江西省南昌市豫章中学223-2024学年高三下学期5月模拟（三模）数学试题（A卷）

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命题人：豫章中学高三数学备课组
一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列1,,…,的前n项和为( )
A. B. C. D.
【答案】B 【快解&点评：取n=1检验】
【解析】解：设此数列的第n项为,则…,数列1,,,…,…,…的前n项和：
…故选：
2.已知平面向量,满足,,则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】C 【快解&点评：4是2乘2,画个图.】
【解析】解：因为平面向量,满足,,所以在方向上的投影向量是故选
3.过圆M：上一点C作圆N：的切线,切点分别为A、B,则四边形ANBC面积的最小值为( )
A. B. 2C. D. 3
【答案】C 【快解&点评：画个图（这画出的并不是取最小值的状态）.】
【解析】解：由题意可得,圆M：,圆N：,圆M的圆心为,半径为1,圆N的圆心为,半径为1,则,所以圆M上的点到圆N的圆心的最小距离为,所以切线长的最小值为,故四边形ANBC的面积的最小值为故选：
4.如图,已知六棱锥的底面是正六边形,平面ABC,则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 平面平面 PBC
C. 直线平面 PAE
D. 直线平面 PAC
【答案】D 【快解&点评：将底面正六边形形正过来就一目了然.】
【解析】解：假设,因为平面ABC,故,则平面PAB,故,这在正六边形中显然不成立,所以A不正确;过点A作PB的垂线,垂足为H,若平面平面PBC,则平面PBC,所以,又,进一步可证平面PAB,则,这与底面是正六边形不符,所以B不正确;若直线平面PAE,平面平面,BC在平面ABC内,则,但BC与AE相交,所以C不正确；由,,可证直线平面PAC,所以D正确.故选
5.若,,,则正数大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】B 【快解&点评：是关键.】
【解析】解：作,,,的图象,由图可知,,故选
6.已知F为双曲线的左焦点,直线l经过点F,若点,关于直线l对称,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A 【快解&点评：解析几何,画图是美德.】
【解析】解： 因为直线l经过点F,点,关于直线l对称,所以,又,所以,得,化简得,所以,解得或舍去故选：
7.已知函数的定义域为,且,对任意,,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】A 【快解&点评：构造函数】
【解析】解：设,则 ,对任意,,恒成立,即在上单调递减,由可得,,解得故选
8.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中记述：羡除,隧道也,其所穿地,上平下邪．如图所示的五面体ABCDEF是一个羡除,两个梯形侧面ABCD与CDEF相互垂直,若,,,梯形ABCD与CDEF的高分别为3和1,则该羡除的体积( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A 【快解&点评：侧面BCF与平面CDEF是不是垂直都可以吧？两个梯形是不是直角梯形也都可以吧？那为什么不让他们都垂直了去？就成了一个直三棱术及一个四棱锥.】
【解析】解：如图,在平面ABCD内,过A,B两点分别作,,垂足分别为G,H,在平面CDEF内,过G,H分别作,,垂足为M,N,连接AM、BN,因为平面ABCD与平面CDEF相互垂直,,AG、平面ABCD,所以平面CDEF,平面CDEF,又MG、平面CDEF,所以,又,在平面ABCD内,,,所以,又平面AGM,平面AGM,所以平面AGM,在平面CDEF内,,,所以,又平面AGM,平面AGM,所以平面AGM,因为,BH、平面BHN,所以平面平面BHN,因为,,所以,因为,,GM、平面AGM,所以平面AGM,所以几何体为直棱柱,因为,,,,梯形ABCD与CDEF的高分别为3和1,所以,,,,,所以羡除ABCDEF可以分割为两个四棱锥、和一个直棱柱,故所求几何体的体积故选
二、多选题：本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.下列结论正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,则
【答案】BD 【快解&点评：生理要健康（视力要好）；心理要健康（情绪要稳定）.】
【解析】解：,,由,可得,故A错误,B正确,,则,故C错误,D正确.故选
10.已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等,则实数a的值可能为.( )
A. B. C. D.
【答案】AB 【快解&点评：二项式系数是什么？相关公式都能记住吧,但是,这样单独拎出来,还能认识么？】
【解析】解：的展开式中二项式系数的最大值为,展开式的通项公式为,令,则时,的系数为,,,故选：
11.设P是椭圆C：上任意一点,,是椭圆C的左、右焦点,则( )
A. B. C. D.
【答案】ACD 【快解&点评：选项B明显是错误的,所以这个题蛮容易的.注意,选B的错误源自它没有等号,定性的判定.与2不2无关.2是另一种错.】
【解析】解：对于A,椭圆长轴长为,根据椭圆定义,故A正确；对于B,设P是椭圆C上的任意一点,则,所以,,故B错误；对于C,,而,所以,故C正确；对于D,,又根据椭圆性质有,所以,,故D正确.故选
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设函数的导数为,且,则__________.
【答案】【快解&点评：导数是有几何意义的.】
【解析】.
13.如图,21个相同的正方形相接,则__________.
【答案】【快解&点评：①求两角和的正切更好一点；②翻下来,用余弦定理（勾股定理就过份了,上帝视角了吧）也好快；③翻下来,用数量积；④不翻下来,用复数幅角做（涉嫌超纲）；⑤用量角器量】
【解析】故.
14.已知复数,那么 __________.
【答案】【快解&点评：如图可以,两圆圆心中点为所求.】
【解析】设,则,解之得.
四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.本小题13分某中学为了解中学生的课外阅读时间,决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层随机抽样的方法抽取20名学生,对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类不参加课外阅读,B类参加课外阅读,但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时,C类参加课外阅读,且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时调查结果如表：
求出表中x,y的值；
根据表中的统计数据,完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；
以上表数据中参加课外阅读的频率作为该中学所在城市全体中学生是否参加课外阅读的概率.现从该城市随机抽取3名中学生,求其中参加课外阅读的人数的分布列及数学期望（结果用小数表示）.
附：²,
【快解&点评：】
【答案】解：设抽取的20人中,男、女生人数分别为,,
则,所以,；
列联表如下：
²,所以没有的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．
由题意可知,,且,故,其分布列为：;;;.
16.本小题15分在等腰梯形ABCD中,,,,点E为AB的中点．现将沿线段EC翻折,得四棱锥,且二面角为直二面角．
求证：；
求二面角的余弦值．
【快解&点评：第问也可以用与的面积比.】
【答案】解：如图连接DE,易知,均为正三角形,取CE中点Q,连接PQ, DQ,则,,又, 平面DPQ,平面PDQ,又平面PDQ,所以；
因为二面角为直二面角,所以平面平面AECD,又因为平面平面,且,平面PEC,所以平面又因为,故以点Q为坐标原点,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则,,所以,,设平面PAE的法向量为由,取,所以又因为直线平面AEC,所以是平面AEC的一个法向量,所以又因为二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值
17.本小题15分已知函数
求的单调区间和极值；
若对任意,恒成立,求实数m的最大值．
【快解&点评：本题较容易.但所谓难题,基本解题方法也就这一些.】
【答案】解：,,得,令,得：,的单调增区间是,单调减区间是在处取得极小值,极小值为,无极大值．
由变形,得恒成立,令,则,由,得,,得：所以,在上单调递减,在上单调递增．所以,,即,所以m的最大值是
18.本小题17分内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,满足
求A的大小；
如图,若,,D为所在平面内一点,,,求的面积.
【快解&点评：第问的细细碎碎的步骤太多.】
【答案】解：在中,,由正弦定理可得,,得,得,因为,所以,因为,所以；
在中,,,,所以
,所以,由,得,因为,在中,,,所以,因为,作于点,则为的中点,,,所以.
19.本小题17分给定数列,若对任意m,且,是中的项,则称为“H数列”．设数列的前n项和为
若,试判断数列是否为“H数列”,并说明理由；
设既等差数列又是“H数列”,且,,,求公差d的所有可能值；
设是等差数列,且对任意,是中的项,求证：是“H数列”．
【快解&点评：第真心很容易,第也可以做,第问大多数,绝大多数考生不可能有时间做.】
【答案】解：,当时,,当时,也成立,所以,
对任意m,且,,是“H数列”；
因为 ,,,所以,所以,由已知得也为数列中的项,令,即,所以,所以d为6的正因数,故d的所有可能值为1,2,3,6；
设数列的公差为d,所以存在,对任意,,即,当时,则,故,此时数列为“H数列”；当时,,取,则,所以,,当时,均为正整数,符合题意,当时,均为正整数,符合题意,所以,,设,,,即,
所以任意m,且,,显然,所以为数列中的项,是“H数列”. A类
B类
C类
男生
x
5
3
女生
y
3
3
男生
女生
总计
不参加课外阅读
参加课外阅读
总计
²
男生
女生
总计
不参加课外阅读
4
2
6
参加课外阅读
8
6
14
总计
12
8
20