高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.5 旋转体学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.5 旋转体学案，共10页。

从我们常见的一些物体中可以抽象出圆柱、圆锥、圆台和球．
思考：你能总结出形成圆柱、圆锥、圆台和球的方式吗？

知识点1 圆柱、圆锥、圆台的有关概念
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线．( )
(2)圆台有无数条母线，它们相等，延长后相交于一点． ( )
(3) 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( )
(4)圆台的高就是相应母线的长． ( )
[提示] (1)×．圆柱的母线与轴是平行的．
(2) √．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台，由此可知此说法正确．
(3) ×．用与底面平行的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台．
(4)×．圆台的高是指两个底面之间的距离．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
知识点2 旋转体的侧面积与表面积
(1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
2．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为 ．
2∶1 [因为圆柱的轴截面是边长为a的正方形，故圆柱的底面半径R＝eq \f(1,2)a，母线长l′＝a，故圆柱的表面积S＝2πR(R＋l′)＝eq \f(3,2)a2π，因为圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，故圆锥的底面半径r＝eq \f(1,2)a，
母线长l＝a，故圆锥的表面积S＝πr(r＋l)＝eq \f(3,4)a2π，故它们的表面积之比为2∶1．]
知识点3 球
1．球的结构特征
2．球的表面积S＝4πR2(R为球的半径)．
3．有下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确说法的序号是 ．
① [利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．]
类型1 旋转体的结构特征
【例1】 (多选题)下列命题中正确的是( )
A．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
[思路探究] 依据旋转体及其相关概念逐项判断．
AC [A正确．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．C正确．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选AC．]
判断旋转体形状的步骤
(1)明确旋转轴．
(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与旋转轴的位置关系．
(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状．
eq \O([跟进训练])
1．下列几种说法：
①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥侧面的母线；
③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中最大的一个．
其中说法正确的是 ．
①②③ [由圆锥的定义及母线的性质知①②正确，圆柱的轴截面过上下底的直径，所以是过母线的截面中最大的一个．]
类型2 简单组合体的结构特征
【例2】 一直角梯形ABCD如图所示，分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．
[思路探究] 平面图形旋转⇒旋转体的概念及结构特征．
[解] 以AB为轴旋转可得到一个圆台；以BC为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体；以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥；以AD为轴旋转可得一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．
旋转体的形状判断技巧
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
eq \O([跟进训练])
2．描述下列几何体的结构特征．
[解] 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．
类型3 旋转体中的计算
1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
[提示] 圆面．
2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
[提示] 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
[提示] 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．
【例3】 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高．
[思路探究] 作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．
[解] 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm．
又由题意知，腰长为12 cm，
所以高AM＝eq \r(122－(5－2)2)
＝3eq \r(15)(cm)．
[母题探究]
将本例中圆台还原为圆锥后，求圆锥的母线长．
[解] 如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得eq \f(l－12,l)＝eq \f(2,5)，解得l＝20 cm．
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm．
与圆锥有关的截面问题的解决策略
求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决．
eq \O([跟进训练])
3．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq \r(3)的圆柱，求圆柱的底面半径．
[解] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，
得eq \f(R－r,R)＝eq \f(\r(3),\r(42－22))，
即1－eq \f(r,2)＝eq \f(1,2)，解得r＝1．
即圆柱的底面半径为1．
类型4 与球有关的计算问题
【例4】 在球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2 ,400π cm2，求此球的半径．
[解] 设球的半径为R cm，两截面圆的半径分别为r cm，r1 cm(r1＜r)，
由πreq \\al(2,1)＝49 π，得r1＝7，由πr2＝400π，得r＝20．
若两截面位于球心的同侧，如图①，C，C1分别是两平行截面的圆心，
在Rt△OBC1中，OC1＝eq \r(R2－r\\al(2,1))＝eq \r(R2－49)(cm)，
在Rt△OAC中，OC＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(R2－400)(cm)，
由题意知OC1－OC＝9 cm，即eq \r(R2－49)－eq \r(R2－400)＝9，解得R＝25．
① ②
若两截面位于球心两侧，如图②，
OC1＝eq \r(R2－49) cm，OC＝eq \r(R2－400) cm，
由题意知OC1＋OC＝9 cm，
即eq \r(R2－49)＋eq \r(R2－400)＝9，
eq \r(R2－49)＝9－eq \r(R2－400)，
两边平方得eq \r(R2－400)＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．
综上所述，此球的半径为25 cm．
球的截面问题的解题思路
一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径(r)、球心到截面的距离(d)、球的半径(R)之间的数量关系(r2＋d2＝R2)是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面(过球的直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题．
eq \O([跟进训练])
4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
B [长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，长方体的体对角线的长就是外接球的直径，所以球的直径为eq \r(6)a，所以球的半径为eq \f(\r(6),2)a，所以球的表面积是4πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a))eq \s\up12(2)＝6a2π．]
1．旋转后形成如图所示的几何体的平面图形是( )
A B C D
A [观察几何体的轴截面知，A正确．]
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥
D [连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．]
3．下列结论中：①等腰梯形的纸片可以卷成一个没有两底的圆台；②一个圆台存在两条母线的延长线不相交于一点；③过圆台的任何两条母线的截面都是等腰梯形．其中错误的结论个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [一个扇环可以卷成一个没有两底的圆台，故①错误；圆台的任何母线的延长线都相交于一点，故②错误；容易判断③正确．]
4．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆台 B．球
C．圆柱 D．棱柱
B [截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]
5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为 ．
eq \f(\r(Q),2) [设圆柱底面半径为r，母线为l，
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＝l，,2r·l＝Q，))解得r＝eq \f(\r(Q),2)．
所以此圆柱的底面半径为eq \f(\r(Q),2)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．圆柱、圆锥和圆台这三类几何体能通过平面图形形成吗？
[提示] 能，这三类几何体都是旋转体，可以分别通过矩形，直角三角形，直角梯形绕一特定轴旋转形成．
2．将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开，在平面上展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形？请画出来．
[提示] 将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开，然后在平面上展开，侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环，如图所示．
3．实际生活中，飞机、轮船为什么尽可能以大圆弧为航线航行？
[提示] 因为球面上两点间的最短距离是球面距离，这样走可使行程最短．
1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．(重点)
2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)
3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点)
4．会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．(难点)
1．通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养．
2．借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算的数学核心素养．
名称
定义
图示
有关概念
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
轴：旋转轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
轴截面：通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面．
圆锥
以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
圆台
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
旋转体
圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
S圆柱＝2πr(r＋l)，
r为底面半径，
l为母线长
圆锥
S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，
l为母线长
圆台
S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，
r′为上底面半径，
r为下底面半径，
l为母线长
球面及球的定义
球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
图示及相关概念
球心：形成球面的半圆的圆心半径：连接球面上一点和球心的线段直径：连接球面上两点且通过球心的线段大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆