高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用同步测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用同步测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为( )
A．2eq \r(6) n mile B．3eq \r(6) n mile
C．5eq \r(6) n mile D．6eq \r(6) n mile
C [在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，
所以∠C＝45°．
因为eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，
所以BC＝eq \f(AB·sin A,sin C)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq \r(6)(n mile)．]
2．(多选题)某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是eq \r(3) km，那么x的值是( )
A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．3
AB [如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq \r(3)，∠B＝30°．由余弦定理，得(eq \r(3))2＝x2＋32－2×3×x×eq \f(\r(3),2)，所以x2－3eq \r(3)x＋6＝0，解得x＝eq \r(3)或x＝2eq \r(3)．]
3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1 km，CD＝3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A，C之间的距离为( )
A．2eq \r(2) km B．eq \r(10) km
C．eq \r(13) km D．3eq \r(3) km
C [AB＝1，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠BED＝120°，
所以BE＝eq \f(AB,tan 30°)＝eq \f(1,\f(\r(3),3))＝eq \r(3)，DE＝eq \f(CD,tan 60°)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)．
在△BED中，由余弦定理得BD2＝BE2＋DE2－2·BE·DE·cs ∠BED＝3＋3－2×eq \r(3)×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝9，所以BD＝3，所以AC＝eq \r(BD2＋(CD－AB)2)＝eq \r(9＋(3－1)2)＝eq \r(13)，即两山顶A，C之间的距离为eq \r(13) km．]
4．如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度h为( )
A．(30＋30eq \r(3))m B．(30＋15eq \r(3))m
C．(15＋30eq \r(3))m D．(15＋15eq \r(3))m
A [因为∠BAP＋∠APB＝45°，所以∠APB＝45°－30°＝15°．
在△APB中，由正弦定理，得eq \f(AB,sin∠APB)＝eq \f(PB,sin∠PAB)，即eq \f(60,sin 15°)＝eq \f(PB,sin 30°)，
所以PB＝eq \f(30,sin 15°)＝eq \f(30,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))(m)．
由题图可得h＝PB·sin 45°＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝(30＋30eq \r(3))(m)．故选A．]
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200eq \r(3) m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )
A．200 m B．300 m
C．400 m D．100eq \r(3) m
B [如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝200eq \r(3)(m)．
在△BCD中，由余弦定理可得
cs 2θ＝eq \f(6002＋(200\r(3))2－(200\r(3))2,2×600×200\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
因为0°＜2θ＜90°，所以2θ＝30°，4θ＝60°．
在Rt△ABC中，
AB＝BC·sin 4θ＝200eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝300(m)，故选B．]
二、填空题
6．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C．测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为 m．
50eq \r(2) [由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，
所以AB＝eq \f(AC·sin∠ACB,sin∠ABC)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)．]
7．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走 ．(结果精确到0.1 km)(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
3.4 km [过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10 km，
CD＝AC·sin 30°＝5(km)，AD＝AC·cs 30°＝5eq \r(3)(km)．
在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，
BC＝eq \f(CD,sin 45°)＝5eq \r(2)(km)．AB＝AD＋BD＝(5eq \r(3)＋5)(km)，AC＋BC－AB＝10＋5eq \r(2)－(5eq \r(3)＋5)＝5＋5eq \r(2)－5eq \r(3)≈5＋5×1.41－5×1.73＝3.4(km)．]
8．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A处和最后一个座位B处测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为10eq \r(6)米，则AN＝ 米；旗杆的高度为 米．
20eq \r(3) 30 [依题意可知∠NBA＝45°，∠BAN＝180°－60°－15°＝105°，所以∠BNA＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理可知eq \f(AB,sin∠BNA)＝eq \f(AN,sin∠NBA)，所以AN＝eq \f(AB,sin∠BNA)·sin∠NBA＝20eq \r(3)米．
所以在Rt△AMN中，MN＝ANsin∠NAM＝20eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝30米，所以旗杆的高度为30米．]
三、解答题
9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进eq \r(30) km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．
[解] 由题意可知CD＝eq \r(30)，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∠CBD＝180°－30°－30°＝120°，∠DAC＝45°．
在△BDC中，由正弦定理可得，
BC＝eq \f(DC·sin∠BDC,sin∠DBC)＝eq \f(\r(30)·sin 30°,sin 120°)＝eq \r(10)．
在△ADC中，由正弦定理可得，
AC＝eq \f(DC·sin∠ADC,sin∠DAC)＝eq \f(\r(30)·sin 60°,sin 45°)＝3eq \r(5)．
在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB＝(3eq \r(5))2＋(eq \r(10))2－2×3eq \r(5)×eq \r(10)×cs 45°＝25，所以AB＝5．
故这两座建筑物之间的距离为5 km．
10．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) n mile/h的速度追截走私船．
此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
[解] 设缉私船用t h在D处追上走私船，
则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，因为AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
所以由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC＝(eq \r(3)－1)2＋22－2×(eq \r(3)－1)×2cs 120°＝6，
所以BC＝eq \r(6)，
且sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))· eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2)．
所以∠ABC＝45°．
所以BC与正北方向垂直．
因为∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10tsin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
所以∠BCD＝30°．
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
11．如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为h＝40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β＝60°，α＝30°．若山坡的高为a＝35，则灯塔的高度是( )
A．15 B．25 C．40 D．60
B [过点B作BE⊥DC于点E，过点A作AF⊥DC于点F，如图所示，
在△ABD中，由正弦定理得，eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(AD,sin∠ABD)，
即eq \f(h,sin[90°－α－(90°－β)])＝eq \f(AD,sin(90°＋α))，
所以AD＝eq \f(hcs α,sin(β－α))．在Rt△ADF中，DF＝ADsin β＝eq \f(hcs αsin β,sin(β－α))，又山高为a，则灯塔的高度CD＝DF－CF＝eq \f(hcs αsin β,sin(β－α))－a＝eq \f(40×\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2),\f(1,2))－35＝60－35＝25．故选B．]
12．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h B．6eq \r(2) km/h
C．2eq \r(34) km/h D．10 km/h
B [设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝eq \f(0.6,1)＝eq \f(3,5)，从而cs θ＝eq \f(4,5)，所以由余弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)v))eq \s\UP12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)×2))eq \s\UP12(2)＋12－2×eq \f(1,10)×2×1×eq \f(4,5)，解得v＝6eq \r(2)．]
13．如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40eq \r(2)海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东 度，航行路程为 海里．
65 20(eq \r(6)＋eq \r(2)) [由题意，在△ABC中，
∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40eq \r(2)．
根据余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cs∠ABC
＝402＋(40eq \r(2))2－2×40×40eq \r(2)×eq \f(\r(2)－\r(6),4)
＝3 200＋1 600eq \r(3)，
所以AC＝20(eq \r(6)＋eq \r(2))．
根据正弦定理得eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sin 105°)，
所以∠CAB＝45°，
所以此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(eq \r(6)＋eq \r(2))海里．]
14．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量．交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为 m/s．
eq \f(50\r(10),7) [由题意知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，所以在△ABD和△ACD中，AB＝200 m，AC＝100eq \r(2) m，所以在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcs∠BAC＝100 000，即BC＝100eq \r(10) m，所以这辆汽车的速度为eq \f(BC,14)＝eq \f(100\r(10),14)＝eq \f(50\r(10),7)(m/s)．]
15．如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．
(1)求该军舰艇的速度；
(2)求sin α的值．
[解] (1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cs 120°＝78 400，解得BC＝280．
所以该军舰艇的速度为eq \f(BC,4)＝70海里/时．
(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(AB,sin α)＝eq \f(BC,sin 120°)，
即sin α＝eq \f(ABsin 120°,BC)＝eq \f(200×\f(\r(3),2),280)＝eq \f(5\r(3),14)．