高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.2 余弦定理学案及答案

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如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝eq \r(3) km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°．
思考：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？
知识点1 余弦定理
(1)文字语言
三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．
(2)符号语言
a2＝b2＋c2－2bccs A，
b2＝a2＋c2－2accs B，
c2＝a2＋b2－2abcs C．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解．( )
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．( )
(3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题．( )
(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．( )
[提示] (1)×．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解．
(2)√．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
(3)√．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
(4)√．余弦定理可以看作勾股定理的推广．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
知识点2 余弦定理的推论
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)．
[拓展]
判定三角形形状时经常用到下列结论
(1)在△ABC中，若a2(2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2．
(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°b2＋c2．
2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cs C的值为( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,4) D．－eq \f(1,4)
A [根据正弦定理，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)，
则cs C＝eq \f(9k2＋4k2－9k2,2×3k×2k)＝eq \f(1,3)．]
3．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝ ．
120° [因为a2＝b2＋bc＋c2，
所以b2＋c2－a2＝－bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(－bc,2bc)＝－eq \f(1,2)，
又因为0°＜A＜180°，所以A＝120°．]
类型1 已知两边及一角解三角形
【例1】 (1)(教材P9例1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cs(A＋B)＝eq \f(1,3)，则c＝ ．
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝2eq \r(2)，C＝15°，求A，B和c．
(1)eq \r(17) [由三角形内角和定理可知
cs C＝－cs(A＋B)＝－eq \f(1,3)，又由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcs C＝9＋4－2×3×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝17，所以c＝eq \r(17)．]
(2)[解] 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，
即c2＝4＋8－2×2×2eq \r(2)×cs 15°＝12－8eq \r(2)×cs 15°．
因为cs 15°＝cs(45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
所以c2＝8－2eq \r(12)＝(eq \r(6)－eq \r(2))2，
所以c＝eq \r(6)－eq \r(2)或c＝eq \r(2)－eq \r(6)(舍去)．
因为cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，且0°所以A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝135°．
所以A＝30°，B＝135°，c＝eq \r(6)－eq \r(2)．
已知两边及一角解三角形的方法
(1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解．
(2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便．
eq \O([跟进训练])
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c．
[解] 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0．
所以x1＝eq \f(3,5)，x2＝－2(舍去)．
所以cs C＝eq \f(3,5)．
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcs C＝52＋32－2×5×3×eq \f(3,5)＝16．
所以c＝4，即第三边长c为4．
类型2 已知三边或三边关系解三角形
【例2】 (1)已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝eq \r(37)，求△ABC的最大内角．
(2)在△ABC中，已知c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，求角C．
[解] (1)因为c>a，c>b，所以C最大．
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C，
即37＝9＋16－24cs C，
所以cs C＝－eq \f(1,2)，
因为0°所以C＝120°．
所以△ABC的最大内角为120°．
(2)因为c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，
所以[c2－(a2＋b2)]2－a2b2＝0，
则c2－(a2＋b2)＝±ab，
故cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝±eq \f(1,2)．
又因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°．
已知三边求三角的基本方法
方法一：直接根据余弦定理的三个变式求出三角．
方法二：首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角，再由正弦定理或余弦定理求出另一个锐角，最后由三角形的内角和定理求出第三个角．
eq \O([跟进训练])
2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
B [因为(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
又角A为△ABC的内角，
所以A＝60°．]
类型3 判断三角形的形状
【例3】 (教材P9例3改编)在△ABC中，若(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)sin A，判断△ABC的形状．
[解] 法一：因为(a－c·cs B)sin B＝(b－c·cs A)sin A，
所以由正、余弦定理可得：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2．
所以a2＋b2＝c2或a＝b．
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
法二：根据正弦定理，原等式可化为：
(sin A－sin Ccs B)sin B
＝(sin B－sin Ccs A)sin A，
即sin Ccs Bsin B＝sin Ccs Asin A．
因为sin C≠0，所以sin Bcs B＝sin Acs A，
所以sin 2B＝sin 2A．
所以2B＝2A或2B＋2A＝π，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)．
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
正、余弦定理判断三角形形状
(1)用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，或借助正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式，这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能被用到．
eq \O([跟进训练])
3．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccs Bcs C，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：(化角为边)将已知等式变形为b2(1－cs2C)＋c2(1－cs2B)＝2bccs Bcs C．
由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))eq \s\up12(2)－c2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋c2－b2,2ac)))eq \s\up12(2)＝2bc×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)×eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
所以b2＋c2＝eq \f([a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2,4a2)＝eq \f(4a4,4a2)＝a2．
所以A＝90°．所以△ABC是直角三角形．
法二：(化边为角)由正弦定理，已知条件可化为sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccs Bcs C．
又sin Bsin C≠0，
所以sin Bsin C＝cs Bcs C，即cs (B＋C)＝0．
又因为0°所以△ABC是直角三角形．
类型4 正弦定理、余弦定理的综合应用
【例4】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cs B＋bcs A＝0．
(1)求B的大小；
(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋2eq \r(3)，求△ABC的面积．
[解] (1)由已知及正弦定理得
(sin A＋2sin C)cs B＋sin Bcs A＝0，
(sin Acs B＋sin Bcs A)＋2sin Ccs B＝0，
sin(A＋B)＋2sin CcsB＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，
所以cs B＝－eq \f(1,2)，因为0(2)由余弦定理得9＝a2＋c2－2accs B．
所以a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9．
因为a＋b＋c＝3＋2eq \r(3)，b＝3，所以a＋c＝2eq \r(3)，
所以ac＝3，所以S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),4)．
正、余弦定理的综合应用的求解策略
正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．
eq \O([跟进训练])
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs C＋(cs A－eq \r(3)sin A)cs B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
[解] (1)由已知得－cs(A＋B)＋cs Acs B－eq \r(3)sin A·cs B＝0，
即有sin Asin B－eq \r(3)sin Acs B＝0．
因为sin A≠0，
所以sin B－eq \r(3) cs B＝0．
又cs B≠0，
所以tan B＝eq \r(3)．
又0＜B＜π，
所以B＝eq \f(π,3)．
(2)由余弦定理，
可知b2＝a2＋c2－2accs B．
因为a＋c＝1，cs B＝eq \f(1,2)，
所以b2＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)．
又0＜a＜1，
于是有eq \f(1,4)≤b2＜1，
即有eq \f(1,2)≤b＜1．
1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
B [设中间角为角B，由余弦定理，得cs B＝eq \f(52＋82－72,2×5×8)＝eq \f(40,80)＝eq \f(1,2)，所以B＝60°，
所以最大角与最小角的和为180°－B＝180°－60°＝120°．]
2．(多选题)在△ABC中，已知A＝30°，3a＝eq \r(3)b＝12，则c的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．无解
AC [由3a＝eq \r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq \r(3)，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccs A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8．]
3．在△ABC中，若2cs Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
C [因为2cs Bsin A＝sin C，所以2×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)·a＝c，
所以a＝b．故△ABC为等腰三角形．]
4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝ ．
0 [由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－2accs 120°＝a2＋c2＋ac，所以a2＋c2＋ac－b2＝0．]
5．在△ABC中，cs A＝－eq \f(1,2)，a＝eq \r(3)c，则eq \f(b,c)＝ ．
1 [由余弦定理可得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝
eq \f(b2＋c2－\r(3)c2,2bc)＝－eq \f(1,2)，
整理得b2＋bc－2c2＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))eq \s\up12(2)＋eq \f(b,c)－2＝0，解得eq \f(b,c)＝1(负值舍去)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．应用余弦定理我们可以解决哪两类解三角形问题？
[提示] (1)已知三边，求三角．
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
2．勾股定理和余弦定理的联系与区别？
[提示] 二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方之间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方之间的关系，是余弦定理的特例．
1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．
2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(重点)
3．能应用余弦定理判断三角形形状．(重点)
4．能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问题．(难点)
1．借助余弦定理的推导，提升逻辑推理的素养．
2．通过余弦定理的应用的学习，培养数学运算的素养．