【三轮冲刺】高考数学（大题培优）01 三角函数与解三角形

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【题型一】 三角函数性质与恒等变形
1.（2024·北京延庆·一模）已知函数，的最大值为.
(1)求的值；
(2)将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
2.（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
3.（2024·山东临沂·一模）已知向量，，函数.
(1)若，且，求的值；
(2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式.
【题型二】图像与性质：零点型
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；
(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.
2.（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
3.（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
【题型三】新结构第19题型：三角函数图像与性质型
1.（23-24高三北京昌平·）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论）
(2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.
2.（23-24·福建福州·）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
【题型四】解三角形：求最大角度型
1.（23-24高三·浙江金华·阶段练习）记锐角的内角为，
(1)若，求角的最大值；
(2)当角时，求的取值范围.
2.（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，设角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)求角的最大值.
3.（21-22高三·陕西榆林·）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求角的最大值.
【题型五】解三角形：边长与中线型最值
1.（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．
2.（2024·四川南充·二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求；
(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.
3.（22-23高三·江苏连云港·）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【题型六】解三角形：角平分线型求最值
1.（2022秋·山东青岛·高三统考）已知函数的图象经过，周期为.
(1)求的解析式；
(2)在中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，的角平分线交AB于D.若恰为的最大值，且此时，求的最小值.
2.（2023春·贵州安顺·高三统考）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求和的值；
(2)设点在边上，且，是的角平分线，求的最小值.
3.（2023春·福建三明·高三统考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．点D在BC上，且
(1)若，求c
(2)若AD是∠BAC的角平分线，且，求周长的最小值．
【题型七】解三角形：高的最值型
1.已知向量，定义函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.
甘肃省张掖市2022-2023学年高三下学期第一次全市联考数学（文）试题
2.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学）已知的内角满足.
(1)求角；
(2)若，设是中边上的高，求的最大值.
3.（辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高三上学期）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的值；
(2)若边上的高为3，求a的最小值.
【题型八】解三角形：双余弦型
1.（2022·辽宁·高三）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
2.在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.
(1)求的面积；
(2)当，求MN的长.
3.（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC=90°．
(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．
①；②．
【题型九】三角形外接圆
1.（2022·湖北·高一阶段练习）已知△ABC中，，，，D为AC中点.
(1)求角A及△ABC的面积；
(2)点P在△ABD的外接圆上，求的最大值.
2.（2022·四川·成都外国语学校高一期中（文））如图，在△ABC中，，，在AC的右侧取点D，构成平面四边形ABCD，且．
(1)求△ACD外接圆的面积；
(2)求△ACD周长的取值范围．
3.（2022·湖北·公安县车胤中学高一阶段练习）已知圆内接四边形中，，，．
(1)求的长及该外接圆的面积；
(2)求的正弦值
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7209" 【题型一】 三角函数性质与恒等变形 PAGEREF _Tc7209 \h 1
\l "_Tc16851" 【题型二】图像与性质：零点型 PAGEREF _Tc16851 \h 2
\l "_Tc17363" 【题型三】新结构第19题型：三角函数图像与性质型 PAGEREF _Tc17363 \h 3
\l "_Tc23111" 【题型四】解三角形：求最大角度型 PAGEREF _Tc23111 \h 4
\l "_Tc8513" 【题型五】解三角形：边长与中线型最值 PAGEREF _Tc8513 \h 5
\l "_Tc20040" 【题型六】解三角形：角平分线型求最值 PAGEREF _Tc20040 \h 6
\l "_Tc7809" 【题型七】解三角形：高的最值型 PAGEREF _Tc7809 \h 8
\l "_Tc20568" 【题型八】解三角形：双余弦型 PAGEREF _Tc20568 \h 8
\l "_Tc6653" 【题型九】三角形外接圆 PAGEREF _Tc6653 \h 9
已知的部分图象求其解析式时
比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：
余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：
零点求和型，多利用三角函数对称轴对称性求解
对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．
对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对新定义的题型要注意一下几点：
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.
对于与 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1.正用\逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找拆
2.边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3.
解三角形：最值范围
可以用余弦定理+均值不等式来求解。
可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
三角形中线处理方法：
1.向量法：
补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
在三角形中，如果涉及到角平分线，则可以从下边思维分析
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径