2024年中考数学考前冲刺复习专题03与圆有关的计算之求阴影部分面积(含答案)

这是一份2024年中考数学考前冲刺复习专题03与圆有关的计算之求阴影部分面积(含答案)，共43页。


模型01 阴影部分面积计算
求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度．一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键．
模型02 阴影部分周长计算
求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键．
模型03 与最值相关的计算
阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题．
模型构建
模型01 阴影部分面积计算
考｜向｜预｜测
阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主．解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·四川）
1．一个商标图案如图中阴影部分，在长方形中，，，以点A为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点F，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·湖北）
2．如图，在中，，是边上一点，以为圆心的半圆分别与边相切于两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．
模型02 阴影部分周长计算
考｜向｜预｜测
阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键．但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·河北）
3．如图，正方形的边长为2，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．
例2．（2023·浙江）
4．如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．
模型03 与最值相关的计算
考｜向｜预｜测
圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握．该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·江苏）
5．如图，点C为圆O上一个动点，连接，，若，则阴影部分面积的最小值为（ ）

A．B．C．D．
例2．（2022·浙江）
6．如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．8πB．C．8π﹣16D．
例3．（2023·吉林）
7．如图，在中，，，，以直径作圆，为边的垂直平分线上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为 ．
强化训练
（2023·江苏）
8．如图，在中，，以O为圆心的半圆分别与边相切于两点，且O点在边上，则图中阴影部分面积（ ）
A．B．C．D．
（2022·湖北）
9．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．
A．B．C．D．
（2023·安徽）
10．如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且，则阴影部分面积与圆的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
（2022·广西）
11．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）
A．2π﹣4B．4π﹣8C．D．
（2023·山东）
12．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB.两点，分别以AB.两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）
A．B．C．πD．4π
（2023·山西）
13．如图，在中，，，点O在上，以为圆心作圆与相切于点D，与、相交于点E.F；连接、，若的半径为2．则阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
（2023·黑龙江）
14．如图，中，，，分别以点，为圆心，，的长为半径作圆，分别交于点，则弧弧和线段围成的封闭图形（图阴影部分）的面积 （结果保留）
（2022·河南）
15．在矩形中，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2），则阴影部分周长是 ．
（2022·内蒙古）
16．如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
(1)求证：是圆的切线；
(2)已知，，求长度及阴影部分面积．
通关试练
17．如图，在以点O为圆心的半圆中，AB为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AB中点，在AD上取一点G，以点G为圆心，GD的长为半径作圆，该圆与BC边相切于点F，连接DE，EF，则图中阴影部分面积为（ ）
A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2
19．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )
A．B．C．D．
20．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2-π）cm2B．（π-）cm2C．（4-2π）cm2D．（2π-2）cm2
21．如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以O，E为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（ ）
A．πB．C．D．
22．如图，在半径为2.圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）

A．B．C．D．
23．如图，矩形中，，F是中点，以点A为圆心，为半径作弧交于点E，以点B为圆心，为半径作弧交于点G，则图中阴影部分面积的差为（ ）
A．B．C．D．6
24．如图，在半径为4的扇形OAB中，，点C是上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
25．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、若圆半径为则阴影部分面积 ．
26．如图，在中，，，点为上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，交于另一点，点为优弧上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ．
27．如图，点C为圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．
28．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值= ．
29．如图，扇形中，，，为弧的中点，点为上一动点，连接，当阴影部分周长最小时，等于 ．
30．如图，扇形AOB中，，切弧AB于点C，切OA，OB分别于点D，E，若，则阴影部分面积的周长为 ．
31．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分（边扫过的图形）的周长为 ．
32．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积．
33．如图，在△ABC 中，AB＝AC, 以AB 为直径作圆，分别交AC, BC于点D.E．
(1)求证：BE＝CE;
(2)当∠BAC＝40°时，求∠ADE 的度数；
(3)过点E作圆的切线，交AB的延长线于点F,当AO＝BE＝2时,求图中阴影部分面积．
34．如图，中，的平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分面积．
第一步：
确定弧所对的圆心，（找圆心）
第二步：
连接圆心与弧上的点；（连半径）
第三步：
确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假设小心论证）
第四步：
把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解
第一步：
观察图形特点，确定弧长和线段长；
第二步：
利用弧长公式求长度；
第三步：
求图形中其它边的长度；
第一步：
观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）
第二步：
利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化
第三步：
牢记弧长公式，求对弧长和线段长；
第四步：
利用数形结合思想注意确定最值；
参考答案：
1．A
【分析】本题考查有理数混合运算的应用，圆的面积，阴影部分的面积等于长方形的面积加上圆形的面积，再减去的面积．
【详解】解：由题意知，，
阴影部分的面积
，
故选A．
2．##
【分析】连接，，可证四边形是正方形，设，则，证明，通过对应边成比例求出r，则阴影部分面积之和等于减去，再减去和所包含扇形的面积之和．
【详解】解：如图，连接，，
以为圆心的半圆分别与边相切于两点，
，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
，
，
和所包含扇形的面积之和为：，
图中两个阴影部分面积的和为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，扇形面积计算等知识点，解题的关键是证明，求出半径r．
3．
【分析】连接、，作于，根据等边三角形的性质得到，解直角三角形求出、，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接、，作于，
，
为等边三角形，
，，
∴，
∴阴影部分①的周长
阴影部分①②的总面积
，，
故答案为：；．
【点拨】本题考查的是扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，正方形性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
4．
【分析】由图可知，阴影部分的周长是两个圆心角为、半径为a的扇形的弧长，可据此求出阴影部分的周长．
【详解】解：四边形是正方形，边长为，
，，
树叶形图案的周长．
故答案为：．
【点拨】本题考查了弧长的计算，关键是牢记弧长公式．
5．C
【分析】连接、连接，根据等腰直角三角形的性质求出，进而得到的长，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接，，，，

要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形的面积最大，只需满足的面积最大即可，
从而可得当点位于弧的中点时，的面积最大，
连接，则于，
，
，
，
扇形的面积，
阴影部分面积的最小值，
故选：C．
【点拨】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、等腰直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
6．D
【分析】由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，求出A'B'的长，∠A'OB'的大小即可解决问题．
【详解】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（2，2），
∴OP==2 ，
∵OA'=OB'=，
∴PA'=PB'= ，
∴tan∠A'OP=tan∠B'OP== ，
∴∠A'OP=∠B'OP=60°，
∴∠A'OB'=120°，
∴S阴=S扇形OA'B'-S△A'OB''= ，
故答案为：D．
【点拨】本题考查扇形的面积的计算、勾股定理以及垂径定理等知识，解题的关键是理解当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，属于中考常考题型．
7．
【分析】首先根据垂直平分线的性质将的长度转化为的长度，求出的最小值，然后根据直角三角形的性质求出AP和CP的长，并证明是等边三角形，据此求出圆心角的大小，即可计算出的长度，用的长度加上的长度即为阴影部分的周长.
【详解】解：如图，连接，连接BP
∵为边的垂直平分线上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴,
∴
∴当动点P与点E重合时最小，此时最小，
∵，，，
∴，,
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴阴影部分的周长最小值为.
故答案为.
【点拨】本题主要考查弧长的计算以及利用垂直平分线的性质求两线段长度和的最小值，阴影部分的周长可以分为和两部分的长度分别计算然后求和即可.
8．D
【分析】连接， 设与交于M、N两点，易得四边形是正方形，即可得到，然后设，由，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，然后根据求解即可．
【详解】解：连接，设与交于M、N两点，
∵分别切于D.E两点，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
设，则，．
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴
．
故选D．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质，正方形的判定与性质，以及扇形的面积，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
9．C
【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝.
故选：C．
【点拨】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
10．B
【分析】根据题意，设正六边形的边长为1，进而求出圆的面积以及圆的内接正六边形面积，进一步计算可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，，
设正六边形的边长为1，则，，
∴为等边三角形，则，，，
∴，
又∵，
∴，则，
∴，即圆的半径为，
所以圆的面积为，正六边形的面积为，
则阴影部分面积与圆的面积之比为，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆面积的计算，正六边形的性质，正确作出辅助线和正确的识别图形是解题的关键．
11．D
【详解】由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，
∵P（ ，），
∴OP=2，∵OA=OB=4，
∴PA=PB=2，
∴tan∠AOP=tan∠BOP=，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S阴=S扇形OAB﹣S△AOB== ，
故选D．
12．C
【分析】先利用切线的性质得到⊙A的半径为1，再根据反比例函数图象的对称性得到点B的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B的半径为1，则可判断⊙A与⊙B关于原点中心对称，⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分的面积相等，所以图中两个阴影部分面积的和等于⊙A的面积，然后根据圆的面积公式计算．
【详解】解：∵点A的坐标为（2，1），且⊙A与x轴相切，
∴⊙A的半径为1，
∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点，
∴点B的坐标为（-2，-1），
同理得到⊙B的半径为1，
∴⊙A与⊙B关于原点中心对称，
∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分完全重合，
∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分的面积相等，
∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．
故选C．
【点拨】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①第二、四象限的角平分线y=-x；②第一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．
13．C
【分析】连接，，证明，推出，再证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：连接，．
∵与相切，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选C．
【点拨】本题考查了切线的性质，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
14．
【分析】根据，，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了扇形的面积．解题的关键在于正确表示阴影部分的面积．
15．##
【分析】根据折叠和直角三角形的边角关系可求出∠ABE=45°，进而求出阴影部分所在的圆心角的度数为90°，求出和BF的长再进行计算即可．
【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O，如图，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠A=90°，
由折叠得，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴的长=，
，
∴ 阴影部分周长=
故答案为：．
【点拨】本题考查折叠轴对称，直角三角形的边角关系，弧长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．
16．(1)证明见详解；
(2)AC=3，阴影部分面积为．
【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．
【详解】（1）证明：连接OD
∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在上
∴是圆的切线；
（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵
解得，（舍去）
∴
∴阴影部分面积为．
【点拨】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差．
17．D
【分析】根据题意求得AC=OC=OD=DB=1，CD=2，EC=,进一步求出△EOF是等边三角形，然后根据S阴=S长方形CDFE-(S半圆-S长方形CDFE)+2（S扇形OEF-S△EOF）即可求得.
【详解】∵AB是直径，且AB=4，
∴OA=OE=2，
∵使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD，
∴AC=OC=OD=DB=1，
∴CD=2，EC=,
∴△EOF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，
S半圆=，S长方形CDFE=
∴S阴=S长方形CDFE-(S半圆-S长方形CDFE)+2（S扇形OEF-S△EOF）=-=
故选D.
【点拨】此题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是熟知翻折变换的性质.
18．B
【分析】由矩形的性质可得AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4，由切线的性质可得GF⊥BC，即可证四边形GFCD是正方形，可得GD＝GF＝CD＝CF＝4，由面积的和差可求阴影部分面积．
【详解】如图，连接GF，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4
∵点E是AB中点
∴AE＝BE＝2
∵BC与圆相切
∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°
∴四边形GFCD是矩形，
又∵GD＝DF
∴四边形GFCD是正方形
∴GD＝GF＝CD＝CF＝4
∴BF＝BC﹣FC＝2
∵S阴影＝（S四边形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）
∴S阴影＝（）+（4π﹣）＝4π.
故选B．
【点拨】本题考查了矩形的性质，切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的面积公式，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
19．C
【分析】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，利用解含特殊角的直角三角形，得到MC=、BM=，根据BM+MC=BC=4，求出EM，进而求出BM，依据NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，可知四边形BMEN是矩形，则有NE=BM=1，根据即可求解．
【详解】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，如图，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵∠BCE=30°，
∴∠EBC=60°，
∵EM⊥BC，
∴在Rt△EMC中，
∴tan∠ECM==tan30°=，
∴MC=，
∴∴在Rt△EBM中，
∴tan∠EBM==tan60°=，
∴BM=，
∵BM+MC=BC=4，
∴+=4，
∴，
∴BM=，
∵NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，
∴四边形BMEN是矩形，
∴NE=BM=1，
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴，，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和解含特殊角的直角三角形等知识，求出EM、EN是解答本题的关键．
20．C
【分析】连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD==，
∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，
故选C．
【点拨】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
21．C
【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：作于H，
∵，，，
∴，
由旋转，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积
故选：C．
22．B
【分析】当点D在线段上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接，过点C作于点H，如图，分别求出最小阴影部分面积比较即可得到阴影部分最小面积．
【详解】当点D在线段OA上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接OC.BC，过点C作于点H，如图，

，
，
∵，
∴．
；
线段、与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，圆心角定理以及三角形及扇形的面积求法，讨论动点的位置作辅助线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键．
23．A
【分析】根据图形可以求得的长，然后根据图形即可求得的值．
【详解】解：∵在矩形中，，F是中点，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点拨】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24．B
【分析】由题意可知点D在以O为圆心2为半径的圆弧上，则可知当AE与小圆O相切于D时，OE最大，即△AOE的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值，由此求解即可．
【详解】∵点D是OC的中点，，
∴点D在以O为圆心2为半径的圆弧上，
∴可知当AE与小圆O相切于D时，OE最大，即△AOE的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值，
∵，
∴,则，
∵∠AOB=90°，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形，求不规则图形的面积，切线的性质，正确得出当AE与小圆O相切于D时，OE最大，即△AOE的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值是解题的关键．
25．##
【分析】连接，．首先证明，推出，再证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：连接，．
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
26．
【分析】根据S阴影=S弓形DGE+S△DEF，可得当OF⊥DE时，阴影部分面积最大，再S阴影= S扇形ODE- S△DEO +S△DEF，即可求得阴影部分面积的最大值．
【详解】解：连接DE，OD，
∵中，，，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，，
∵，
∴，△ODE为等边三角形，
∴，
∵S阴影=S弓形DGE+S△DEF
∴当OF⊥DE时，阴影部分面积最大，此时OF与DE交于G，
∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，
∴，，
∴S阴影= S扇形ODE- S△DEO +S△DEF
=．
【点拨】本题考查不规则图形面积的计算，解直角三角形，垂径定理等．掌握割补法将阴影部分正确分割，并能理解当底相同时高越大三角形的面积越大是解题关键．
27．
【分析】连接AB.、、，根据等腰直角三角形的性质求出OD，进而得到的长，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
取弧AB的中点C′，连接AB.、、，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC的面积最大，只需满足△ABC的面积最大即可，从而可得当点C位于弧AB的中点时，△ABC的面积最大，则于D
扇形AOB的面积
阴影部分面积的最小值为
故答案为：．
【点拨】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、等腰直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
28．
【分析】由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，求出AB的长，∠AOB的大小即可解决问题．
【详解】解：由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小．
∵P（），∴OP=2．
∵OA'=OB'=4，
∴PA'=PB'=2，
∴tan∠A'OP=tan∠B'OP=，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∴∠A'OB'=120°，
∴S阴=S扇形OA'B'-S△A'OB'=﹣．
故答案为：．
【点拨】本题考查了扇形的面积的计算等知识，解题的关键是理解当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，属于中考常考题型．
29．##
【分析】本题考查了求正切，与圆有关的计算，轴对称的性质如图，利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，进而根据等腰三角形的性质得出，进而根据轴对称的性质，即可求解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
由对称可知，，，
∵，当点移动到点时，取等号，此时最小，
∵为弧的中点，
∴，则，
，
又，
，
，
由轴对称可知，，
，
当阴影部分周长最小时，，则 ．
故答案为：．
30．
【分析】根据⊙M内切于扇形AOB，可知C.M、O三点共线，连接C.M、O，连接ME.MD，根据相切的性质可知DM⊥AO，ME⊥OB，设⊙M的半径为R，则有ME=MD=MC=R；易证得可得，则可求得∠MOD=∠MOE得角度，则解Rt△MOE中求出OE=ME=R，进而求出R=，即可求出OE.BE，根据∠MOE=60°，可求出，根据∠OME=30°，可得∠CME，进而求出，则阴影部分的周长得解
【详解】∵⊙M内切于扇形AOB，
∴C.M、O三点共线，
连接C.M、O，连接ME.MD，如图所示，
根据相切的性质可知DM⊥AO，ME⊥OB，设⊙M的半径为R，
∴ME=MD=MC=R，∠MDO=∠MEO=90°，
结合MO=MO，可得，
∴∠MOD=∠MOE=∠AOB=120°×=60°，
∴在Rt△MOE中，∠OME=90°-∠MOE=30°，
∴OE=ME=R，OM=2OE=R，
又∵OA=OC=OB=1，
∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=，
∴OE=，则BE=OB-OE=，
∵∠MOE=60°，
∴，
∵∠OME=30°，
∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，
，
则阴影部分的周长为：BE++=++=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了求解扇形的弧长、切线的性质、解含有特殊角的直角三角形等知识，根据圆内切于扇形得到C.M、O三点共线是解答本题的关键．
31．
【分析】根据题意可知阴影部分周长为，计算即可．
【详解】解：∵，的长为，
的长为，
∴阴影部分的周长为．
故答案为．
【点拨】本题主要考查旋转变换以及弧长的计算，正确得出对应点位置，熟知弧长计算公式是解题的关键．
32．(1)50°
(2)
【分析】（1）连接，如图，利用互余计算出，然后计算出的度数，则根据圆心角定理得到的度数；
（2）利用斜边上的中线性质得到，再判断为等边三角形，则，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积进行计算．
【详解】（1）解：连接，如图，
，，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：过点作于点，
是的中点，，
，
，
为等边三角形，
，，
阴影部分的面积；
【点拨】本题考查了扇形面积的计算、圆心角定理、互余、等边三角形等知识点：求不规则图形的面积，转化用规则的图形面积进行求解；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；利用角的正弦值求边长，解题的关键是将不规则图形面积转为规则图形面积求解．
33．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，再利用等腰三角形的性质，底边上的高也是底边上的中线；
（2）先求出∠ABE，再利用圆内接四边形的对角互补即可得出结论，
（3）先利用切线得出∠OEF=90°，根据题意得出是等边三角形，再用面积之差求出阴影部分面积．
【详解】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）∵AB=AC，AE⊥BC，∠BAC＝40°
∴
∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，
∵四边形ABED是圆内接四边形,
∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，
（3）连接OE，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴．
【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的性质，求扇形面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
34．（1）见解析；（2）
【分析】（1）过O作OD⊥AB于D，由角平分线的性质得OD=OC，再由OC为⊙O的半径，则OD为⊙O的半径，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得AC=OC=4，∠COD=120°，然后由切线的性质得AD=AC=4，即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：过O作于D，如图所示，
，
平分
，
为的半径，
为的半径，
是的切线．
（2）∵OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，
∴AC=OC=4，
∵∠AOC=90°-30°=60°，
∴∠COD=2∠AOC=120°，
由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，
∴AC为⊙O的切线，
∴AD=AC=4，
∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积
．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．