高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课后复习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课后复习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),6) D．eq \f(\r(3),4)
D [V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×3＝eq \f(\r(3),4)．]
2．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
C [半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为eq \f(4,3)π×(3x)3，其余两个球的体积之和为eq \f(4,3)πx3＋eq \f(4,3)π×(2x)3，
所以eq \f(4,3)π×(3x)3÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)πx3＋\f(4,3)π×(2x)3))＝3．]
3．(多选题)已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5．下列说法正确的是 ( )
A．以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B．以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
AD [以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π×3×5＝15π，体积为eq \f(1,3)×π×32×4＝12π，故A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为eq \f(1,3)×π×42×3＝16π，故C错误，D正确．]
4．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )
A．6eq \r(3) cm B．6 cm
C．2eq \r(3,18) cm D．3eq \r(3,12) cm
B [由题设可知两种器皿中的水的体积相同，设圆锥内水面高度为h，圆锥的轴截面为正三角形，
由图可得，eq \f(r,h)＝tan 30°，
所以r＝eq \f(\r(3),3)h．故V圆柱＝6×π×22＝24π(cm3)，V圆锥＝eq \f(1,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)h))eq \s\UP12(2)·h．又V圆柱＝V圆锥，
所以h＝6 cm．]
5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )
A．1∶eq \r(2)∶eq \r(3) B．6∶2eq \r(3)∶eq \r(3)
C．6∶2eq \r(3)∶3 D．3∶2eq \r(3)∶6
C [设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝eq \r(3)，求得斜边上的高CD＝eq \f(\r(3),2)，旋转所得几何体的体积分别为V1＝eq \f(1,3)π(eq \r(3))2×1＝π，V2＝eq \f(1,3)π×12×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)π，V3＝eq \f(1,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\UP12(2)×2＝eq \f(1,2)π．
V1∶V2∶V3＝1∶eq \f(\r(3),3)∶eq \f(1,2)＝6∶2eq \r(3)∶3．]
二、填空题
6．一个长方体的三个面的面积分别是 eq \r(2)， eq \r(3)， eq \r(6)，则这个长方体的体积为 ．
eq \r(6) [设长方体的棱长分别为a，b，c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝eq \r(6)．]
7．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是 ．
54 [设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝eq \f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，所以πr2h1＝12．令原圆锥的高为h，由相似知识得eq \f(r,3r)＝eq \f(h－h1,h)，所以h＝eq \f(3,2)h1，所以V原圆锥＝eq \f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq \f(3,2)h1＝eq \f(9,2)×12＝54．]
8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为 ．
eq \f(364π,3) [设大、小两球半径分别为R，r，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R－r＝1，,4πR2－4πr2＝28π，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R＝4，,r＝3，))
所以体积和为eq \f(4,3)πR3＋eq \f(4,3)πr3＝eq \f(364π,3)．]
三、解答题
9．如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
(1)计算圆柱的表面积；
(2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．
[解] (1)已知圆柱的底面半径为r，则圆柱和圆锥的高为h＝2r，圆锥和球的底面半径为r，
则圆柱的表面积为S圆柱表＝2×πr2＋4πr2＝6πr2．
(2)由(1)知V圆锥＝eq \f(1,3)πr2×2r＝eq \f(2,3)πr3，V圆柱＝πr2×2r＝2πr3，V球＝eq \f(4,3)πr3，V圆锥∶V球∶V圆柱＝eq \f(2,3)πr3∶eq \f(4,3)πr3∶2πr3＝1∶2∶3．
10．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积．
[解] 法一：如图所示，连接EB，EC．
由题意，得VE­ABCD＝eq \f(1,3)×42×3＝16．
因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF．所以VF­EBC＝VC­EFB＝eq \f(1,2)VC­ABE＝eq \f(1,2)VE­ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)VE­ABCD＝4．
所以V＝VE­ABCD＋VF­EBC＝16＋4＝20．
法二：如图所示，取AB，DC的中点G，H，连接EG，GH，EH，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得棱柱EGH­FBC．
由题意，得VE­AGHD＝eq \f(1,3)S四边形AGHD×3＝eq \f(1,3)×4×4×eq \f(1,2)×3＝8，
VEGH­FBC＝3VB­EGH＝3VE­BGH＝3×eq \f(1,2)VE­GBCH＝eq \f(3,2)VE­AGHD＝eq \f(3,2)×8＝12，
所以V＝VE­AGHD＋VEGH­FBC＝8＋12＝20．
11．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A­BCD的体积的最大值为 ( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(12,5) C．eq \f(24,5) D．5
C [在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将三角形ABC折起，当平面ABC⊥平面ACD时得到的四面体A­BCD的体积取最大值，此时点B到平面ACD的距离d＝eq \f(AB×BC,AC)＝eq \f(4×3,\r(16＋9))＝eq \f(12,5)，因为S△ADC＝eq \f(1,2)×4×3＝6，所以四面体A­BCD的体积的最大值为V＝eq \f(1,3)×S△ADC×d＝eq \f(1,3)×6×eq \f(12,5)＝eq \f(24,5)．]
12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸．若盆中积水深9寸，则平均降雨量是(注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸( )
A．3寸 B．4寸 C．5寸 D．6寸
A [作出圆台的轴截面如图所示．
由题意知，BF＝14寸，OC＝6寸，OF＝18寸，OG＝9寸，
即G是OF的中点，
所以GE为梯形OCBF的中位线，
所以GE＝eq \f(14＋6,2)＝10(寸)，
即积水的上底面半径为10寸．
所以盆中积水的体积为eq \f(1,3)π×(100＋36＋10×6)×9＝588π(立方寸)．
又盆口的面积为142π＝196π(平方寸)，
所以平均降雨量是eq \f(588π,196π)＝3(寸)，
即平均降雨量是3寸．]
13．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝ ．
eq \f(\r(3),2)a [设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为eq \f(1,3)πR2h，
圆柱形容器内的液体体积为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\UP12(2)h．
根据题意，有eq \f(1,3)πR2h＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\UP12(2)h，
解得R＝eq \f(\r(3),2)a．
再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得eq \f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq \f(h,a)，所以h＝eq \f(\r(3),2)a．]
14．已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的所有顶点都在同一球面上．若球的体积为eq \f(32,3)π，则该长方体的体对角线长为 ，体积为 ．
4 eq \r(14) [因为球的体积为eq \f(32,3)π，可得eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π，所以R＝2．
又长方体的体对角线即为球的直径，故长方体的体对角线长为4．
设长方体的高为x，则eq \r(12＋12＋x2)＝4，
解得x＝eq \r(14)．
所以该长方体的体积为eq \r(14)．]
15．已知正四面体ABCD的外接球的体积为4eq \r(3)π，求正四面体的体积．
[解] 法一：将正四面体ABCD置于正方体中．
正四面体的外接球即正方体的外接球(如图所示)，正方体的体对角线长即球的直径．设外接球的半径为R，
由V球＝eq \f(4π,3)R3＝4eq \r(3)π，得R＝eq \r(3)，
即正方体的体对角线长为2eq \r(3)，正方体棱长为2．
所以VA­BCD＝23－4×eq \f(1,3)×2×eq \f(1,2)×2×2＝eq \f(8,3)．
法二：如图所示，设外接球的半径为R，
由已知得eq \f(4π,3)R3＝4eq \r(3)π，故R＝eq \r(3)．
因为AE为球的直径，故AD⊥DE，AE⊥O1D．
设AD＝a，则O1D＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a，故AO1＝eq \f(\r(6),3)a，O1E＝2R－AO1＝2eq \r(3)－eq \f(\r(6),3)a．
由Rt△AO1D∽Rt△
DO1E，得O1D2＝AO1·O1E，解得a＝2eq \r(2)．
故V＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)a2·AO1＝eq \f(8,3)．