高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.2 余弦定理学案及答案
展开如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离,其中AB=eq \r(3) km,AC=1 km,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC=150°.
思考:根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗?
知识点1 余弦定理
(1)文字语言
三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍.
(2)符号语言
a2=b2+c2-2bccs A,
b2=a2+c2-2accs B,
c2=a2+b2-2abcs C.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角形,但不能用余弦定理去解.( )
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.( )
(3)利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题.( )
(4)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.( )
[提示] (1)×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中,已知两边及一边的对角,既可以用正弦定理求解,也可以用余弦定理求解.
(2)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形.
(3)√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确.
(4)√.余弦定理可以看作勾股定理的推广.
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
知识点2 余弦定理的推论
cs A=eq \f(b2+c2-a2,2bc),
cs B=eq \f(a2+c2-b2,2ac),
cs C=eq \f(a2+b2-c2,2ab).
[拓展]
判定三角形形状时经常用到下列结论
(1)在△ABC中,若a2
(3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则90°b2+c2.
2.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cs C的值为( )
A.eq \f(1,3) B.-eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.-eq \f(1,4)
A [根据正弦定理,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),
则cs C=eq \f(9k2+4k2-9k2,2×3k×2k)=eq \f(1,3).]
3.在△ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A= .
120° [因为a2=b2+bc+c2,
所以b2+c2-a2=-bc,
所以cs A=eq \f(b2+c2-a2,2bc)=eq \f(-bc,2bc)=-eq \f(1,2),
又因为0°<A<180°,所以A=120°.]
类型1 已知两边及一角解三角形
【例1】 (1)(教材P9例1改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cs(A+B)=eq \f(1,3),则c= .
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,b=2eq \r(2),C=15°,求A,B和c.
(1)eq \r(17) [由三角形内角和定理可知
cs C=-cs(A+B)=-eq \f(1,3),又由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcs C=9+4-2×3×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)))=17,所以c=eq \r(17).]
(2)[解] 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcs C,
即c2=4+8-2×2×2eq \r(2)×cs 15°=12-8eq \r(2)×cs 15°.
因为cs 15°=cs(45°-30°)=cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°=eq \f(\r(6)+\r(2),4),
所以c2=8-2eq \r(12)=(eq \r(6)-eq \r(2))2,
所以c=eq \r(6)-eq \r(2)或c=eq \r(2)-eq \r(6)(舍去).
因为cs A=eq \f(b2+c2-a2,2bc)=eq \f(\r(3),2),且0°所以A=30°,B=180°-(A+C)=135°.
所以A=30°,B=135°,c=eq \r(6)-eq \r(2).
已知两边及一角解三角形的方法
(1)当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求出第三边,再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解.
(2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况的讨论.利用余弦定理求解相对简便.
eq \O([跟进训练])
1.在△ABC中,已知a=5,b=3,C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根,求第三边长c.
[解] 5x2+7x-6=0可化为(5x-3)(x+2)=0.
所以x1=eq \f(3,5),x2=-2(舍去).
所以cs C=eq \f(3,5).
根据余弦定理,
c2=a2+b2-2abcs C=52+32-2×5×3×eq \f(3,5)=16.
所以c=4,即第三边长c为4.
类型2 已知三边或三边关系解三角形
【例2】 (1)已知△ABC的三边长为a=3,b=4,c=eq \r(37),求△ABC的最大内角.
(2)在△ABC中,已知c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0,求角C.
[解] (1)因为c>a,c>b,所以C最大.
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcs C,
即37=9+16-24cs C,
所以cs C=-eq \f(1,2),
因为0°
所以△ABC的最大内角为120°.
(2)因为c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0,
所以[c2-(a2+b2)]2-a2b2=0,
则c2-(a2+b2)=±ab,
故cs C=eq \f(a2+b2-c2,2ab)=±eq \f(1,2).
又因为0°<C<180°,所以C=60°或C=120°.
已知三边求三角的基本方法
方法一:直接根据余弦定理的三个变式求出三角.
方法二:首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角,再由正弦定理或余弦定理求出另一个锐角,最后由三角形的内角和定理求出第三个角.
eq \O([跟进训练])
2.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
B [因为(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc,
所以b2+c2-a2=bc,
所以cs A=eq \f(b2+c2-a2,2bc)=eq \f(1,2),
又角A为△ABC的内角,
所以A=60°.]
类型3 判断三角形的形状
【例3】 (教材P9例3改编)在△ABC中,若(a-c·cs B)·sin B=(b-c·cs A)sin A,判断△ABC的形状.
[解] 法一:因为(a-c·cs B)sin B=(b-c·cs A)sin A,
所以由正、余弦定理可得:
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-c·\f(a2+c2-b2,2ac)))·b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b-c·\f(b2+c2-a2,2bc)))·a,
整理得:(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
所以a2+b2-c2=0或a2=b2.
所以a2+b2=c2或a=b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
法二:根据正弦定理,原等式可化为:
(sin A-sin Ccs B)sin B
=(sin B-sin Ccs A)sin A,
即sin Ccs Bsin B=sin Ccs Asin A.
因为sin C≠0,所以sin Bcs B=sin Acs A,
所以sin 2B=sin 2A.
所以2B=2A或2B+2A=π,
即A=B或A+B=eq \f(π,2).
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
正、余弦定理判断三角形形状
(1)用余弦定理将等式转化为边之间的关系式,或借助正弦定理,将已知等式转化为角的三角函数关系式,这两种方法是判断三角形形状的常用手段.
(2)一般地,如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式,要考虑用余弦定理;反之,若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式,则大多用正弦定理;若是以上特征不明显,则要考虑两个定理都有可能被用到.
eq \O([跟进训练])
3.在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccs Bcs C,试判断△ABC的形状.
[解] 法一:(化角为边)将已知等式变形为b2(1-cs2C)+c2(1-cs2B)=2bccs Bcs C.
由余弦定理并整理,得b2+c2-b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2+b2-c2,2ab)))eq \s\up12(2)-c2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2+c2-b2,2ac)))eq \s\up12(2)=2bc×eq \f(a2+c2-b2,2ac)×eq \f(a2+b2-c2,2ab),
所以b2+c2=eq \f([a2+b2-c2+a2+c2-b2]2,4a2)=eq \f(4a4,4a2)=a2.
所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
法二:(化边为角)由正弦定理,已知条件可化为sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccs Bcs C.
又sin Bsin C≠0,
所以sin Bsin C=cs Bcs C,即cs (B+C)=0.
又因为0°所以△ABC是直角三角形.
类型4 正弦定理、余弦定理的综合应用
【例4】 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cs B+bcs A=0.
(1)求B的大小;
(2)若b=3,△ABC的周长为3+2eq \r(3),求△ABC的面积.
[解] (1)由已知及正弦定理得
(sin A+2sin C)cs B+sin Bcs A=0,
(sin Acs B+sin Bcs A)+2sin Ccs B=0,
sin(A+B)+2sin CcsB=0,又sin(A+B)=sin C,且C∈(0,π),sin C≠0,
所以cs B=-eq \f(1,2),因为0(2)由余弦定理得9=a2+c2-2accs B.
所以a2+c2+ac=9,则(a+c)2-ac=9.
因为a+b+c=3+2eq \r(3),b=3,所以a+c=2eq \r(3),
所以ac=3,所以S△ABC=eq \f(1,2)acsin B=eq \f(1,2)×3×eq \f(\r(3),2)=eq \f(3\r(3),4).
正、余弦定理的综合应用的求解策略
正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具,这类题目往往结合基本的三角恒等变换,同时注意三角形中的一些重要性质,如内角和为180°、大边对大角等.
eq \O([跟进训练])
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cs C+(cs A-eq \r(3)sin A)cs B=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
[解] (1)由已知得-cs(A+B)+cs Acs B-eq \r(3)sin A·cs B=0,
即有sin Asin B-eq \r(3)sin Acs B=0.
因为sin A≠0,
所以sin B-eq \r(3) cs B=0.
又cs B≠0,
所以tan B=eq \r(3).
又0<B<π,
所以B=eq \f(π,3).
(2)由余弦定理,
可知b2=a2+c2-2accs B.
因为a+c=1,cs B=eq \f(1,2),
所以b2=3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-\f(1,2)))eq \s\up12(2)+eq \f(1,4).
又0<a<1,
于是有eq \f(1,4)≤b2<1,
即有eq \f(1,2)≤b<1.
1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( )
A.90° B.120°
C.135° D.150°
B [设中间角为角B,由余弦定理,得cs B=eq \f(52+82-72,2×5×8)=eq \f(40,80)=eq \f(1,2),所以B=60°,
所以最大角与最小角的和为180°-B=180°-60°=120°.]
2.(多选题)在△ABC中,已知A=30°,3a=eq \r(3)b=12,则c的值为( )
A.4 B.6
C.8 D.无解
AC [由3a=eq \r(3)b=12,得a=4,b=4eq \r(3),利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccs A,即16=48+c2-12c,解得c=4或c=8.]
3.在△ABC中,若2cs Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
C [因为2cs Bsin A=sin C,所以2×eq \f(a2+c2-b2,2ac)·a=c,
所以a=b.故△ABC为等腰三角形.]
4.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2= .
0 [由余弦定理b2=a2+c2-2accs B=a2+c2-2accs 120°=a2+c2+ac,所以a2+c2+ac-b2=0.]
5.在△ABC中,cs A=-eq \f(1,2),a=eq \r(3)c,则eq \f(b,c)= .
1 [由余弦定理可得cs A=eq \f(b2+c2-a2,2bc)=
eq \f(b2+c2-\r(3)c2,2bc)=-eq \f(1,2),
整理得b2+bc-2c2=0,即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))eq \s\up12(2)+eq \f(b,c)-2=0,解得eq \f(b,c)=1(负值舍去).]
回顾本节知识,自我完成以下问题:
1.应用余弦定理我们可以解决哪两类解三角形问题?
[提示] (1)已知三边,求三角.
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
2.勾股定理和余弦定理的联系与区别?
[提示] 二者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方之间的关系,勾股定理反映了直角三角形中三边平方之间的关系,是余弦定理的特例.
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(重点)
3.能应用余弦定理判断三角形形状.(重点)
4.能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问题.(难点)
1.借助余弦定理的推导,提升逻辑推理的素养.
2.通过余弦定理的应用的学习,培养数学运算的素养.
人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台导学案及答案: 这是一份人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台导学案及答案,共8页。学案主要包含了学习重点,学习难点,变式练习,概念辨析等内容,欢迎下载使用。
人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理第2课时导学案及答案: 这是一份人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理第2课时导学案及答案,共10页。学案主要包含了学习重点,学习难点,变式练习等内容,欢迎下载使用。
人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用第2课时学案及答案: 这是一份人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用第2课时学案及答案,共10页。学案主要包含了学习重点,学习难点,变式练习等内容,欢迎下载使用。