过作于点，由三角形的面积公式求得，设，由勾股定理列出的方程求得，再求得，便可得点的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，根据两点距离公式求出便可．
【详解】（1）点的坐标为，
，，
连接，与交于点，过作于点，

由折叠知，，，，
，
，
，
设，则，
，
即，
解得，，即，
，
；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，
，
，
故的长度的最短距离为．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短，第（1）题关键在于构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，第（2）题关键在于确定点的位置．
28．（1）2；（2）；（3）3．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）根据小致的思路，把将转化为即P，E，N三点共线且时的值最小；
（3）在上取一点，使得，连接，．由，推出，易知时，的值最小，求出的最小值即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点A作，此时AP的值最小．
∵，
，
，
故答案为：2．
（2）根据小致的思路作出图形，可知当时的值最小，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）如图3中，在上取一点，使得，连接，．
，，
，
，
，
，，
，
，
时，的值最小，最小值为3，
的最小值为3．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
29．(1)
(2)的最小值为
(3)①；②点M的坐标为；周长的最小值为
【分析】（1）过点A作于点M，作于点N，求出，，，证明四边形为平行四边形，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案；
（2）取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，证明，根据，利用勾股定理求出即可；
（3）①先利用对称性求出点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式即可；
②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，根据勾股定理求出周长的最小值为；求出直线的解析式为，把代入求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解：过点A作于点M，作于点N，如图所示：

则，
∵四边形为等腰梯形，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
（2）解：取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，如图所示：

∵A关于的对称点，为直径，
∴点在上，
∵，
∴，
∵点A关于的对称点，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵直径，
∴，
∴，
即的最小值为．
（3）解：①∵抛物线的对称轴为，且抛物线经过，
∴抛物线与x轴的另外一个交点B的坐标为：，
∴抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，如图所示：

∵点A.B关于直线对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴最小，即最小，
∵为定值，
∴此时的周长最小，
∵，，
∴周长的最小值为；
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴点M的坐标为．
【点拨】本题主要考查了将军饮马问题，二次函数的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，求出二次函数解析式，求一次函数解析，解题的关键是理解题意，数形结合，作出相应的辅助线．