专题10 渐近线相关（讲义）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

专题10 渐近线相关
知识点一、双曲线的渐近线的基本原理
1．双曲线的渐近线方程亦为，即，就是.
2．双曲线的渐近线方程亦为，故双曲线
的渐近线方程为.
知识点二、定比点差法（直线与双曲线的两只渐近线都相交）
已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点．
情形1．如下图．若.
设，则坐标均满足①，②．
又.
则由，可得：. 给②式乘再相减得：
故．由
情形2．如下图．若.
设，则
故得：
由于
由
例1、（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期末）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为
C．双曲线的渐近线方程
D．双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为
【答案】ABC
【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可．
【详解】解：双曲线中，，所以，则
所以双曲线的离心率为，故A正确；
双曲线的焦点为到渐近线的距离为，故B正确，C正确；
双曲线左支上的点到右焦点的距离为，故最短距离为，故D不正确．
故选：ABC.
例2、（2022·江苏·海安高级中学高二开学考试）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，所以，即，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B
例3、（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为___________.
【答案】
【详解】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上，
又双曲线的图象关于原点对称,
所以点， 在双曲线上，
所以，解得，
所以其渐近线方程为：.
故答案为：.
1．（2022·湖北·沙市中学高二期末）设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【分析】求双曲线的渐近线方程转化为求，利用和双曲线的两条渐近线关于对称，可得，即可求出答案．
【详解】因为，所以是的中点，
因为，所以垂直平分，所以，
因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，
因为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
2．（2022·湖北·沙市中学高二阶段练习）设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【详解】因为，所以是的中点，
因为，所以垂直平分，所以，
因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，
因为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
3．（2022·北京二中高二阶段练习）已知双曲线经过点，则它的渐近线方程为______，离心率为______.
【答案】
【详解】由题知，双曲线经过点，
所以，解得，
所以双曲线方程为，
所以双曲线焦点在轴上，，
所以它的渐近线方程为，离心率为，
故答案为：；.
例4、（2022·福建三明·高二期末）已知双曲线C：的渐近线方程是，则m＝（ ）
A．3B．6C．9D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线求得的值．
【详解】依题意可知，
双曲线的渐近线为，
所以.
故选：C
例5、（2022·江西赣州·高三期末（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意设双曲线方程为，则，求出的值，从而可得双曲线方程
【详解】由题意设双曲线方程为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，
所以，解得，
所以双曲线的标准方程为，
故选：C
1．（2023·上海·高二专题练习）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.
【答案】
【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答．
【详解】依题意，设双曲线方程为：，
于是得，则有，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
2．（2022·全国·高二期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为______．
【答案】
【分析】由题设得渐近线为，设所求双曲线为，，将已知点代入求参数，即可得双曲线方程．
【详解】由题设，渐近线方程为，令所求双曲线方程为，，
又在双曲线上，则.
所求双曲线方程为
故答案为：
例6、（2022·浙江·高二期末）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【分析】设，分别求出和，即可求出．
【详解】设.
过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.
由双曲线可得渐近线为.
由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，
所以.
因为，所以，解得：.
故选：B
例7、（2022·四川省成都市新都一中高二期末（文））已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不妨设在第三象限，与渐近线垂直，写出直线方程，与方程联立求得点坐标，再根据得向量的关系，从而得点坐标，点坐标代入双曲线方程变形可得，得渐近线方程．
【详解】，
不妨设在第三象限，与渐近线垂直，的斜率为，直线方程为，
由，得，
设，由知，即，
所以，，在双曲线上，
所以，化简得，，
，，
所以渐近线方程是．
故选：D．
例8、已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于第一象限内的一点．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______．
【解析】，，
由题意设，则，解得，即，
所以，，，，
解得或（舍去）．
故答案为：．
1．已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【解析】因为双曲线的离心率为2，则，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
2．（2017·天津市红桥区教师发展中心高三期末（文））已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形的面积为，则（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【分析】根据双曲线及抛物线的基本性质，求得的坐标，表示出三角形的面积，从而求得参数．
【详解】由双曲线的离心率为2知，，渐近线方程为，
又抛物线的准线方程为，
则设渐近线与准线的交点为，，
三角形的面积为，（）
解得，
故选：C
3．（2022·全国·高二期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（ ）
A．，B．
C．的离心率等于D．的渐近线方程为
【答案】BCD
【分析】根据题意得，，；由知：，
又，，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断．
【详解】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，
因为，所以，所以，，A错误，B正确；
由知：，又，，
所以，即，所以，解得：，C正确；
所以，所以，所以，所以，
所以的渐近线方程为，D正确．
故选：BCD．
4．（2022·陕西渭南·高一期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______.
【答案】
【分析】由离心率得出，进而写出渐近线方程．
【详解】由题意可知，则，解得
则它的渐近线方程为
故答案为：
例9、（2020·广西·南宁三中高二期末（文））已知双曲线的左，右焦点分别为、，A是双曲线C的左顶点，以、为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意易得圆与渐近线的方程，联立即可求得的坐标，结合图像易得，利用斜率公式即可求得，从而可求得双曲线C的离心率．
【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为，设，则，
又由双曲线易得双曲线C的渐近线为，如图，
联立，解得或，
∴，，又∵，∴轴，
∴由得，∴，
∴，即，∴，∴.
故选：D.
.
例10、（2022·安徽滁州·高二期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．
【详解】由双曲线知渐近线方程为，
又双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，，双曲线方程为，
设，，
，，
，
又弦的中点为，
，，设，
，解得，，解得，
所以双曲线的方程为，
由圆的方程可得，
圆心为，半径为，
．
当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：D．
1．已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
【解析】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由抛物线的定义可求出的值，进而确定点的坐标，再结合双曲母的的几何性与两条直线的垂直关系，可求出的值，从而可求出双曲线的方程
【详解】设抛物线的焦点为，则抛物线的定义可得，解得，
所以抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，
所以，得，
所以，
由题意得，双曲线的渐近线方程为，
因为离心率为，所以，
所以，得，
因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
所以，得，
所以由，得，
所以双曲线的方程为，即，
故选：C
例11、（2024·全国·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点，且．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当时，在轴上求一点，使得为定值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据三角形的面积求出，再在中，由余弦定理求得的关系即可得解；
（2）直线PQ的方程为，，，，联立方程，利用韦达定理求出，再代入化简即可得解．
【详解】（1）由题意，得，
所以，
在中，由余弦定理，得
，
所以，所以，
所以，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为；
（2）当时，双曲线C的方程为，则，
因为，所以直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为，
联立，消得．
则，解得，
设，，
则，
设，则
，
要使为定值，则，即，
所以存在定点，使得．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解．
例12、（2023上·贵州贵阳·高二统考期末）已知双曲线的两个焦点的坐标分别是，且双曲线经过圆的圆心.
(1)求的值；
(2)设圆与双曲线的渐近线交于两点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，，结合即可得解．
（2）由题意得双曲线渐近线方程为或，分类讨论结合圆的弦长公式即可得解．
【详解】（1）由题意双曲线的两个焦点的坐标分别是，
所以，
而圆即圆的圆心坐标为，
所以，
又注意到，
所以解得或（舍去），，
所以.
（2）
由（1）得双曲线方程为，其渐近线方程为或，
圆的半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以.
例13、（2024上·四川宜宾·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上．
(1)求的方程．
(2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点．试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点，或，使得以为直径的圆过点，理由见解析
【分析】（1）由渐近线方程与点在双曲线上待定即可得方程；
（2）假设存在定点，满足条件．设，，分别表示直线，令，得坐标，将以为直径的圆过点转化为条件，利用韦达定理代入变形为关系式，不受影响，求值即可．
【详解】（1）由题意可知：，解得，
故双曲线C的方程为：
（2）由双曲线的对称性，又点及点均在轴上，
若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上．
故假设存在定点，使得以为直径的圆过点.
双曲线的左顶点，
由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：，
设，，
∴，
，解得，
∴，
由直线与双曲线的右支交于两点，
则，解得.
又直线的方程为，代入，
同理，直线的方程为，代入.
要使以为直径的圆过点，则.
∴，
∴
，
解得，或
故存在定点，或，使得以为直径的圆过点.

例14、（2024上·广东河源·高二统考期末）已知双曲线经过点，且的一条渐近线的方程为.
(1)求的标准方程；
(2)若点是的左顶点，是上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线与的斜率之积．
①关于原点对称；②关于轴对称．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)选①，答案为1；选②，答案为
【分析】（1）根据渐近线方程得到，待定系数法求出，得到双曲线方程；
（2）选①，得到，，，由斜率公式计算出答案；
选②，得到，，，由斜率公式计算出答案．
【详解】（1）由题意得的一条渐近线的方程为，故，
又，解得，
故的标准方程为；
（2）若选①，关于原点对称，
由题意得，，，
故，
则，

若选②，关于轴对称，
由题意得，，，
故，
则，