江西省萍乡市2024届高三二模考试数学试题（Word版附答案）

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一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意是的子集，从而求解.
【详解】，
因为的充分条件是，所以，
则，
故选：B.
2. 复数，下列说法正确的是（ ）
A. 的实部为12B. 的虚部为
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简复数，然后结合选项分析即可求解.
【详解】由于复数，
所以的实部为0，虚部为13，故错误；
所以，故C错误，D正确.
故选：D.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】结合正态分布的性质直接得到答案即可.
【详解】随机变量，
所以，所以，故.
故选：C.
4. 已知，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出，然后对两边平方即可求出的值，然后即可求出的值，最后得出答案．
【详解】因为，所以，
又，，，解得，
，且，，
即向量与的夹角为．
故选：A．
5. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意易得陀螺的外接球半径，球心为圆柱的中心，再利用球的几何性质，分别求出圆柱与圆锥的高，最后根据体积公式，即可求解．
【详解】如图：做陀螺的轴截面，则陀螺的轴截面内接于圆，设圆的半径为，圆柱的底面半径为.
由，球心为圆柱的中心，
又圆柱的底面半径，所以球心到圆柱底面距离，
所以圆柱的高为，圆锥的高为，
所以该陀螺的体积为.
故选：B
6. 已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，利用导数可知在上单调递增，在上单调递减，结合，可得答案.
【详解】令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
且，
则，即.
故选：C.
7. 点将一条线段分为两段和，若，则称点为线段的黄金分割点.已知直线与函数的图象相交，为相邻的三个交点，则（ ）
A. 当时，存在使点为线段的黄金分割点
B. 对于给定的常数，不存在使点为线段的黄金分割点
C. 对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点
D. 对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，作出图形，结合题意可分析计算得出答案.
【详解】若，则，
即点为线段的黄金分割点，
当时，，不存在使点为线段的黄金分割点，故选项A，C错误；
如下图，当时，，当时，，则，
则存在一个使得，故选项错；
对于选项D，若与相交于相邻的三点，
其横坐标分别为，则，
将变换成后，点分别对应到点，
且满足，
故，即对比值无影响，故选项D正确.

故选：D.
8. 如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图2，已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心．直线与轴交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的几何性质，角平分线性质，化归转化思想，即可求解．
【详解】解：因为是的一个旁心，所以平分，所以,
又平分，所以,所以，
即，所以,
所以，所以该双曲线的渐近线方程为．
故选：D
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为递增数列D. 为周期数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，分别求得，，，得到数列构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解．
【详解】解：由题意，数列满足， ，
当时，，当时，，A错误；
当时，；
若为奇数，则，为偶数，，为奇数，
则，，，；
若为偶数，则，为奇数，，为偶数，
则，，，.
所以数列是以4为周期的周期数列.
故，B正确：
又由，故递增，C正确；
由上述讨论可知，的项为1，，1，，故是周期数列，D正确．
故选：BCD．
10. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.
【详解】因为，
所以，
对A选项，，所以，故A正确；
对B选项，，
所以，故B选项不正确；
对C选项，因为，，
所以，
而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确；
对D选项，
故D正确.
故选：AD
11. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于两点，满足与相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 面积的最大值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抛物线标准方程，结合向量关系求选项；进而根据四边形为平行四边形求选项；当轴时，根据对称性求选项；最后设，因为过焦点，则，则，求选项.
【详解】因为，则平分线段，又，则平分线段，
则四边形为平行四边形，故A对；
因为四边形为平行四边形，所以，
对于抛物线可证其有性质，证明如下：
若斜率存在，设：，，
与方程联立，得：，
由直线过焦点，成立，
，，
，
若斜率不存在，则：，易求得，
，
故，故B对；
当轴时，根据对称性，在轴上，此时，故错；
对于抛物线可证其有性质，证明如下：
设，因为过焦点，
设：，
与方程联立，得：
，
则，则
，
则，又，则，
即为等腰三角形，且轴为的垂直平分线，故必在轴上，
此外，，则，则，
当与抛物线相切时，取得最大值1，即的最大值为1，故D对，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：若线段是抛物线的一条过焦点F的弦，则 ，.
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型（如图），某兴趣小组在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案.若其中的2个成员将该模型各随机抛出一次，则恰好出现一次龙的图案朝上（即龙的图案在最上面）的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式直接计算可得答案.
【详解】因为1个人抛出一次时龙的图案在最上面的概率为，
所以2个成员各抛一次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.
故答案为：
13. 在中，点分别在边上，，若交于点，则__________；当时，面积为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平面向量的基本定理，可得，用待定系数法可得的值，再结合余弦定理和三角函数值计算出，利用三角形的面积公式可得答案.
【详解】因为，所以，
因，所以，
令，所以，所以，
因为共线，所以，①
因共线，
所以，
所以②，
联立①②，，解出，
故，所以，解出，故；
在中，由余弦定理，，
因为，所以，
，
则.
故答案为：①1；②.
14. 正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的数量积与角度的关系，列出分别与直线所成角的正切值之和的表达式，从而得到点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线，可得点到平面的距离的取值范围，最后利用棱锥的体积公式计算得到答案即可.
【详解】在正方体中，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，，
，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
整理可得点到点和点的距离之和为，
所以点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线，
则点到平面的距离的最大值为1，此时点在中点的正上方；
最小值为时，点在点或者点的正上方，
所以四棱锥的体积为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用空间向量解决空间角问题，涉及三角函数的计算以及空间点与点之间的距离的转化，其关键是通过计算得出动点P的轨迹方程，即，
结合椭圆的性质得出距离的取值范围，再根据锥体的体积公式即可解决问题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
（2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解．
【详解】（1）因为，，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）依题意，存在，使得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，因此，
故的取值范围为．
16. 定义两组数据，的“斯皮尔曼系数”为变量在该组数据中的排名和变量在该组数据中的排名的样本相关系数，记为，其中．
某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：
（1）试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；
（2）已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有人，试求的分布列和数学期望．
【答案】（1）0.8；
（2）分布列见解析，数学期望为2.
【解析】
【分析】（1）根据“斯皮尔曼系数”的计算公式即可求解.
（2）的值可能为0，1，2，3，计算出各自对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【小问1详解】
依题意，，
所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是0.8.
【小问2详解】
依题意，的值可能为0，1，2，3，
，
，
则的分布列为：
所以的数学期望为．
17. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是弧上一动点（不与重合），点在上，且，.
（1）当时，证明：平面；
（2）若四棱锥的体积大于等于.
①求二面角的取值范围；
②记异面直线与所成的角为，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）结合余弦定理与勾股定理可证，再由，，可得平面，从而有，再由线面垂直的判定定理，即可得证；
（2）①设，则二面角的平面角即为，易得四边形的面积，由，可得，即二面角的取值范围；
②以为坐标原点建立空间直角坐标系，用含的式子表示出点的坐标，再利用向量法求异面直线夹角，即可求解.
【小问1详解】
由题知，在中，，,,
求得，则，
又,,,,平面，
故平面，
又平面，所以，
又,平面，
平面
【小问2详解】
①设，,,则二面角的平面角即为，
在上取点，使，连接,
，
四棱锥的体积，
其中表示四边形的面积，
则
，
由，可得，
，则，
故，解得，
即二面角的取值范围为；
②以方向轴正方向，在内垂直于的方向为轴正方向，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，,,
，,
,
即的最大值为.
18. 已知椭圆的离心率为是上的不同两点，且直线的斜率为，当直线过原点时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，点都不在轴上，连接，分别交于两点，求点到直线的距离的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题，利用弦长公式列出弦长的表达式，结合椭圆的离心率，计算可得答案；
（2）联立直线，求出点坐标，同理可得点坐标，对立方程，可知直线的图象性质，故分析可得结果.
【小问1详解】
依题意，则，因此，
当直线经过原点时，直线的方程为：，
设，
联立直线与椭圆的方程，结合，得，
所以，解得，
故，即椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设，
可知的斜率存在，设为，
则，直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，，
整理得
其中，得或，
，则，
又，故，
同理可得，易知的斜率不为0，设的方程为，
则，
，
又，则，
对比的方程可知，直线恒过定点，
设点到直线的距离为，则，
当且仅当时，点到直线的距离取到最大值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
（1）写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
（2）任意，恒有成立，求实数的取值范围；
（3）正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）答案见解析
（2），
（3）存在实数，使得成立．
【解析】
分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；
（2）构造函数，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求的取值范围即可；
（3）方法一、求出，，，猜想，用数学归纳法证明即可．方法二、构造数列，根据，利用递推公式求解即可．
【小问1详解】
①导数：，，证明如下：
，
②二倍角公式：，证明如下：
；
③平方关系：，证明如下：
；
【小问2详解】
令，，，
①当时，由，
又因为，所以，等号不成立，
所以，即为增函数，
此时，对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，则，可知是增函数，
由与可知，存在唯一，使得，
所以当时，，则在上为减函数，
所以对任意，，不合题意；
综上知，实数的取值范围是；
【小问3详解】
方法一、由，函数的值域为，
对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，
类比双曲余弦函数的二倍角公式，
由，，，
猜想：，
由数学归纳法证明如下：①当时，成立；
②假设当为正整数）时，猜想成立，即，则
，符合上式，
综上知，；
若，
设，则，解得：或，
即，所以，即．
综上知，存在实数，使得成立．
方法二、构造数列，且，
因为，所以，
则，
因为在上单调递增，所以，即是以2为公比的等比数列，
所以，所以，所以，
又因为，解得或，
所以，
综上知，存在实数，使得成立．
【点睛】方法点睛：对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新知识的获取理解能力，抓住关键点，解题不是事.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
5
3
4
9
8
7
6
10
2
12
14
13
11
15
0
1
2
3