数学9.1.1 正弦定理导学案

这是一份数学9.1.1 正弦定理导学案，共15页。


古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD．
思考：你知道古埃及人是如何利用这些数据计算的吗？
知识点1 三角形的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha＝eq \f(1,2)bhb＝eq \f(1,2)chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A．
(3)S＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
1．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝120°，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于( )
A．6 B．6eq \r(3) C．12 D．12eq \r(3)
B [由题意得，△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×3×8sin 120°＝eq \f(1,2)×3×8×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3)，故选B．]
知识点2 正弦定理
[拓展]
1．正弦定理的常用变形式
在△ABC中，若内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆半径为R．则
(1)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；
(2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(3)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；
(4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以实现边到角的转化)
(5)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)．(可以实现角到边的转化)
2．三角形中边角的不等关系
(1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C；
(2)若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．( )
(2)正弦定理不适用于钝角三角形．( )
(3)在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值．( )
(4)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c．( )
[提示] 正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故(3)正确；由比例性质和正弦定理可推知(4)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
知识点3 解三角形
(1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．
(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．
利用正弦定理解三角形需要哪些条件？
[提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角．
3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( )
A．5eq \r(2) B．10eq \r(3) C．eq \f(10\r(3),3) D．5eq \r(6)
B [由正弦定理得，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝10eq \r(3)．]
知识点4 对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：
(1)代数角度
由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin A,a)，
①若eq \f(bsin A,a)>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解；
②若eq \f(bsin A,a)＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解；
③若eq \f(bsin A,a)<1，则满足条件的三角形个数为1或2．
(2)几何角度
4．在△ABC中，若A＝30°，a＝2，b＝2eq \r(3)，则此三角形解的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不能确定
C [b·sin A＝2eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \r(3)，因为eq \r(3)<2<2eq \r(3)，
即b·sin A 类型1 利用正弦定理解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
(2)在△ABC中，已知c＝eq \r(6)，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
[解] (1)法一：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°．
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2)．
因为sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cs 45°＋cs 30°sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4)，
所以b＝eq \f(csin B,sin C)＝20×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq \r(2)＋5eq \r(6)．
所以a＝10eq \r(2)，b＝5eq \r(2)＋5eq \r(6)，B＝105°．
法二：设△ABC外接圆的直径为2R，
则2R＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(10,sin 30°)＝20．
易知B＝180°－(A＋C)＝105°，
所以a＝2Rsin A＝20×sin 45°＝10eq \r(2)，
b＝2Rsin B＝20×sin 105°
＝20×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq \r(2)＋5eq \r(6)．
所以a＝10eq \r(2)，b＝5eq \r(2)＋5eq \r(6)，B＝105°．
(2)因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
所以sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(6)sin 45°,2)＝eq \f(\r(3),2)．
因为0°a，所以C＝60°或C＝120°．
当C＝60°时，B＝75°，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 75°,sin 60°)＝eq \r(3)＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 15°,sin 120°)＝eq \r(3)－1．
所以b＝eq \r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq \r(3)－1，B＝15°，C＝120°．
[母题探究]
若将本例(2)中的条件“c＝eq \r(6)”改为“c＝eq \r(2)”，结果如何？
[解] 因为由正弦定理可知eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
所以sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(2)sin 45°,2)＝eq \f(1,2)．
因为c所以C＝30°．
所以B＝180°－45°－30°＝105°．
b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(2)sin 105°,\f(1,2))＝eq \r(3)＋1．
所以b＝eq \r(3)＋1，B＝105°，C＝30°．
1．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
2．已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角、大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能(填“能”或“不能”)判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差)，再根据上述思路求解．
eq \O([跟进训练])
1．(1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4eq \r(2) B．4eq \r(3) C．4eq \r(6) D．4
(2)在△ABC中，若A＝30°，BC＝4，AC＝4eq \r(2)，则角B的大小为( )
A．30° B．45°或135°
C．60° D．135°
(1)C (2)B [(1)易知A＝45°，
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(8×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4eq \r(6)．
(2)在△ABC中，由正弦定理得eq \f(4,sin 30°)＝eq \f(4\r(2),sin B)⇒sin B＝eq \f(\r(2),2)⇒B＝45°或135°．故选B．]
类型2 三角形的面积公式及其应用
【例2】 (教材P5例3改编)在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2eq \r(3)，AC＝2．求△ABC的面积．
[解] 由正弦定理，得sin C＝eq \f(AB·sin B,AC)＝eq \f(\r(3),2)，
又AB·sin B＜AC＜AB，故该三角形有两解：C＝60°或120°．
当C＝60°时，A＝90°，
S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin A＝2eq \r(3)；
当C＝120°时，A＝30°，
S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin A＝eq \r(3)．
所以△ABC的面积为2eq \r(3)或eq \r(3)．
三角形面积问题的求解方法
对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
eq \O([跟进训练])
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A＝3，cs C＝eq \f(\r(5),5)．
(1)求角B的大小；
(2)若c＝4，求△ABC的面积．
[解] (1)因为cs C＝eq \f(\r(5),5)，所以C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以sin C＝eq \f(2\r(5),5)，tan C＝2．
又因为tan B＝－tan(A＋C)＝－eq \f(tan A＋tan C,1－tan Atan C)
＝－eq \f(3＋2,1－3×2)＝1，且0＜B＜π，所以B＝eq \f(π,4)．
(2)由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得
b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(4×\f(\r(2),2),\f(2\r(5),5))＝eq \r(10)，
由sin A＝sin(B＋C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋C))
得sin A＝eq \f(3\r(10),10)，
所以△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝6．
类型3 利用正弦定理判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：在△ABC中，根据正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
因为sin2A＝sin2B＋sin2C，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))eq \s\up12(2)，
即a2＝b2＋c2，
所以A＝90°，所以B＋C＝90°，
由sin A＝2sin Bcs C，
得sin 90°＝2sin Bcs(90°－B)，
所以sin2B＝eq \f(1,2)．
因为B是锐角，所以sin B＝eq \f(\r(2),2)，
所以B＝45°，C＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形．
法二：在△ABC中，根据正弦定理，得
sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)．
因为sin2A＝sin2B＋sin2C，
所以a2＝b2＋c2，
所以△ABC是直角三角形且A＝90°．
因为A＝180°－(B＋C)，
sin A＝2sin Bcs C，
所以sin(B＋C)＝2sin Bcs C．
所以sin Bcs C－cs Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0．所以B－C＝0，即B＝C．
所以△ABC是等腰直角三角形．
[母题探究]
若将题设中的“sin A＝2sin Bcs C”改为“bsin B＝csin C”，其余不变，试解答本题．
[解] 由正弦定理，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆半径)，得sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，
sin C＝eq \f(c,2R)．
因为bsin B＝csin C，sin2A＝sin2B＋sin2C，
所以b·eq \f(b,2R)＝c·eq \f(c,2R)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))eq \s\up12(2)，
所以b2＝c2，a2＝b2＋c2，
所以b＝c，A＝90°．
所以△ABC为等腰直角三角形．
三角形形状的判断方法
(1)化边为角，走“三角变形”之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)；②eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)，eq \f(a,c)＝eq \f(sin A,sin C)，eq \f(b,c)＝eq \f(sin B,sin C)．
(2)化角为边，走“代数变形”之路，常用的转化方式有：①sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)；②eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,b)，eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(a,c)，eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(b,c)．
提醒：判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是锐角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
eq \O([跟进训练])
3．在△ABC中，若b＝acs C，试判断该三角形的形状．
[解] 因为b＝acs C，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝2R(2R为△ABC外接圆直径)，
所以sin B＝sin Acs C．
因为B＝π－(A＋C)，
所以sin (A＋C)＝sin Acs C．
即sin Acs C＋cs Asin C＝sin Acs C，
所以cs Asin C＝0，
因为A，C∈(0，π)，所以cs A＝0，所以A＝eq \f(π,2)，
所以△ABC为直角三角形．
类型4 利用正弦定理求范围或最值
【例4】 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsin A，求cs A＋sin C的取值范围．
[解] 因为a＝2bsin A，所以由正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，
所以sin B＝eq \f(1,2)．因为B为锐角，所以B＝eq \f(π,6)．
令y＝cs A＋sin C＝cs A＋sin[π－(B＋A)]＝cs A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋A))＝cs A＋sin eq \f(π,6)cs A＋cs eq \f(π,6)sin A＝eq \f(3,2)cs A＋eq \f(\r(3),2) sin A＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))．
由锐角三角形ABC知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0所以eq \f(π,3)所以eq \f(2π,3)所以eq \f(\r(3),2)所以cs A＋sin C的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))．
在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的思路
1利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量；
2将要求取值范围或最值的量表示成某一变量的函数三角函数，从而转化为函数的值域或最值的问题.
eq \O([跟进训练])
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acs C．
(1)求角C的大小；
(2)求eq \r(3)sin A－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
[解] (1)由正弦定理及已知条件得
sin Csin A＝sin Acs C．
因为00，从而sin C＝cs C，
又cs C≠0，所以tan C＝1，
即C＝eq \f(π,4)．
(2)由(1)知，B＝eq \f(3π,4)－A，于是eq \r(3)sin A－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝eq \r(3)sin A－cs (π－A)＝eq \r(3)sin A＋cs A＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))．
因为0从而当A＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即A＝eq \f(π,3)时，2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))取得最大值2．
综上所述，eq \r(3)sin A－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))的最大值为2，
此时A＝eq \f(π,3)，B＝eq \f(5π,12)．
1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝30°，b＝2，则eq \f(a,sin A)的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
C [由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(2,sin 30°)＝4．]
2．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝( )
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶eq \r(3)∶2 D．2∶eq \r(3)∶1
C [设A＝k，B＝2k，C＝3k，由A＋B＋C＝180°，得6k＝180°，k＝30°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶eq \r(3)∶2．]
3．在△ABC中，a＝20，A＝45°，B＝75°，则边c的长为 ( )
A．10eq \r(3) B．10eq \r(6) C．15eq \r(3) D．15eq \r(6)
B [由已知C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得c＝eq \f(a,sin A)·sin C＝eq \f(20,\f(\r(2),2))×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(6)．]
4．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
C [由eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)和正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可得eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C．
故△ABC为等边三角形．]
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若bsin A＝asin C，c＝1，则b＝__________，△ABC面积的最大值为__________．
1 eq \f(1,2) [因为bsin A＝asin C，所以由正弦定理可得ba＝ac，所以b＝c＝1；所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)sin A≤eq \f(1,2)，当sin A＝1，即A＝90°时三角形面积最大．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？
[提示] 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；
(2)已知两角和一边解三角形．
2．判断三角形形状通常有哪两种方法？
[提示] (1)边化角．考察角的关系主要有：
两角是否相等；三个角是否相等；是否有直角等．
(2)角化边．考察边的关系主要有：
两边是否相等；三边是否相等；是否满足勾股定理等．
平行四边形与三角形面积的计算公式
如图所示，在直角坐标系xOy中，已知eq \(OA,\s\up7(→))＝a＝(a1，a2)，eq \(OB,\s\up7(→))＝b＝(b1，b2)．以线段OA，OB为邻边作平行四边形OACB．我们常说，这个平行四边形是由向量eq \(OA,\s\up7(→))和eq \(OB,\s\up7(→))所组成的平行四边形．现在研究的课题是：如何计算出eq \(OA,\s\up7(→))和eq \(OB,\s\up7(→))所组成的平行四边形的面积？
设〈a，b〉＝θ，▱OACB的边OA上的高为h，我们可以从▱OACB的面积
S＝|a|h，①
推出S＝|a||b|sin θ．②
在平面向量一章，由向量的坐标可以算出向量的长度和夹角的余弦或正弦，代入②，就可以得到由向量a和b所组成的平行四边形的面积公式
S＝|a1b2－a2b1|．③
也可以用直线方程知识，算出点B到直线OA的距离h和OA的长度，代入①，同样可以得到上面的公式．
请同学们利用上面的提示，求证公式③．
由平行四边形面积公式，很容易得到三角形的面积公式(如图)．
S△OAB＝eq \f(1,2)|a||b|sin θ；
S△OAB＝eq \f(1,2)|a1b2－a2b1|．
1．掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)
2．理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正弦定理解决三角形度量和边角转化问题，会判断三角形的形状．(难点)
3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)
1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养．
2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养．
图形
关系式
解的个数
A为锐角
① ②
①a＝bsin A；
②a≥b
一解
bsin_A两解
a无解
A为钝角或直角
a>b
一解
a≤b
无解