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2024年中考数学考前冲刺复习专题06三角形全等、相似及综合应用模型(含答案)
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这是一份2024年中考数学考前冲刺复习专题06三角形全等、相似及综合应用模型(含答案)，共55页。试卷主要包含了半角模型概念，模型特征，思想方法，解题思路等内容，欢迎下载使用。
三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点．在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等．特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大．直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸．
模型01 与三角形有关的线段应用
模型02 与三角形有关的角的应用
（1）三角形的内角：
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
（2）三角形的外角：
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
模型03 三角形全等的判定及应用
（1）全等三角形的定义：
全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
（2）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等．
（3）全等三角形的判定：
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
（4）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．
模型04 三角形相似的判定及综合应用
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
模型05 三角形折叠问题探究
模型06 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力．
（1）手拉手模型：
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等．其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）．
（2）半角模型：
1.半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半．
2.模型特征：等线段，共端点，含半角
3.思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化．
4.解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
模型构建
模型01 与三角形有关的线段应用
考｜向｜预｜测
与三角形有关的线段应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中都以基础或中档题为主．解这类问题的关键是了解三角形的高线、角平分线、中线、中位线的性质，结合三角形的性质及相关判定定理与推论进行解题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2022·安徽）
1．如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．②③⑥D．①②⑤⑥
例2．（2023•辽宁）
2．如图，在中，，AD，BE分别为BC.AC边上的高，AD.BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．
正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①③④
模型02 与三角形有关的角的应用
考｜向｜预｜测
与三角形有关的角的应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高．主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理及结合三角形角平分线的定义，三角形高的定义等看，灵活运用三角形的内角和定理进行角度的计算是解答此题的关键．
答｜题｜技｜巧
例1．（20023·浙江）
3．如图，已知为的平分线．若，比大，求的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·吉林）
4．如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
模型03 三角形全等的判定及应用
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主．解这类问题的关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023•上海）
5．如图，点P是AB上任一点，∠ABC=∠ABD,从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出ΔAPC≌ΔAPD.的是( )
A．BC=BD.B．∠ACB=∠ADB.C．∠CAB=∠DABD．AC=AD.
例2．（2023•安徽）
6．如图，点D.E分别在、上，与相交于点O，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对．
模型04 三角形相似的判定及综合应用
考｜向｜预｜测
三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度．解这类问题的关键是熟练应用三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方程思想的应用．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·山西）
7．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·安徽）
8．图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
模型05 三角形折叠问题探究
考｜向｜预｜测
与圆的性质有关的证明与计算该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大．三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是我们解题的关键．结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023•山东）
9．对于题目：“如图，点分别是长方形的边和上的点，沿折叠长方形，点落在点处，若与两个角之差的绝对值为，确定的所有度数．”甲的结论是，乙的结论是．下列判断正确的是（ ）
A．甲的结论正确B．乙的结论正确
C．甲、乙的结论合在一起才正确D．甲、乙的结论合在一起也不正确
例2．（2023•湖北）
10．如图，中，点D是BC上一点，将沿着AD翻折，得到，AE交BC于点F．若，点D到AB的距离等于( )
A．DFB．DBC．DCD．CF
模型06三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
考｜向｜预｜测
三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力．
答｜题｜技｜巧
例1．
11．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D.E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．②③C．②③④D．③④
例2．（2023·湖南）
12．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE＝．
(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 ；
(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；
(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．
强化训练
（2022•广东）
13．如图，△ABC中CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B=30°，∠CAN=96°，则∠N的度数为（ ）
A．22°B．27°C．30°D．37°
（2023•贵州）
14．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87°B．84°C．75°D．72°
（2023•陕西）
15．如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③B．③④C．①④D．①③④
（2023•四川）
16．如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为
A．6B．5C．4D．3
（2023•重庆）
17．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ．
（2023·山东）
18．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
（2023·上海）
19．如图，在等边中，点P在内，点Q在外，B，P，Q三点在一条直线上，且，，问是什么形状的三角形？试证明你的结论．
（2022·安徽）
20．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
（2023•西安）
21．如图，在中，，点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到．
(1)如图1，当点P落在上时，求的度数；
(2)如图2，当时，求的度数．
（2023•江苏）
22．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A.B均不与点O重合．
(1)【探究】如图1，AI平分，BI平分．
①若，则______°．
②在点A.B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
(2)【拓展】如图2，AI平分交OB于点I，BC平分，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A.B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，直接写出的度数的变化范围．
通关试练
23．如图，是的中线，点D是上一点，若，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
24．如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
25．如图，在中，是高，平分，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023•大同）
26．如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023·江苏）
27．如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（ ）
A．B．C．D．
（2023·广东）
28．如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
29．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
30．如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
（2023·四川）
31．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④连接，则．恒成立的结论有（ ）
A．①②③B．①②C．②③④D．①②③④
32．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，BD是高，E是外一点，，若，，求的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．
33．如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①；②；③若，则；④．
（2023•长沙模拟）
34．如图，四边形ABCD中，对角线AC.BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
（2023·浙江）
35．如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
(1)求证：．
(2)当时，求证：平分．
（2023·上海）
36．如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长．
37．【问题背景】
在四边形中，，，，、分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．
(1)【初步探索】
小光同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ．
(2)【探索延伸】
在四边形中如图2，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
(3)【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
高（AD）
中线（AD）
角平分线（AD）
中位线（DE）
∠ADB=∠ADC=90°
BD=CD S△ABD=S△ADC
∠BAD=∠DAC=∠BAC
AD=DB AE=ECDE=BC DE∥BC
三角形折叠模型（一）
三角形折叠模型（二）
三角形折叠模型（三）
∠2=2∠C
2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2）
2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1）
第一步：
根据题意，判定所考察的知识点
第二步：
结合三角形的高线、角平分线、中线、中位线的性质进行解题；
第三步：
进行相关计算解决问题
第一步：
直接根据两已知角求第三个角；
第二步：
依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
第三步：
在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角；
第四步：
若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去．
第一步：
认真分析题目的已知和求证；
第二步：
分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
第三步：
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
第四步：
最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
第一步：
认真分析题目的已知和求证；
第二步：
分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
第三步：
在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
第四步：
最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
第一步：
运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
第二步：
在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；
第三步：
利用勾股定理列方程求出x；
第四步：
进行相关计算解决问题．
第一步：
找准旋转中心；
第二步：
确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；
第三步：
学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；
第四步：
数形结合进行分析、解答
参考答案
1．B
【分析】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解．
【详解】解：∵和是的中线，
∴，分别为，的中点，
∴，，故①正确；
∵和是的中线，
∴点是的重心，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵点是的重心，
∴过的直线平分线段，故④正确；
根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的重心，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，故②不正确；
，
，故③正确；
，
，
，
为的中点，
，
为线段的垂直平分线，
，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角的性质，熟练应用三角形外角的性质是解题的关键．先由平分，可得，由比大，可得，再根据三角形外角即可求解．
【详解】解：平分，且，
，
比大，
，
，
．
故选：．
4．B
【分析】根据三角形的外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，根据垂直的定义得出，进而根据互余关系即可求解．
【详解】
∵,
∴
∵平分,
,
∴
∵,
∴,
∴，
故选: B.
【点拨】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果．
【详解】解：A.补充BC=BD，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；
B.补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；
C.补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；
D.补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故此选项正确.
故选D.
【点拨】本题考查三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．
6．4
【分析】先根据“”证明，则，，所以，再根据“”证明，继而利用“”证明和，从而可判断图中的全等三角形共有4对．
【详解】解：在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述，图中的全等三角形共有4对．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
7．D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵AB＞FA，
∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选D．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
8．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【详解】解：∵，
∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∵，
∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，
△BGH∽△BDC，
∴，
∴，
∵AB=2，CD=3，
∴，
解得：GH=．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查折叠的性质，角的和差关系，一元一次方程的几何应用等知识，由折叠的性质可知：，分①当与两个角之差为时，②当与两个角之差为时，两种情况讨论求出即可得解，掌握折叠的性质和建立方程求解是解题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可知：，
①当与两个角之差为，即时，，
∵，
∴，
解得：，
②当与两个角之差为，即时，，
∵，
∴，
解得：
综上所述：或．
故选：D．
10．A
【分析】由折叠的性质可得：∠BAD=∠EAD，结合点到直线到直线的距离，利用角平分线的性质可求解．
【详解】解：由折叠可知：∠BAD=∠EAD，
∵DF⊥AE，
∴点D到AB的距离等于DF，
故选：A．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，翻折问题，点到直线的距离，掌握角平分线的性质是解题的关键．
11．C
【分析】利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确
无法判断BE＝CD，故①错误，
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．(1)EC＝AD，EC⊥AD
(2)等腰三角形，
(3)
【分析】（1）延长CE交AD于F，交AB于O，证明△ABD≌△CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到结论；
（2）设DE与AB的交点为H，可得AB是DE的垂直平分线，利用勾股定理可求出AE的长，由（1）知CE＝AD，从而得出答案；
（3）分当点E在BC上方时和当点E在BC下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）EC与AD垂直且相等，理由如下：
延长CE交AD于F，交AB于O，
∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，
∵∠AOF＝∠BOC，
∴∠AFE＝∠ABC＝90°，
∴AD⊥CE，
∴故答案为：EC＝AD，EC⊥AD；
（2）设DE与AB的交点为H，
∵DE∥BC，
∴∠AHE＝∠ABC＝90°，
∵BD＝BE，
∴AB是DE的垂直平分线，
∴AD＝AE，
由（1）知AD＝CE，
∴AE＝CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∵BE＝，
∴BH＝HE＝1，
∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，
∴CE＝AE＝；
（3）如图4，当点E在BC上方时，
过点B作BG⊥DE于G，
∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，
∴A.E.D三点共线，
∴AG＝，
∴AD＝AG+DG＝，
∴CE＝AD＝+1；
如图，当点E在BC下方时，
同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．
综上：CE＝+1或﹣1．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
13．B
【分析】由∠CAN是△ABC的外角可得∠ACB，由CD平分∠ACB可得∠BCD；再由∠CDN是△BCD的外角求得∠CDN；△DMN中再由三角形内角和定理即可解答；
【详解】解：∵∠CAN是△ABC的外角，
∴∠CAN=∠B+∠ACB，
∵∠B=30°，∠CAN=96°，
∴∠ACB=96°-30°=66°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=33°，
∵∠CDN是△BCD的外角，
∴∠CDN=∠B+∠BCD=63°，
∵△DMN中，∠DMN=90°，∠MDN=63°，
∴∠N=180°-∠DMN-∠MDN=27°，
故选： B．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握相关性质和定理是解题关键．
14．A
【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得,进而可得原三角形的∠C的度数．
【详解】由折叠的性质可知，则,
,∠CMB＝68°，∠A＝18°,
即
解得
故选A
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组的应用，掌握折叠的性质是解题的关键．
15．D
【分析】因为，且，故延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的．
【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，故①是正确的；
∵，
∴，故③正确；
∴平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故②是不正确的；
∵，
∴，
∵，
∴，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键．
16．B
【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设，由翻折的性质可知，则．
是BC的中点，
．
在中，由勾股定理得：，即，
解得：．
．
故选B．
【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到，，从而列出关于x的方程是解题的关键．
17．5
【分析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：由旋转的性质可知：，，，
，
点在的延长线上，
四边形为正方形，
．
又，
．
．
．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长．
18．
【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键．
19．为等边三角形．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定．先根据等边三角形的性质可得，再根据证明，再根据全等三角形的性质得到，再证，从而得出是等边三角形．本题中求证是解题的关键．
【详解】解：为等边三角形．
证明：∵为等边三角形，
∴，，
在与中，
∵
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
20．证明见解析．
【分析】根据AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根据∠C =∠C，即可证明结论．
【详解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2
∴，
∴
∵∠C =∠C
∴△ACD∽△BCA．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．
21．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．
（1）根据折叠的性质证明，结合，得，从而计算；
（2）根据折叠和垂直得到，利用三角形内角和求出，从而求出．
【详解】（1）由折叠得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
；
（2）∵，
∴，
由折叠得
，
∴，
在中
，
∴
，
在中
，
∴
．
22．(1)①25；②不变，，理由见解析；
(2)不变，．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠ABO，再由角平分线的定义可得∠ABI，根据角平分线的定义求得∠ABI+∠BAI=（∠ABO+∠BAO）=45°可得∠AIB；
（2）由三角形外角的性质可得∠ABM=∠AOB+∠BAO，∠D=∠ABC-∠BAD，根据角平分线的定义求得∠ABC，∠BAD即可求得∠D；
【详解】（1）解：①△ABO中，∠AOB=90°，∠BAO=40°，
∴∠ABO=180°-90°-40°=50°，
∵BI平分∠ABO，
∴∠ABI=∠ABO=25°；
②△ABO中，∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=180°-90°=90°，
∵AI平分，BI平分，
∴∠ABI+∠BAI=（∠ABO+∠BAO）=45°，
∴△ABI中，∠AIB=180°-（∠ABI+∠BAI）=135°，
∴在点A.B的运动过程中，的大小不变，∠AIB=135°；
（2）解：∵∠ABM为△ABO的外角，∠AOB=90°，
∴∠ABM=∠AOB+∠BAO=90°+∠BAO，
BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠ABM=（90°+∠BAO）=45°+∠BAO，
∠ABC是△ABD的外角，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+∠BAO-∠BAD，
AD平分∠BAO，则∠BAD=∠BAO，
∴∠D=45°，
∴在点A.B的运动过程中，的大小不变，∠ADB=45°；
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角，角平分线的定义等知识；掌握三角形外角的性质是解题关键．
23．C
【分析】先求出的长，再根据中线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了线段的和差和中线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．D
【分析】根据三角形中线即为三角形的顶点与其对边中点的线段、角平分线即为三角形的一个内角的平分线与对边相交的线段、三角形的高即为过三角形的一个顶点作对边的垂线段，据此进行解答即可．
【详解】解：∵是中线，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵是高，
∴，故选项C正确，不符合题意；
根据题意不一定得出，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线等定义，熟记相关定义是解本题的关键．
25．A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线和高的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
在中根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：是高，
，
∴，
，
∴，
平分，，
∴，
∴，
故选：A．
26．D
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用．熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．
先在中，根据三角形内角和求出，再在中，根据三角形内角和定理得，即可求解．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
27．C
【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
28．C
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案；
【详解】解：过E作，
∵是等边三角形，，
，
∴，，
∵，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
29．D
【分析】本题考查的是翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再求出，判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，得到，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴点O是的外心，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，
∴，
∴，
在中，．
故选：D．
30．A
【分析】过点作，交于点，于点，过点作于点，易证为等边三角形，进而证明，进而求出的长，利用求出的长，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：过点作，交于点，于点，过点作于点，
∵等边的边长为6，D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵等边，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选A．
【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，难度大，综合性强，属于选择题中的压轴题．
31．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，角平分线性质，平行线的判定的应用，需要多次证明三角形全等，仔细分析图形是解此题的关键．根据等边三角形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，故①小题正确；根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，故②小题正确；根据全等三角形的判定与性质来判断③；在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，于是得到．故④正确．
【详解】解：和是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
，故①小题正确；
（已证），
，
，
，故②小题正确；
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，故③正确；
如图，在上截取，连接，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．故④正确．
故选：D．
32．
【分析】先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
【详解】解：∵BD是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题中所给提示，通过证明三角形全等，将求的面积转化为求的面积是解题的关键．
33．②③④
【分析】因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故①是错误的．
【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
（SAS），
，，故②是正确的；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故①是不正确的；
设，则，
，
，
，
，
，
，故③是正确的；
，
，
，
，
，
，
故④是正确的．
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角度的计算，构造两倍的，是本题解题的关键．
34．（1）见解析；（2）∠BDC＝50°．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明即可；
（2）利用三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和，熟悉全等三角形的判定定理与性质，并能灵活选择很重要．
35．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．
（1）利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）设、交于点，根据全等三角形的性质得出，，结合（1）的结论可得，，根据等边对等角及直角三角形两锐角互补可得，即可证明，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）如图，设、交于点，
∵，由（1）得，
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
36．(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，则，如图1，记的交点为，根据，，可得，进而可得；
（2）如图2，过作于，则，，由勾股定理得，，计算求解即可；
（3）由翻折的性质可知，，，，如图3，过作于，过作于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵等腰直角，，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
如图1，记的交点为，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
如图2，过作于，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴线段的长为；
（3）解：由翻折的性质可知，，，
∴，
如图3，过作于，过作于，
∴，
同理（2）可知，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴线段的长为．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．
37．(1)
(2)仍成立，理由见解析
(3)此时两舰艇之间的距离是270海里
【分析】（1）延长到G，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论；
（2）延长到G，使，连接，先证明，再证明，则结论可求；
（3）连接，延长交于点C，利用已知条件得到：四边形中：且，符合探索延伸具备的条件，则．
【详解】（1）如图1，延长到G，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）连接，延长交于点C，如图，
∵，
∴，
∵，
∴四边形中：且，
∴四边形符合探索延伸中的条件，
∴结论成立，
即（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是270海里．
【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点．在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等．特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大．直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸．
模型01 与三角形有关的线段应用
模型02 与三角形有关的角的应用
（1）三角形的内角：
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
（2）三角形的外角：
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
模型03 三角形全等的判定及应用
（1）全等三角形的定义：
全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
（2）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等．
（3）全等三角形的判定：
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
（4）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．
模型04 三角形相似的判定及综合应用
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
模型05 三角形折叠问题探究
模型06 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力．
（1）手拉手模型：
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等．其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）．
（2）半角模型：
1.半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半．
2.模型特征：等线段，共端点，含半角
3.思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化．
4.解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
模型构建
模型01 与三角形有关的线段应用
考｜向｜预｜测
与三角形有关的线段应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中都以基础或中档题为主．解这类问题的关键是了解三角形的高线、角平分线、中线、中位线的性质，结合三角形的性质及相关判定定理与推论进行解题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2022·安徽）
1．如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．②③⑥D．①②⑤⑥
例2．（2023•辽宁）
2．如图，在中，，AD，BE分别为BC.AC边上的高，AD.BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．
正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①③④
模型02 与三角形有关的角的应用
考｜向｜预｜测
与三角形有关的角的应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高．主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理及结合三角形角平分线的定义，三角形高的定义等看，灵活运用三角形的内角和定理进行角度的计算是解答此题的关键．
答｜题｜技｜巧
例1．（20023·浙江）
3．如图，已知为的平分线．若，比大，求的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·吉林）
4．如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
模型03 三角形全等的判定及应用
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主．解这类问题的关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023•上海）
5．如图，点P是AB上任一点，∠ABC=∠ABD,从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出ΔAPC≌ΔAPD.的是( )
A．BC=BD.B．∠ACB=∠ADB.C．∠CAB=∠DABD．AC=AD.
例2．（2023•安徽）
6．如图，点D.E分别在、上，与相交于点O，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对．
模型04 三角形相似的判定及综合应用
考｜向｜预｜测
三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度．解这类问题的关键是熟练应用三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方程思想的应用．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·山西）
7．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·安徽）
8．图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
模型05 三角形折叠问题探究
考｜向｜预｜测
与圆的性质有关的证明与计算该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大．三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是我们解题的关键．结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023•山东）
9．对于题目：“如图，点分别是长方形的边和上的点，沿折叠长方形，点落在点处，若与两个角之差的绝对值为，确定的所有度数．”甲的结论是，乙的结论是．下列判断正确的是（ ）
A．甲的结论正确B．乙的结论正确
C．甲、乙的结论合在一起才正确D．甲、乙的结论合在一起也不正确
例2．（2023•湖北）
10．如图，中，点D是BC上一点，将沿着AD翻折，得到，AE交BC于点F．若，点D到AB的距离等于( )
A．DFB．DBC．DCD．CF
模型06三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
考｜向｜预｜测
三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力．
答｜题｜技｜巧
例1．
11．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D.E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．②③C．②③④D．③④
例2．（2023·湖南）
12．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE＝．
(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 ；
(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；
(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．
强化训练
（2022•广东）
13．如图，△ABC中CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B=30°，∠CAN=96°，则∠N的度数为（ ）
A．22°B．27°C．30°D．37°
（2023•贵州）
14．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87°B．84°C．75°D．72°
（2023•陕西）
15．如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③B．③④C．①④D．①③④
（2023•四川）
16．如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为
A．6B．5C．4D．3
（2023•重庆）
17．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ．
（2023·山东）
18．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
（2023·上海）
19．如图，在等边中，点P在内，点Q在外，B，P，Q三点在一条直线上，且，，问是什么形状的三角形？试证明你的结论．
（2022·安徽）
20．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
（2023•西安）
21．如图，在中，，点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到．
(1)如图1，当点P落在上时，求的度数；
(2)如图2，当时，求的度数．
（2023•江苏）
22．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A.B均不与点O重合．
(1)【探究】如图1，AI平分，BI平分．
①若，则______°．
②在点A.B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
(2)【拓展】如图2，AI平分交OB于点I，BC平分，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A.B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，直接写出的度数的变化范围．
通关试练
23．如图，是的中线，点D是上一点，若，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
24．如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
25．如图，在中，是高，平分，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023•大同）
26．如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023·江苏）
27．如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（ ）
A．B．C．D．
（2023·广东）
28．如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
29．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
30．如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
（2023·四川）
31．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④连接，则．恒成立的结论有（ ）
A．①②③B．①②C．②③④D．①②③④
32．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，BD是高，E是外一点，，若，，求的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．
33．如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①；②；③若，则；④．
（2023•长沙模拟）
34．如图，四边形ABCD中，对角线AC.BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
（2023·浙江）
35．如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
(1)求证：．
(2)当时，求证：平分．
（2023·上海）
36．如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长．
37．【问题背景】
在四边形中，，，，、分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．
(1)【初步探索】
小光同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ．
(2)【探索延伸】
在四边形中如图2，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
(3)【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
高（AD）
中线（AD）
角平分线（AD）
中位线（DE）
∠ADB=∠ADC=90°
BD=CD S△ABD=S△ADC
∠BAD=∠DAC=∠BAC
AD=DB AE=ECDE=BC DE∥BC
三角形折叠模型（一）
三角形折叠模型（二）
三角形折叠模型（三）
∠2=2∠C
2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2）
2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1）
第一步：
根据题意，判定所考察的知识点
第二步：
结合三角形的高线、角平分线、中线、中位线的性质进行解题；
第三步：
进行相关计算解决问题
第一步：
直接根据两已知角求第三个角；
第二步：
依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
第三步：
在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角；
第四步：
若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去．
第一步：
认真分析题目的已知和求证；
第二步：
分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
第三步：
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
第四步：
最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
第一步：
认真分析题目的已知和求证；
第二步：
分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
第三步：
在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
第四步：
最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
第一步：
运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
第二步：
在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；
第三步：
利用勾股定理列方程求出x；
第四步：
进行相关计算解决问题．
第一步：
找准旋转中心；
第二步：
确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；
第三步：
学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；
第四步：
数形结合进行分析、解答
参考答案
1．B
【分析】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解．
【详解】解：∵和是的中线，
∴，分别为，的中点，
∴，，故①正确；
∵和是的中线，
∴点是的重心，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵点是的重心，
∴过的直线平分线段，故④正确；
根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的重心，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，故②不正确；
，
，故③正确；
，
，
，
为的中点，
，
为线段的垂直平分线，
，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角的性质，熟练应用三角形外角的性质是解题的关键．先由平分，可得，由比大，可得，再根据三角形外角即可求解．
【详解】解：平分，且，
，
比大，
，
，
．
故选：．
4．B
【分析】根据三角形的外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，根据垂直的定义得出，进而根据互余关系即可求解．
【详解】
∵,
∴
∵平分,
,
∴
∵,
∴,
∴，
故选: B.
【点拨】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果．
【详解】解：A.补充BC=BD，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；
B.补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；
C.补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；
D.补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故此选项正确.
故选D.
【点拨】本题考查三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．
6．4
【分析】先根据“”证明，则，，所以，再根据“”证明，继而利用“”证明和，从而可判断图中的全等三角形共有4对．
【详解】解：在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述，图中的全等三角形共有4对．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
7．D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵AB＞FA，
∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选D．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
8．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【详解】解：∵，
∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∵，
∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，
△BGH∽△BDC，
∴，
∴，
∵AB=2，CD=3，
∴，
解得：GH=．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查折叠的性质，角的和差关系，一元一次方程的几何应用等知识，由折叠的性质可知：，分①当与两个角之差为时，②当与两个角之差为时，两种情况讨论求出即可得解，掌握折叠的性质和建立方程求解是解题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可知：，
①当与两个角之差为，即时，，
∵，
∴，
解得：，
②当与两个角之差为，即时，，
∵，
∴，
解得：
综上所述：或．
故选：D．
10．A
【分析】由折叠的性质可得：∠BAD=∠EAD，结合点到直线到直线的距离，利用角平分线的性质可求解．
【详解】解：由折叠可知：∠BAD=∠EAD，
∵DF⊥AE，
∴点D到AB的距离等于DF，
故选：A．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，翻折问题，点到直线的距离，掌握角平分线的性质是解题的关键．
11．C
【分析】利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确
无法判断BE＝CD，故①错误，
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．(1)EC＝AD，EC⊥AD
(2)等腰三角形，
(3)
【分析】（1）延长CE交AD于F，交AB于O，证明△ABD≌△CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到结论；
（2）设DE与AB的交点为H，可得AB是DE的垂直平分线，利用勾股定理可求出AE的长，由（1）知CE＝AD，从而得出答案；
（3）分当点E在BC上方时和当点E在BC下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）EC与AD垂直且相等，理由如下：
延长CE交AD于F，交AB于O，
∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，
∵∠AOF＝∠BOC，
∴∠AFE＝∠ABC＝90°，
∴AD⊥CE，
∴故答案为：EC＝AD，EC⊥AD；
（2）设DE与AB的交点为H，
∵DE∥BC，
∴∠AHE＝∠ABC＝90°，
∵BD＝BE，
∴AB是DE的垂直平分线，
∴AD＝AE，
由（1）知AD＝CE，
∴AE＝CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∵BE＝，
∴BH＝HE＝1，
∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，
∴CE＝AE＝；
（3）如图4，当点E在BC上方时，
过点B作BG⊥DE于G，
∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，
∴A.E.D三点共线，
∴AG＝，
∴AD＝AG+DG＝，
∴CE＝AD＝+1；
如图，当点E在BC下方时，
同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．
综上：CE＝+1或﹣1．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
13．B
【分析】由∠CAN是△ABC的外角可得∠ACB，由CD平分∠ACB可得∠BCD；再由∠CDN是△BCD的外角求得∠CDN；△DMN中再由三角形内角和定理即可解答；
【详解】解：∵∠CAN是△ABC的外角，
∴∠CAN=∠B+∠ACB，
∵∠B=30°，∠CAN=96°，
∴∠ACB=96°-30°=66°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=33°，
∵∠CDN是△BCD的外角，
∴∠CDN=∠B+∠BCD=63°，
∵△DMN中，∠DMN=90°，∠MDN=63°，
∴∠N=180°-∠DMN-∠MDN=27°，
故选： B．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握相关性质和定理是解题关键．
14．A
【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得,进而可得原三角形的∠C的度数．
【详解】由折叠的性质可知，则,
,∠CMB＝68°，∠A＝18°,
即
解得
故选A
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组的应用，掌握折叠的性质是解题的关键．
15．D
【分析】因为，且，故延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的．
【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，故①是正确的；
∵，
∴，故③正确；
∴平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故②是不正确的；
∵，
∴，
∵，
∴，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键．
16．B
【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设，由翻折的性质可知，则．
是BC的中点，
．
在中，由勾股定理得：，即，
解得：．
．
故选B．
【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到，，从而列出关于x的方程是解题的关键．
17．5
【分析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：由旋转的性质可知：，，，
，
点在的延长线上，
四边形为正方形，
．
又，
．
．
．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长．
18．
【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键．
19．为等边三角形．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定．先根据等边三角形的性质可得，再根据证明，再根据全等三角形的性质得到，再证，从而得出是等边三角形．本题中求证是解题的关键．
【详解】解：为等边三角形．
证明：∵为等边三角形，
∴，，
在与中，
∵
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
20．证明见解析．
【分析】根据AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根据∠C =∠C，即可证明结论．
【详解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2
∴，
∴
∵∠C =∠C
∴△ACD∽△BCA．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．
21．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．
（1）根据折叠的性质证明，结合，得，从而计算；
（2）根据折叠和垂直得到，利用三角形内角和求出，从而求出．
【详解】（1）由折叠得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
；
（2）∵，
∴，
由折叠得
，
∴，
在中
，
∴
，
在中
，
∴
．
22．(1)①25；②不变，，理由见解析；
(2)不变，．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠ABO，再由角平分线的定义可得∠ABI，根据角平分线的定义求得∠ABI+∠BAI=（∠ABO+∠BAO）=45°可得∠AIB；
（2）由三角形外角的性质可得∠ABM=∠AOB+∠BAO，∠D=∠ABC-∠BAD，根据角平分线的定义求得∠ABC，∠BAD即可求得∠D；
【详解】（1）解：①△ABO中，∠AOB=90°，∠BAO=40°，
∴∠ABO=180°-90°-40°=50°，
∵BI平分∠ABO，
∴∠ABI=∠ABO=25°；
②△ABO中，∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=180°-90°=90°，
∵AI平分，BI平分，
∴∠ABI+∠BAI=（∠ABO+∠BAO）=45°，
∴△ABI中，∠AIB=180°-（∠ABI+∠BAI）=135°，
∴在点A.B的运动过程中，的大小不变，∠AIB=135°；
（2）解：∵∠ABM为△ABO的外角，∠AOB=90°，
∴∠ABM=∠AOB+∠BAO=90°+∠BAO，
BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠ABM=（90°+∠BAO）=45°+∠BAO，
∠ABC是△ABD的外角，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+∠BAO-∠BAD，
AD平分∠BAO，则∠BAD=∠BAO，
∴∠D=45°，
∴在点A.B的运动过程中，的大小不变，∠ADB=45°；
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角，角平分线的定义等知识；掌握三角形外角的性质是解题关键．
23．C
【分析】先求出的长，再根据中线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了线段的和差和中线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．D
【分析】根据三角形中线即为三角形的顶点与其对边中点的线段、角平分线即为三角形的一个内角的平分线与对边相交的线段、三角形的高即为过三角形的一个顶点作对边的垂线段，据此进行解答即可．
【详解】解：∵是中线，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵是高，
∴，故选项C正确，不符合题意；
根据题意不一定得出，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线等定义，熟记相关定义是解本题的关键．
25．A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线和高的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
在中根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：是高，
，
∴，
，
∴，
平分，，
∴，
∴，
故选：A．
26．D
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用．熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．
先在中，根据三角形内角和求出，再在中，根据三角形内角和定理得，即可求解．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
27．C
【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
28．C
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案；
【详解】解：过E作，
∵是等边三角形，，
，
∴，，
∵，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
29．D
【分析】本题考查的是翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再求出，判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，得到，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴点O是的外心，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，
∴，
∴，
在中，．
故选：D．
30．A
【分析】过点作，交于点，于点，过点作于点，易证为等边三角形，进而证明，进而求出的长，利用求出的长，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：过点作，交于点，于点，过点作于点，
∵等边的边长为6，D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵等边，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选A．
【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，难度大，综合性强，属于选择题中的压轴题．
31．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，角平分线性质，平行线的判定的应用，需要多次证明三角形全等，仔细分析图形是解此题的关键．根据等边三角形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，故①小题正确；根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，故②小题正确；根据全等三角形的判定与性质来判断③；在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，于是得到．故④正确．
【详解】解：和是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
，故①小题正确；
（已证），
，
，
，故②小题正确；
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，故③正确；
如图，在上截取，连接，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．故④正确．
故选：D．
32．
【分析】先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
【详解】解：∵BD是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题中所给提示，通过证明三角形全等，将求的面积转化为求的面积是解题的关键．
33．②③④
【分析】因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故①是错误的．
【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
（SAS），
，，故②是正确的；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故①是不正确的；
设，则，
，
，
，
，
，
，故③是正确的；
，
，
，
，
，
，
故④是正确的．
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角度的计算，构造两倍的，是本题解题的关键．
34．（1）见解析；（2）∠BDC＝50°．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明即可；
（2）利用三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和，熟悉全等三角形的判定定理与性质，并能灵活选择很重要．
35．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．
（1）利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）设、交于点，根据全等三角形的性质得出，，结合（1）的结论可得，，根据等边对等角及直角三角形两锐角互补可得，即可证明，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）如图，设、交于点，
∵，由（1）得，
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
36．(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，则，如图1，记的交点为，根据，，可得，进而可得；
（2）如图2，过作于，则，，由勾股定理得，，计算求解即可；
（3）由翻折的性质可知，，，，如图3，过作于，过作于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵等腰直角，，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
如图1，记的交点为，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
如图2，过作于，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴线段的长为；
（3）解：由翻折的性质可知，，，
∴，
如图3，过作于，过作于，
∴，
同理（2）可知，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴线段的长为．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．
37．(1)
(2)仍成立，理由见解析
(3)此时两舰艇之间的距离是270海里
【分析】（1）延长到G，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论；
（2）延长到G，使，连接，先证明，再证明，则结论可求；
（3）连接，延长交于点C，利用已知条件得到：四边形中：且，符合探索延伸具备的条件，则．
【详解】（1）如图1，延长到G，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）连接，延长交于点C，如图，
∵，
∴，
∵，
∴四边形中：且，
∴四边形符合探索延伸中的条件，
∴结论成立，
即（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是270海里．
【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
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