2024年中考数学考前冲刺复习专题04点圆模型(含答案)

这是一份2024年中考数学考前冲刺复习专题04点圆模型(含答案)，共42页。试卷主要包含了如图，四边形为矩形，，等内容，欢迎下载使用。

题型解读
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力．该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点．掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径．本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握．
模型01 定义型
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆．
模型02 直径所对的角为直角（直角模型）
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧．
模型03 等弦对等角模型
一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧．
模型构建
模型01 定义型
考｜向｜预｜测
点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主．解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2022·广西）
1．如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
例2．（2022·北京）
2．如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为 ．
模型02 直角模型
考｜向｜预｜测
点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解．实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键．许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2021·山东）
3．如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为 ．
例2．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是第一象限内的一个动点并且使，点，则BC的最小值为 ．
模型03 等弦对等角
考｜向｜预｜测
点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握．该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度．该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差的性质求解．解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2022·江苏）
5．如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为 ．
例2．（2023·重庆）
6．如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ．
强化训练
（2023·广东）
7．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
（2023·湖南）
8．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2B．+1C．2﹣2D．3
（2023·山西）
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A．B．C．D．
（2023·广州）
10．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为 ．
（2023·云南）
11．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．
（2023·贵州）
12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 ．
（2022•天津）
13．如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为 ．
（2023·贵阳）
14．如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为 ．

（2023·安徽）
15．等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ．
（2023·广西）
16．如图①，在中，，点分别是边上的点，且，连接，．
(1)当时，求证：平分；
(2)当时，求的值；
(3)如图②，若点是线段上一点，且，连接交于点，求面积的最大值．
通关试练
17．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
18．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（ ）
A．5B．2﹣2C．6D．2+2
19．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6B．C．9D．
20．如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接，在上取一点E，使，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
21．如图，点P是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
22．如图，矩形的边，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
23．如图，在等边中，，点分别在边上，且，连接交于点，连接，则 ，的最小值是 ．
24．如图，在中，，点E是的中点，点F是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是 ．
25．如图，在边长为3的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是 ．
26．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
27．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为 ．
28．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，连接，则线段长的最小值为 ．
29．（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C.D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．
第一步：
根据题意判定动点的变化特性
第二步：
找准定点和定长（圆心和半径）
第三步：
结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题
第一步：
观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；
第二步：
利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；
第三步：
涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相关知识点；
第四步：
数形结合进行分析、解答
第一步：
观察图形特点，确定定弦和定角；
第二步：
根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；
第三步：
利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
参考答案
1．A
【分析】连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，相似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．
∵，，，DM⊥AB于M，
∴∠AMD=∠ACB，．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，
∴，DC=AC-AD=1．
∴，DQ=DC=1．
∴．
∴．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．
∴点E在上移动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为．
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
2．##
【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，可得，即点在以为圆心，为半径的圆上，则当点，点，点共线，且时，长度最小, 当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，然后求得最大值与最小值的差即可求解．
【详解】解：，，，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边的中点，
，，
点在以为圆心，为半径的圆上，
如图，当点，点，点共线，且时，长度最小，
，
，
最小值为．
当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，
则最大值为
长度的最大值与最小值的差为
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、圆的基本认识，确定点的轨迹是本题的关键．
3．．
【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF
∴△DEA≌△AFB，

∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，
∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°
∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
∴
在Rt△AOB中，∠OAB=90°
∴OB=
∵
∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BG的最小值为：．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
4．##
【分析】由可知点B是以为直径的圆上的动点，当过圆心时长度最小，画图计算即可解题．
【详解】解：如图，以为直径作，连接，交于点B，此时长最小，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查90°的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，找到线段长最小位置是解题的关键．
5．
【分析】根据题意得出E是以为直径的圆上的一个动点，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：，
∴点E在以为直径的圆上，如图所示，
的最大值为，
∵正方形的边长为2，
，
的最大值为，
当点E在的下方时，的最大值也是，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理、圆的基本性质及正方形的性质，根据最大的弦是直径求得为的最大值是解题的关键．
6．．
【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．
【详解】如图所示，∵边长为6的等边，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧
此时
连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值
∵，，
∴
∴，
∴
又∵
∴，
∴
即
故答案为：
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．
7．D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
8．C
【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可．
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
∴HD=MD=1，
∴HM==，CH=CD+DH=5，
∴，
∴A′C=MC-MA′=2-2；
故选：C．
【点拨】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．
9．D
【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可．
【详解】∵AQ⊥BQ，
∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴CO＝OA＝1，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴的长为，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键．
10．
【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，的值最大，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，
∴
∴，，
∵绕点A旋转，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴当三点共线时，的值最大，
即：；
故答案为：．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上．
11．3
【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，
∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．
【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，
∴BD＝2，
∴．
由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，
∵E为AD的中点，
∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，
CE的最大值即C到BA中点的距离加上长．
∵，，BC＝2，
∴C到BA中点的距离即，
又∵，
∴CE的最大值即．
故答案为3．
【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键．
12．5
【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，
∴DG＝，
∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，
∴＝＝，
∴∠GDI＝∠CDG，
∴△GDI∽△CDG，
∴＝，
∴IG＝，
∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴当B.G、I共线时，BG+CG最小＝BI，
在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，
∴BI＝5，
故答案是：5．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．
13．##
【分析】作的外接圆，得到点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接，OA交于，分析得到当M与重合时，AM取得最小值．分别过点O作于点H，过点O作于点G，根据圆的性质和矩形的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
如图，作的外接圆，点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接，OA交于，
当M与重合时，AM取得最小值．
过点O作于点H，
∵
∴，
∴，，
过点O作于点G，
∴，，AG=6-2=4，
∴，
则．
故答案为：．
【点拨】本题考查动点问题．涉及圆的性质、矩形的性质和勾股定理．解题的关键是找到点M的轨迹．
14．45
【分析】因为，点G为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以G是以B为圆心，以5为半径的圆弧上的点，作C关于的对称点，连接，交于H，交以B为圆心，以5为半径的圆于G，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求．
【详解】解：连接，

∵矩形，
∴，，，
∵点为的中点，
∴，
∴点在以圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以5为半径的圆于，
由两点之间线段最短，此时的值最小，
∴最小值为，
即：的最小值为，
故答案为：45．
【点拨】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题．
15．
【分析】连接、．先证明，则，，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上上最长，据此解答即可．
【详解】解：如图一，连接、．
是等腰直角三角形，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
．
，
如图二，
点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，
当、、在同一直线上最长，
，
故答案为：；
【点拨】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
16．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明得出，从而得出，再证明即可得证；
（2）以点为圆心，长为半径作圆，过点作于，证明是等边三角形，得出，是等腰直角三角形，得出，设，则，结合，求出的值，然后证明即可得出答案；
（3）由勾股定理得出，当时，取得最小值，此时，点到的距离取得最大值，即的面积取得最大值，求出，即可得解．
【详解】（1）证明：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1）得：，
如图①，以点为圆心，长为半径作圆，过点作于，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（1）得：，
如图②，以点为圆心，长为半径作圆，
∵，，，
∴，为定值，
∵为定值，
∴当时，取得最小值，
此时，点到的距离取得最大值，即的面积取得最大值，
∵，即，
解得：，
∴，
∴．
【点拨】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、圆的性质、锐角三角函数的定义以及三角形面积等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
17．A
【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．
【详解】解：连接AM，如图所示：
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝，
AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故选：A．
【点拨】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．
18．B
【分析】作CB关于DA的对称点C'B'，以AB中的O为圆心作半圆O，连C′O分别交DA及半圆O于P、F．将PC+PF转化为C′F找到最小值．
【详解】解：如图：取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆．
连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连接AF．连接BF并延长交DA于点E．
由以上作图可知，AF⊥EB于F．
PC+PF＝PC'′+EF＝C'F
由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．
∵C'B'＝4，OB′＝6
∴C'O＝，
∴C'F＝，
∴PC+PF的最小值为，
故选：B．
【点拨】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．
19．A
【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD.CF的长，代入面积公式求解即可．
【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，
过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，
即，
解得：CF=，
∴此时三角形ACE的面积==6，
故选：A．
【点拨】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置．
20．C
【分析】根据∠DCE+∠ACE=90°，∠DCE=∠DAC，确定∠DAC +∠ACE=90°即∠AEC=90°，取AC的中点F，当B.E.F三点共线时，BE最小，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴∠DCE+∠ACE=90°，
∵∠DCE=∠DAC，
∴∠DAC +∠ACE=90°即∠AEC=90°，取AC的中点F，当B.E.F三点共线时，BE最小，
∵，，，
∴AC=4，
∴AF=CF=EF=2，
∴BF=
∴BE=BF-EF=,
故选C
【点拨】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短原理，取AC的中点F，准确构造两点之间线段最短原理是解题的关键．
21．B
【分析】取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2，先求出，然后根据∠APB=90°，得到点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，则当D.P、G三点共线时，DP有最小值，由此求解即可．
【详解】解：取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠APB=90°，
∴点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，
∴当D.P、G三点共线时，DP有最小值，
在Rt△BDG中，，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆外一点到圆上一点的最值问题，确定当D.P、G三点共线时，DP有最小值是解题的关键．
22．7
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴点的运动路线为以为直径的圆，
作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，
则，
∴，
∴的最小值为；
连接，
∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴的最小值为，
故答案为：7．
23． ##120度
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理、圆的有关性质等知识，首先证明，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动（，），连接交于，当点与重合时，的值最小，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题．
【详解】解：如图，
，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，
在弧上任取一点，连接、，则，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
连接交于，当点与重合时，的值最小，
最小值．
故答案为：，．
24．
【分析】以点E为圆心，为半径作圆，连接，交于点，此时的长度最小，即，过E作于点M，
根据勾股定理求出即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
如图，以点E为圆心，为半径作圆，连接，交于点，
此时的长度最小，
∵将沿对折得到，且点E是的中点，
∴，
∵，
∴此时的周长最小，
过E作于点M，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
∴周长的最小值是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠问题，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线是关键．
25．
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．
过点M作交延长线于点H，连接，根据菱形的性质和直角三角形的性质，求出，再由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得点在以M为圆心，为半径的圆上，从而得到当点在线段上时，长度有最小值，是解题的关键．
【详解】解：过点M作交延长线于点H，连接，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以M为圆心，为半径的圆上，
∴当点在线段上时，长度有最小值
∴长度的最小值
故答案为：
26．##
【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，
，
，
，
，
即（定长），
点是定点，是定长，
点在半径为1的上，
，
的最大值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
27．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，如图所示：
连接OA.OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CDAC＝1，
∵所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴ODAD，OA＝2OD，
∴的长为π；
故答案为：π．
28．4
【分析】先证明P点在以AB为直径的圆上，连接OC与圆交于P点，此时PC有最小值，用勾股定理求出C到圆心的距离即可．
【详解】解：，，
，
点在以AB为直径的圆上运动，取AB中点O，如图所示作圆，连接OC交圆O于，此时取得最小值，
，
，
，
，
故答案为4．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、圆外一点到圆上的最短距离、勾股定理；本题的关键在于摸清P点的运动轨迹，将问题转换成圆外一点到圆上的最短距离问题．
29．（1）45；（2）∠BAC=25°，（3）AD=+3．
【分析】（1）如图1，由已知易得点B，C，D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，则由“圆周角定理”可得∠BDC=∠BAC=23°；
（2）如图2，由已知易得在以BD的中点O为圆心，OB为半径的圆上，由此可由“圆周角定理”可得∠BAC=∠BDC=28°；
（3）如图3，由已知易得点在以AC为直径的同一个圆上，由此可得∠EFC=∠DAC；同理可得：∠DFC=∠CBE；由已知易得∠DAC=∠EBC，这样即可得到∠EFC=∠DFC.
【详解】（1）如图1，∵AB=AC=AD，
∴点B.C.D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠BDC=∠BAC=23°；
(2)证明：取BD中点O，连接AO、CO，
∵在Rt△BAO中，∠BAD=90°，
∴AO=BD=BO=DO，
同理：CO=BD，
∴AO=DO=CO=BO，
∴点在以O为圆心、OB为半径的同一个圆上，
∴∠BAC=∠BDC=28°
(3)∵CF⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴点在以AC为直径的同一个圆上，
∴∠EFC=∠DAC，
同理可得：∠DFC=∠CBE，
∵在△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°，在△BEC中，∠EBC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠EFC=∠DFC.