江苏省盐城市实验高级中学2024届高三下学期三模数学试题

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注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．2D．2
3．设为抛物线的焦点，若点在上，则（ ）
A．3B．C．D．
4．若为偶函数，则（ ）
A．1B．0C．D．2
5．已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．5C．D．
6．已知等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A．288B．144C．96D．25
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则a的值为（ ）
A．B．C．D．
8．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ）

A．cm3B．33664 cm3C．33792 cm3D．35456 cm3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．在上单调递增
D．若，则的最小值为
11．已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（ ）
A．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2
B．当时，面积为
C．当时，点M的坐标为
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
13．已知动点的轨迹方程为，其中，则的最小值为 .
14．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．函数有 个不动点．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知是等比数列，，，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是等差数列，且, , 求.
16．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到下表：
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题.
(1)估计事件“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率；
(2)完成下面的2×2列联表，
(3)根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？
17．如图所示，在三棱柱中， 分别是，，的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
18．已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)设函数的极大值为，求证：．
19．已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为.平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
SO2的浓度
空气质量等级
[0，50]
（50，150]
（150，475]
1（优）
28
6
2
2（良）
5
7
8
3（轻度污染）
3
8
9
4（中度污染）
1
12
11
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
（150，475]
总计
空气质量好
空气质量不好
总计