【三轮冲刺】高考数学（大题培优）05圆锥曲线

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【题型一】轨迹
1.（2024·重庆·模拟预测）已知点和直线，点到的距离 .
(1)求点的轨迹方程；
(2)不经过圆点的直线与点的轨迹交于，两点. 设直线，的斜率分别为，，记 ，是否存在值使得的面积为定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2.（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)点为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为，求证：.

3.（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设点，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A作，垂足为 H，求的最大值.

【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹
1.（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．

2.（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.

3.（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0．
(1)证明是一个双曲线并求其离心率；
(2)设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：；
(3)设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．

【题型三】直线所过定点不在坐标轴上
1.已知点M是抛物线的对称轴与准线的交点，过M作抛物线的一条切线，切点为P，且满足．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过作斜率为2的直线与抛物线C相交于点B，点，直线AT与BT分别交抛物线C于点E，F，设直线EF的斜率为k，是否存在常数，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

2.已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．

3.已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.

【题型四】面积比值范围型
1.（2022·全国·高三专题练习）是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于.
(1)求的标准方程；
(2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围.

2.（2023下·福建福州·高三校考）如图，已知圆的左顶点，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线轴时，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记的面积分别为，求的取值范围.

3.（2022·湖北黄冈·蕲春县第一高级中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，圆，椭圆与圆交于点，且.
(1)求椭圆方程.
(2)若过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，与圆交于两点，且，求的取值范围.

【题型五】非常规型四边形面积最值型
1.（2023·全国·高三专题练习）已知圆为坐标原点，点在圆上运动，为过点的圆的切线，以为准线的拋物线恒过点，抛物线的焦点为，记焦点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过动点的两条直线均与曲线相切，切点分别为，且的斜率之积为，求四边形面积的取值范围．

2.（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值．

3.（2023·全国·高三专题练习）如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．

(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)若、是曲线上的两点，是曲线C上位于直线两侧的动点．若直线的斜率为，求四边形面积的最大值．

【题型六】“三定”型：圆过定点
1.已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

2.已知椭圆经过点，且右焦点为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两个不同的点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问以为直径的圆是否过轴上的定点，若是求出定点坐标，若不是说明理由．

3.已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.
(1)求的方程；
(2)证明：以为直径的圆经过定点.

【题型七】“三定”型：斜率和定
1.已知点F是椭圆的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）已知，，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线，的斜率分别为，，若，求椭圆E的方程.

2..在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点.

3.已知右焦点为的椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过的直线与椭圆分别交于、（不与点重合），直线、分别与轴交于、，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【题型八】“三定”型：斜率积定
1.已知椭圆经过点，其左焦点为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，证明：直线PQ过定点.

2.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧．
(1)若直线l的斜率，求原点O到直线l的距离；
(2)记直线AM，BN的斜率分别为，，证明：为定值．

3.．已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，原点O为的重心；
①如果直线AB，OC的斜率都存在，求证：为定值；
②试判断的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.


【题型九】圆锥曲线切线型
1.已知椭圆E：的焦距为，且经过点．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值．

2.已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，上一点到距离之和为6.
(1)求的方程；
(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.

3.法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.

【题型十】“韦达定理”不能直接用
1.已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于 两点，的面积为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围.

2.在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，点M的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)直线l交曲线E于P，Q两点，交x轴于N点，交y轴于R点，若，若，求点N的坐标．

3.已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.

【题型十一】“非韦达”型：点带入型
1.已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.

2.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，上顶点到右焦点的距离为.过点作不垂直于轴，轴的直线，交椭圆于，两点，为线段的中点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）延长交椭圆于点，记与的面积分别为，，若，求直线的方程.

3.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆，连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点（均在轴上方）.连接，记的斜率为，的斜率为.
①求的值；
②求证：直线的交点在定直线上.

4.已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上.
（1）求的方程；
（2）设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4071" 【题型一】轨迹 PAGEREF _Tc4071 \h 1
\l "_Tc22065" 【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹 PAGEREF _Tc22065 \h 2
\l "_Tc20820" 【题型三】直线所过定点不在坐标轴上 PAGEREF _Tc20820 \h 3
\l "_Tc1490" 【题型四】面积比值范围型 PAGEREF _Tc1490 \h 4
\l "_Tc1749" 【题型五】非常规型四边形面积最值型 PAGEREF _Tc1749 \h 5
\l "_Tc14276" 【题型六】“三定”型：圆过定点 PAGEREF _Tc14276 \h 6
\l "_Tc6847" 【题型七】“三定”型：斜率和定 PAGEREF _Tc6847 \h 7
\l "_Tc7020" 【题型八】“三定”型：斜率积定 PAGEREF _Tc7020 \h 8
\l "_Tc15290" 【题型九】圆锥曲线切线型 PAGEREF _Tc15290 \h 9
\l "_Tc22080" 【题型十】“韦达定理”不能直接用 PAGEREF _Tc22080 \h 10
\l "_Tc11537" 【题型十一】“非韦达”型：点带入型 PAGEREF _Tc11537 \h 11
求轨迹方程的常见方法有:
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
求非常规型四边形的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，对于非常规四边形，如果使用的面积公式为，为此计算， 代入转化为的函数求最大值.
圆过定点思维：
1.可以根据特殊性，计算出定点，然后证明
2.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算
2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明。
4.通过推导求出定点（计算推导难度较大）
设抛物线，其上有不同的三点：，
当的斜率满足：
①时，过定点
②时，过定点或者
给定椭圆，与椭圆上定点，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有
①若，则直线过定点
②若，则直线过定点
在利用椭圆（双曲线）的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.
双曲线的以为切点的切线方程为
抛物线的切线：
（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；
（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．
1.利用公式，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）可以利用公式，可消去