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人教B版 (2019)必修 第四册11.1.2 构成空间几何体的基本元素学案
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这是一份人教B版 (2019)必修 第四册11.1.2 构成空间几何体的基本元素学案，共12页。
国家体育场的主体建筑“鸟巢”主要由巨大的门式钢架组成，共有24根桁架柱，其结构科学简单，设计新颖独特，为国际上极富特色的巨型建筑．与“鸟巢”相呼应的是“水立方”——国家游泳中心．国家游泳中心也是北京奥运会标志性建筑，它以冰晶状的亮丽身姿，装点着奥林匹克公园．你能说出它们作为一个空间几何体是由哪些基本元素构成的吗？
知识点1 空间中的点、线、面
1．用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
(1)
(2)
(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．
2．构成空间几何体的基本元素
点、线、面是构成空间几何体的基本元素．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．( )
(2)直线的移动只能形成平面．( )
(3)平静的太平洋就是一个平面．( )
[提示] (1)正确．
(2)直线移动可能形成曲面，故错误．
(3)平面是没有大小的，故错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
知识点2 空间中点与直线、直线与直线的位置关系
1．空间中点与直线的关系
点A在直线l上，记作A∈l；点A不在直线l上，记作Al．
2．直线与直线的位置关系
(1)直线a与直线b平行，记作a∥b；
(2)直线a与直线b相交于点A，记作a∩b＝A；
(3)直线a与直线b异面．
3．异面直线的定义
空间中的两条直线，既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面．
(1)为何点与直线、平面的关系用“∈”或“”表示？
(2)如何从公共点个数的角度对空间两条直线分类？
(3)如何以是否共面的角度对空间两条直线分类？
[提示] (1)因为直线与平面都看作是点构成的集合，而点是元素，因此点与直线、平面的关系就是元素与集合间的关系，所以用“∈”或“”表示．
(2)两条直线有一个公共点，则两条直线相交；两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面．
(3)若两条直线共面，则这两条直线相交或平行；若两条直线不共面，则这两条直线是异面直线．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)没有公共点的两条直线是平行直线．( )
(2)互相垂直的两条直线是相交直线．( )
(3)既不平行又不相交的两条直线是异面直线．( )
(4)不在同一平面内的两条直线是异面直线．( )
[提示] 异面直线既不平行，也不相交，故(1)错误；互相垂直不一定相交，因为有异面垂直，故(2)错误；(3)正确；不在同一平面内的两条直线平行或异面或相交，故(4)错误．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
知识点3 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
1．空间中直线与平面的位置关系
(1)直线l上的所有点都在平面α内，称为直线l在平面α内(或平面α过直线l)，记作l⊂α．
(2)直线m与平面α有且只有一个公共点，称为直线m与平面α相交，记作m∩α＝B．
(3)直线l与平面α满足l∩α＝∅时，称为直线l与平面α平行，记作l∥α．
2．空间中平面与平面的位置关系
(1)平面α与平面β有公共点，称为平面α与平面β相交，记作α∩β≠∅．
(2)如果α与β是空间中的两个平面，当α∩β＝∅时，称平面α与平面β平行，记作α∥β．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α．( )
(2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．( )
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点． ( )
[提示] 由直观想象(1)有l∩α≠∅的情况，不正确；(2)中有另一条在这个平面内的情况，不正确；(3)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
知识点4 直线与平面垂直
1．直线与平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足．
2．点到平面的距离
由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离．
3．直线到平面的距离与两平行平面之间的距离
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离．
4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则直线BC到面A1B1C1D1的距离为 ；直线BC1到面ADD1A1的距离为 ；面ABB1A1与面DCC1D1的距离为 ．
5 4 3 [直线BC到面A1B1C1D1的距离为BB1＝AA1＝5；
直线BC1到面ADD1A1的距离为AB＝4；
面ABB1A1与面DCC1D1的距离为BC＝3．]
类型1 图形语言、文字语言、符号语言的相互转化
【例1】 (教材P65练习B第2题改编)(1)点P在直线a上，直线a在平面α内可记为( )
A．P∈a，a⊂α B．P⊂a，a⊂α
C．P⊂a，a∈α D．P∈a，a∈α
(2)用符号表示下列语句，并画出图形．
①平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B．
②点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上．
[思路探究] 直线和平面看作点的集合⇒类比元素与集合、集合与集合之间关系的表示方法进行表示．
(1)A [由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为a⊂α，故A正确．]
(2)[解] ①用符号表示：
α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
②用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，CAB，如图．
三种语言的转换方法
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别．
eq \O([跟进训练])
1．如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
(1)点C与平面β： ．
(2)点A与平面α： ．
(3)直线AB与平面α： ．
(4)直线CD与平面α： ．
(5)平面α与平面β： ．
[答案] (1)Cβ (2)Aα (3)AB∩α＝B
(4)CD⊂α (5)α∩β＝BD
类型2 空间两直线的位置关系
【例2】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：
①直线DM与CC1是相交直线；
②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的为 (把你认为正确结论的序号都填上)．
①③④ [①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交．故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④．]
空间中两直线位置关系
判断两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义，在很多情况下，定义就是一种常用的判断方法．
eq \O([跟进训练])
2．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几种说法：
(1)若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
(2)若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
(3)若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．其中不正确的是 (填序号)．
(1)(2)(3) [对于(1)，如图在长方体ABCDA1B1C1D1中，令AB所在直线为b，AA1所在直线为a．
若BC所在直线为c，
则a与c异面．
若AD所在直线为c，则a与c相交，
若BB1所在直线为c，则a∥c，故(1)不正确．
对于(2)，若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行、异面、相交，故(2)不正确．
对于(3)，a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行、相交、异面，故(3)不正确．]
类型3 直线与平面、平面与平面的位置关系
1．射线运动后的轨迹是什么？
[提示] 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示] 面可以列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；
线可以列举如下：
直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；
点可以列举如下：点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2．
【例3】 在长方体ABCDA′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？
[思路探究] 观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．
[解] (1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′．
(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′．
[母题探究]
1．在本例中其他条件不变，
(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
[解] (1)有平面AB′，平面CD′．
(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC．
2．本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？
[解] 有A′A，A′B′，D′D，D′C′．
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°．
3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示平面A′B与平面D′C之间的距离？
[解] A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．
1．平行关系的判定
(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．
(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．
(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．
2．垂直关系的判定
(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．
(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．
类型4 求点面距、线面距、面面距
【例4】 已知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点C到平面BDD1B1的距离为( )
A．1 B．eq \r(2) C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
B [如图，连接AC交BD于点O，AC⊥平面BDD1B1，
所以CO即为点C到平面BDD1B1的距离．又CO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×eq \r(22＋22)＝eq \r(2)，所以点C到平面BDD1B1的距离为eq \r(2)．]
求点面距、线面距、面面距的方法
(1)点面距：求点与面的距离的方法是过点作面的垂线，垂线段的长即为点面距．
(2)线面距、面面距：求线面距、面面距的方法是转化成求点面距，转化时注意点的位置的选取．
eq \O([跟进训练])
3．(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1的距离为( )
A．4 B．2eq \r(2)
C．2 D．eq \r(2)
(2)在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，BB1，CC1，DD1的中点，AA1＝4，则平面ABCD与平面EFGH的距离为 ．
(1)C (2)2 [(1)如图，MN∥平面BCC1B1，
所以MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离．又N到平面BCC1B1的距离为NB＝eq \f(1,2)AB＝2，
所以MN与平面BCC1B1的距离为2．
(2)平面ABCD与平面EFGH的距离为eq \f(1,2)AA1＝eq \f(1,2)×4＝2．]
1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β B．Q∈b⊂β
C．Q⊂b⊂β D．Q⊂b∈β
B [ 因为点Q(元素)在直线b(集合)上，所以Q∈b．又因为直线b(集合)在平面β(集合)内，所以b⊂β．所以Q∈b⊂β．]
2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有( )
A．8条 B．6条 C．4条 D．2条
C [正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11－3－4＝4(条)，故选C．]
3．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )
C [选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C．]
4．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
D [可参考长方体中各条线的位置关系判断．]
5．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCDA′B′C′D′．
(1)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为 cm；
(2)点A到平面BCC′B′的距离为 cm．
(1)4 (2)5 [如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，
所以平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．分别在不同平面内的两条直线是异面直线吗？
[提示] 不一定．如图所示，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
2．在空间中，直线与直线、直线与平面、平面与平面有怎样的位置关系？
[提示] 直线与直线的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交,平行,异面))
直线与平面的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行))
平面与平面的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交,平行))
1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点)
2．会用数学符号表示空间点、线、面以及它们之间的位置关系．(重点)
3．理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点)
1．通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养．
2．借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养．
国家体育场的主体建筑“鸟巢”主要由巨大的门式钢架组成，共有24根桁架柱，其结构科学简单，设计新颖独特，为国际上极富特色的巨型建筑．与“鸟巢”相呼应的是“水立方”——国家游泳中心．国家游泳中心也是北京奥运会标志性建筑，它以冰晶状的亮丽身姿，装点着奥林匹克公园．你能说出它们作为一个空间几何体是由哪些基本元素构成的吗？
知识点1 空间中的点、线、面
1．用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
(1)
(2)
(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．
2．构成空间几何体的基本元素
点、线、面是构成空间几何体的基本元素．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．( )
(2)直线的移动只能形成平面．( )
(3)平静的太平洋就是一个平面．( )
[提示] (1)正确．
(2)直线移动可能形成曲面，故错误．
(3)平面是没有大小的，故错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
知识点2 空间中点与直线、直线与直线的位置关系
1．空间中点与直线的关系
点A在直线l上，记作A∈l；点A不在直线l上，记作Al．
2．直线与直线的位置关系
(1)直线a与直线b平行，记作a∥b；
(2)直线a与直线b相交于点A，记作a∩b＝A；
(3)直线a与直线b异面．
3．异面直线的定义
空间中的两条直线，既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面．
(1)为何点与直线、平面的关系用“∈”或“”表示？
(2)如何从公共点个数的角度对空间两条直线分类？
(3)如何以是否共面的角度对空间两条直线分类？
[提示] (1)因为直线与平面都看作是点构成的集合，而点是元素，因此点与直线、平面的关系就是元素与集合间的关系，所以用“∈”或“”表示．
(2)两条直线有一个公共点，则两条直线相交；两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面．
(3)若两条直线共面，则这两条直线相交或平行；若两条直线不共面，则这两条直线是异面直线．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)没有公共点的两条直线是平行直线．( )
(2)互相垂直的两条直线是相交直线．( )
(3)既不平行又不相交的两条直线是异面直线．( )
(4)不在同一平面内的两条直线是异面直线．( )
[提示] 异面直线既不平行，也不相交，故(1)错误；互相垂直不一定相交，因为有异面垂直，故(2)错误；(3)正确；不在同一平面内的两条直线平行或异面或相交，故(4)错误．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
知识点3 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
1．空间中直线与平面的位置关系
(1)直线l上的所有点都在平面α内，称为直线l在平面α内(或平面α过直线l)，记作l⊂α．
(2)直线m与平面α有且只有一个公共点，称为直线m与平面α相交，记作m∩α＝B．
(3)直线l与平面α满足l∩α＝∅时，称为直线l与平面α平行，记作l∥α．
2．空间中平面与平面的位置关系
(1)平面α与平面β有公共点，称为平面α与平面β相交，记作α∩β≠∅．
(2)如果α与β是空间中的两个平面，当α∩β＝∅时，称平面α与平面β平行，记作α∥β．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α．( )
(2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．( )
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点． ( )
[提示] 由直观想象(1)有l∩α≠∅的情况，不正确；(2)中有另一条在这个平面内的情况，不正确；(3)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
知识点4 直线与平面垂直
1．直线与平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足．
2．点到平面的距离
由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离．
3．直线到平面的距离与两平行平面之间的距离
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离．
4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则直线BC到面A1B1C1D1的距离为 ；直线BC1到面ADD1A1的距离为 ；面ABB1A1与面DCC1D1的距离为 ．
5 4 3 [直线BC到面A1B1C1D1的距离为BB1＝AA1＝5；
直线BC1到面ADD1A1的距离为AB＝4；
面ABB1A1与面DCC1D1的距离为BC＝3．]
类型1 图形语言、文字语言、符号语言的相互转化
【例1】 (教材P65练习B第2题改编)(1)点P在直线a上，直线a在平面α内可记为( )
A．P∈a，a⊂α B．P⊂a，a⊂α
C．P⊂a，a∈α D．P∈a，a∈α
(2)用符号表示下列语句，并画出图形．
①平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B．
②点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上．
[思路探究] 直线和平面看作点的集合⇒类比元素与集合、集合与集合之间关系的表示方法进行表示．
(1)A [由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为a⊂α，故A正确．]
(2)[解] ①用符号表示：
α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
②用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，CAB，如图．
三种语言的转换方法
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别．
eq \O([跟进训练])
1．如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
(1)点C与平面β： ．
(2)点A与平面α： ．
(3)直线AB与平面α： ．
(4)直线CD与平面α： ．
(5)平面α与平面β： ．
[答案] (1)Cβ (2)Aα (3)AB∩α＝B
(4)CD⊂α (5)α∩β＝BD
类型2 空间两直线的位置关系
【例2】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：
①直线DM与CC1是相交直线；
②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的为 (把你认为正确结论的序号都填上)．
①③④ [①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交．故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④．]
空间中两直线位置关系
判断两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义，在很多情况下，定义就是一种常用的判断方法．
eq \O([跟进训练])
2．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几种说法：
(1)若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
(2)若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
(3)若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．其中不正确的是 (填序号)．
(1)(2)(3) [对于(1)，如图在长方体ABCDA1B1C1D1中，令AB所在直线为b，AA1所在直线为a．
若BC所在直线为c，
则a与c异面．
若AD所在直线为c，则a与c相交，
若BB1所在直线为c，则a∥c，故(1)不正确．
对于(2)，若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行、异面、相交，故(2)不正确．
对于(3)，a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行、相交、异面，故(3)不正确．]
类型3 直线与平面、平面与平面的位置关系
1．射线运动后的轨迹是什么？
[提示] 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示] 面可以列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；
线可以列举如下：
直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；
点可以列举如下：点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2．
【例3】 在长方体ABCDA′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？
[思路探究] 观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．
[解] (1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′．
(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′．
[母题探究]
1．在本例中其他条件不变，
(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
[解] (1)有平面AB′，平面CD′．
(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC．
2．本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？
[解] 有A′A，A′B′，D′D，D′C′．
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°．
3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示平面A′B与平面D′C之间的距离？
[解] A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．
1．平行关系的判定
(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．
(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．
(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．
2．垂直关系的判定
(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．
(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．
类型4 求点面距、线面距、面面距
【例4】 已知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点C到平面BDD1B1的距离为( )
A．1 B．eq \r(2) C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
B [如图，连接AC交BD于点O，AC⊥平面BDD1B1，
所以CO即为点C到平面BDD1B1的距离．又CO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×eq \r(22＋22)＝eq \r(2)，所以点C到平面BDD1B1的距离为eq \r(2)．]
求点面距、线面距、面面距的方法
(1)点面距：求点与面的距离的方法是过点作面的垂线，垂线段的长即为点面距．
(2)线面距、面面距：求线面距、面面距的方法是转化成求点面距，转化时注意点的位置的选取．
eq \O([跟进训练])
3．(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1的距离为( )
A．4 B．2eq \r(2)
C．2 D．eq \r(2)
(2)在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，BB1，CC1，DD1的中点，AA1＝4，则平面ABCD与平面EFGH的距离为 ．
(1)C (2)2 [(1)如图，MN∥平面BCC1B1，
所以MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离．又N到平面BCC1B1的距离为NB＝eq \f(1,2)AB＝2，
所以MN与平面BCC1B1的距离为2．
(2)平面ABCD与平面EFGH的距离为eq \f(1,2)AA1＝eq \f(1,2)×4＝2．]
1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β B．Q∈b⊂β
C．Q⊂b⊂β D．Q⊂b∈β
B [ 因为点Q(元素)在直线b(集合)上，所以Q∈b．又因为直线b(集合)在平面β(集合)内，所以b⊂β．所以Q∈b⊂β．]
2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有( )
A．8条 B．6条 C．4条 D．2条
C [正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11－3－4＝4(条)，故选C．]
3．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )
C [选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C．]
4．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
D [可参考长方体中各条线的位置关系判断．]
5．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCDA′B′C′D′．
(1)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为 cm；
(2)点A到平面BCC′B′的距离为 cm．
(1)4 (2)5 [如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，
所以平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．分别在不同平面内的两条直线是异面直线吗？
[提示] 不一定．如图所示，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
2．在空间中，直线与直线、直线与平面、平面与平面有怎样的位置关系？
[提示] 直线与直线的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交,平行,异面))
直线与平面的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行))
平面与平面的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交,平行))
1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点)
2．会用数学符号表示空间点、线、面以及它们之间的位置关系．(重点)
3．理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点)
1．通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养．
2．借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养．
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