人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.1 复数及其几何意义10.1.1 复数的概念学案

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远古时期，人类常用“结绳计数”或“堆石”计数或刻痕计数，从中逐步产生了自然数的概念，在分配劳动成果的过程中，产生了“正分数”的概念，随着人类商品交换时代的来临，为了表示相反意义的量，又引入了“负数”的概念，至此人们认为所有的数都可以用两个互质的整数的比值来表示．然而，随着人类种植活动的兴盛，在丈量土地、计算长度、计算产量过程中产生了经验几何学，其中在勾股定理使用中发现：在求两直角边长度都是“1”的直角三角形斜边的时候，其斜边长度不能用任何有理数来表示，于是引入了无理数，把数集扩充为实数集．数集发展的动力和原因是什么？还有没有比实数集范围更大的数集呢？
知识点1 复数的概念
(1)数系的扩充及对应的集合符号表示
(2)复数的有关概念
1．(1＋eq \r(3))i的实部与虚部分别是( )
A．1，eq \r(3) B．1＋eq \r(3)，0
C．0,1＋eq \r(3) D．0，(1＋eq \r(3))i
C [(1＋eq \r(3))i可看作0＋(1＋eq \r(3))i＝a＋bi，a，b∈R，所以实部a＝0，虚部b＝1＋eq \r(3)．]
知识点2 复数的分类
1复数a＋bia，b∈Req \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数(b＝0),虚数(b≠0)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数(a＝0),非纯虚数(a≠0)))))
(2)集合表示
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．( )
(3)bi是纯虚数．( )
[提示] (1)× 当b＝0时，z＝a＋bi为实数．
(2)√
(3)× 当b＝0时，bi＝0为实数．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
知识点3 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．
两个实数可以比较大小，复数集中不全是实数的两个数能否比较大小？为什么？
[提示] 不能比较大小，如i和0．
若i＞0，则i·i＞0·i，即－1＞0，不成立．
若i＜0，则i·i＞0·i，即－1＞0，不成立．
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为 ．
1，－1 [因为(x＋y)i＝x－1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－1＝0，))
所以x＝1，y＝－1．]
类型1 复数的概念
【例1】 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0．其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝ ，b＝ ．
(3)下列命题正确的是 ．(填序号)
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
(1)B (2)±eq \r(2) 5 (3)③ [(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±eq \r(2)，b＝5．
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．]
准确理解复数的实部与虚部的概念
复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚数单位的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
eq \O([跟进训练])
1．(多选题)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A．若a≠0，则ai是纯虚数
B．虚部为－eq \r(2)的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集
D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
BCD [对于A，若a＝i，则ai＝i2＝－1，不是纯虚数，故A错误；对于B，虚部为－eq \r(2)的虚数可以表示为m－eq \r(2)i(m∈R)，有无数个，故B正确；根据复数的分类，C正确；对于D，两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确．]
类型2 复数的分类
【例2】 (1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b
(2)(教材P27例1改编)已知m∈R，复数z＝eq \f(m(m＋2),m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
①z为实数？②z为虚数？③z为纯虚数？
(1)D [要使复数z为纯虚数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝0，,a＋|a|≠0，))所以a>0，a＝±b．故选D．]
(2)[解] ①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且eq \f(m(m＋2),m－1)有意义，即m－1≠0，解得m＝－3．
②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且eq \f(m(m＋2),m－1)有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
③要使z为纯虚数，需满足eq \f(m(m＋2),m－1)＝0(m≠1)，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
[母题探究]
若把本例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
[解] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，
即|a|＝－a，所以a≤0．
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．
类型3 复数相等的充要条件
1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
[提示] 由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
[提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0．
【例3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
[思路探究] 根据复数相等的充要条件求解．
[解] (1)由复数相等的充要条件，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))
(2)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,a＝11))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(5,2)，,a＝－\f(71,5)，))
所以实数a的值为11或－eq \f(71,5)．
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．
eq \O([跟进训练])
2．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值．
[解] 由复数相等的条件得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－6＝0，①,x－y－2＝0，②))
由②得x＝y＋2，
代入①得y2＋2y－1＝0．
解得y1＝－1＋eq \r(2)，y2＝－1－eq \r(2)．
所以x1＝y1＋2＝1＋eq \r(2)，x2＝y2＋2＝1－eq \r(2)．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\r(2)，,y＝－1＋\r(2)))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\r(2)，,y＝－1－\r(2).))
1．设i是虚数单位，m，n为实数，复数z＝m＋ni为虚数，则( )
A．m＝0 B．n≠0
C．m＝0且n≠0 D．mn≠0
B [若复数是虚数，则n≠0，故选B．]
2．设x∈R，i是虚数单位，则“x＝2”是“复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [若复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i(x∈R)为纯虚数，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4＝0，,x＋2≠0，))
解得x＝2．
所以“x＝2”是“z是纯虚数”的充要条件．
故选C．]
3．在复数集范围内，满足方程x2＋1＝0的x的取值是( )
A．1 B．－1
C．i D．±i
D [因为x2＋1＝0，所以x2＝－1，而(±i)eq \s\up12(2)＝－1．故选D．]
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m＝ ．
－3 [因为z＜0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－9＝0，,m＋1＜0，))
所以m＝－3．]
5．若实数x，y满足x＋yi＝－1＋(x－y)i(i是虚数单位)，则xy＝ ．
eq \f(1,2) [因为x＋yi＝－1＋(x－y)i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝x－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(1,2)，))
因此xy＝eq \f(1,2)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？
[提示] 不一定，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b．
2．你是如何理解两个复数相等这一概念的？
[提示] (1)根据复数相等的定义，知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di(a，b，c，d∈R)．
(2)若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必须都是实数(即虚部均为0)．
(3)若两个复数不全是实数，则不能比较大小．
3．复数是如何分类的？
[提示] 复数a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数(b＝0)，,虚数(b≠0)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数(a＝0)，,非纯虚数(a≠0).))))
1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．(重点)
2．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点、难点)
3．理解复数的代数表示法．(重点)
4．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(易混点)
1．通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养．
2．借助复数的概念，提升数学抽象的素养．