高中数学10.1.2 复数的几何意义当堂达标检测题

这是一份高中数学10.1.2 复数的几何意义当堂达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数z＝1－4i的共轭复数是( )
A．1＋4i B．－4＋i
C．－1＋4i D．－1－4i
A [复数z＝1－4i的共轭复数是eq \x\t(z)＝1＋4i．
故选A．]
2．复数z＝eq \r(3)＋i3对应的点在复平面( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [由i2＝－1，z＝eq \r(3)－i，对应点的坐标为(eq \r(3)，－1)．]
3．(多选题)下列命题中，真命题是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|
ABC [任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq \r(a2＋b2)≥0总成立，
∴A正确；
由复数相等的条件z＝0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝0))⇔|z|＝0，故B正确；
若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|，
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．]
4．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
D [由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2．故选D．]
5．在复平面内，O为原点，向量eq \(OA,\s\UP7(→))对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量eq \(OB,\s\UP7(→))对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i
B [因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以eq \(OB,\s\UP7(→))对应的复数为－2＋i．]
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝ ．
－2＋3i [复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)，所以z2＝－2＋3i．]
7．已知在△ABC中，eq \(AB,\s\UP7(→))，eq \(AC,\s\UP7(→))对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则eq \(BC,\s\UP7(→))对应的复数为 ．
－1－5i [因为eq \(AB,\s\UP7(→))，eq \(AC,\s\UP7(→))对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以eq \(AB,\s\UP7(→))＝(－1,2)，eq \(AC,\s\UP7(→))＝(－2，－3)．又eq \(BC,\s\UP7(→))＝eq \(AC,\s\UP7(→))－eq \(AB,\s\UP7(→))＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以eq \(BC,\s\UP7(→))对应的复数为－1－5i．]
8．设(x＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝ ．
eq \r(2) [因为x＋i＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)．]
三、解答题
9．已知复数z1＝eq \r(3)－i，z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i．
(1)求|eq \x\t(z1)|，|eq \x\t(z2)|的值并比较大小；
(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？作图表示．
[解] (1)|eq \x\t(z1)|＝|eq \r(3)＋i|＝eq \r((\r(3))2＋12)＝2，
|eq \x\t(z2)|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\UP12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))eq \s\UP12(2))＝1．
所以|eq \x\t(z1)|＞|eq \x\t(z2)|．
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2．
不等式1≤|z|≤2等价于不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|z|≤2，,|z|≥1，))
因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，
而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示．
10．已知x，y∈R，若x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i互为共轭复数，求复数z＝x＋yi和eq \x\t(z)．
[解] 因为x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i互为共轭复数，
所以得到关于x，y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＝3x，,2y＋x＝y＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝i，,\x\t(z)＝－i))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝1，,\x\t(z)＝1.))
11．(多选题)已知复数z＝a＋i(a∈R)，则下列结论错误的是( )
A．eq \x\t(z)＝－a＋i
B．|z|≥1
C．z一定不是纯虚数
D．在复平面内，z对应的点可能在第三象限
ACD [z＝a＋i的共轭复数为eq \x\t(z)＝a－i，所以A错误；|z|＝eq \r(a2＋1)≥1，所以B正确；当a＝0时，z是纯虚数，所以C错误；在复平面内，z对应的点为(a,1)，因为纵坐标y＝1，所以不可能在第三象限，所以D错误．故选ACD．]
12．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若eq \(OC,\s\UP7(→))＝xeq \(OA,\s\UP7(→))＋yeq \(OB,\s\UP7(→))(x，y∈R)，则x＋y的值是 ．
5 [由复数的几何意义可知，
eq \(OC,\s\UP7(→))＝xeq \(OA,\s\UP7(→))＋yeq \(OB,\s\UP7(→))，
即(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)，
所以(3，－2)＝(－x＋y,2x－y)，
由向量相等可得，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－x＝3，,2x－y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4.))
所以x＋y＝5．]
13．若t∈R，t≠－1且t≠0，复数z＝eq \f(t,1＋t)＋eq \f(1＋t,t)i，则当t＝
时，|z|的最小值为 ．
－eq \f(1,2) eq \r(2) [|z|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,1＋t)))eq \s\UP12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋t,t)))eq \s\UP12(2)≥2·eq \f(t,1＋t)·eq \f(1＋t,t)＝2，
当且仅当eq \f(t,1＋t)＝eq \f(1＋t,t)，
即t＝－eq \f(1,2)时取等号，
所以|z|min＝eq \r(2)．]
14．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i．
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图像上，其中mn＞0，求eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值及取得最小值时m，n的值．
[解] (1)|z|＝eq \r((x－2)2＋(x＋2)2)＝eq \r(2x2＋8)≥2eq \r(2)，
当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2eq \r(2)．
(2)当复数z的模最小时，Z(－2,2)．
又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2．
又mn＞0，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(n,2)))＝eq \f(3,2)＋eq \f(m,n)＋eq \f(n,2m)≥eq \f(3,2)＋eq \r(2)，当且仅当n2＝2m2时等号成立．
又2m＋n＝2，
所以m＝2－eq \r(2)，n＝2eq \r(2)－2．
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2)，
此时m＝2－eq \r(2)，n＝2eq \r(2)－2．